АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2014, том 60, № 4, с. 426-436
ОБРАБОТКА АКУСТИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ. КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
УДК 534.143;550.34.01
ДИСПЕРСИОННЫЕ ЗАВИСИМОСТИ УПРУГИХ ВОЛН В ПОКРЫТОМ ЛЬДОМ МЕЛКОМ МОРЕ
© 2014 г. Д. А. Преснов*, Р. А. Жостков*, В. А. Гусев**, А. С. Шуруп*, **
*Институт физики Земли им. О.Ю. Шмидта РАН 123995 Москва, ул. Большая Грузинская 10, стр. 1 Тел.: (495) 254-8752; Факс: (499) 254-9080 E-mail: sobis@ifz.ru **Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова Физический факультет, 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские горы Тел.: (495) 939-3081; Факс: (495) 932-8820 E-mail: shurup@physics.msu.ru Поступила в редакцию 29.01.2014 г.
В работе исследованы дисперсионные зависимости акустических волн, распространяющихся в условиях, близких к условиям мелкого моря, покрытого льдом. Получено дисперсионное уравнение для слоистой среды, состоящей из упругого слоя (лед), жидкого слоя (морская толща) и упругого однородного полупространства (дно). Обсуждены возможности оценки некоторых параметров рассматриваемой слоистой структуры на основе анализа дисперсионных кривых. Результаты численных расчетов сопоставлены с данными натурного эксперимента по регистрации сейсмоакустических сигналов в условиях ледовой обстановки.
Ключевые слова: мелкое море, лед, шельф, томография океана, слоистая среда, поверхностные волны, дисперсионное уравнение, оценка акустических характеристик льда, воды и дна.
DOI: 10.7868/S0320791914040157
ВВЕДЕНИЕ
Данная работа посвящена исследованию процессов распространения упругих волн в условиях, близких к условиям мелкого моря, покрытого льдом. Актуальность и практическая значимость этой задачи существенно возросла в последнее время в связи с активными работами по поиску и разработке месторождений углеводородов на шельфе северных морей РФ. Описание волновых полей в таких условиях, как правило, сводится к рассмотрению многослойных сред, что является сложной теоретической задачей [1—3], требующей существенных усилий для получения аналитического решения. Зачастую вместо этого прибегают к прямому численному моделированию [4]. Например, в работе [5] представлены результаты численного эксперимента по распространению акустических полей в гидроакустическом канале при наличии ледового покрова и упругого слоистого полупространства. Результаты численного моделирования позволили авторам проанализировать особенности формирования пространственно-временной структуры сейсмоакустических полей, возбуждаемых источниками различного типа. Продемонстрирована также возможность оценки некоторых параметров выбранной модели слоистой среды. Несмотря на удобство прямого численного моделирования для анализа акустических полей при конкретном распределении параметров задачи, его применение для исследования общих особенностей волнового распространения в сло-
истых средах заданного класса требует рассмотрения большого количества частных задач, что не всегда удобно при практическом применении. Для исследования общих закономерностей распространения упругих волн в слоистых средах может быть использован подход, основанный на аналитическом анализе дисперсионных зависимостей для этих волн. В этом случае, правда, приходится упрощать рассматриваемую модель среды в силу сложности аналитического решения задачи. Тем не менее, получаемые упрощенные дисперсионные уравнения позволяют решить ряд важных практических задач. Так, например, сопоставление дисперсионных характеристик изгибных волн льда, полученных экспериментально и рассчитанных на основе упрощенных моделей среды, позволяет оценить параметры ледового покрова [6, 7], что может быть использовано для решения задачи мониторинга состояния льда. В настоящее время это крайне актуально в связи с заметным сокращением поверхности ледового покрова Арктики; скорость такого сокращения сейчас достигает 10% за десять лет [8].
В настоящей работе получено дисперсионное уравнение для упругих волн, распространяющихся в слоистой среде, состоящей из слоя льда конечной толщины, жидкого слоя и однородного упругого полупространства. Итоговое дисперсионное уравнение удается свести к вполне компактному виду, удобному для анализа и численного моделирования. Исследование полученного
дисперсионного уравнения для различных параметров рассматриваемой задачи позволяет наметить возможные пути оценки акустических характеристик среды на основе экспериментально измеряемых дисперсионных зависимостей. В конце работы приводится предварительный анализ дисперсионных свойств упругих волн, зарегистрированных в натурном эксперименте в условиях ледовой обстановки на Ладожском озере.
г
1 1 | H(a - - r)e-tot r
Лед -a 0 a ch ct, P
Море -hi ^ P0
Дно -h2 4 c'b p'
ДИСПЕРСИОННОЕ УРАВНЕНИЕ
ДЛЯ СИСТЕМЫ "УПРУГОЕ ПОЛУПРОСТРАНСТВО-ЖИДКИЙ СЛОЙ-УПРУГИЙ СЛОЙ"
Вводится цилиндрическая система координат {г, 0,г} (рис. 1), где ось О1 направлена вверх и перпендикулярна границам раздела сред слоистого полупространства. Ориентируясь на используемые источники акустических волн, ниже рассматривается задача с радиальной симметрией, для которой свойства среды и упругих полей не зависят от азимутального угла 9. Предполагается, что слоистое полупространство состоит из упругого слоя толщины Н1 (лед), жидкого слоя толщиной АН = Н2 - Н1 и безграничного упругого полупространства в области г < —Н2 (рис. 1).
Плотности сред обозначаются соответственно через р, р0 и р'. Поверхность слоистого полупространства считается свободной от напряжений. Вектор смещения точек среды и представляется в виде разложения по потенциалам продольных ф и поперечных у смещений: и = Уф + го1у. Из симметрии рассматриваемой задачи следует, что смещения в твердой среде будут иметь только г- и ¿-компоненты, а векторный потенциал имеет только одну отличную от нуля компоненту — азимутальную: у = {0, у,0}. Скалярные функции ф = ф(г, г) и у = у (г, г) не зависят от угла 9. Из уравнений теории упругости, записанных в цилиндрических координатах, можно получить волновые уравнения для потенциалов ф, у в упругом слое, в жидкости ф0 и в твердом полупространстве ф', у':
д2ф 2 А п
—2 - Ci Дф = 0, dt
£ - К 5 ) = 0
(1)
d Фо
dt2 д 2ф'
dt2
- СоАфо = 0,
- с'2Аф' = 0,
d V' dt2
- C,
Ау' -
У -
0.
Здесь cf = (X + 2ц)/р, cf = ц/р — скорости распространения продольных и поперечных волн в
Рис. 1. Геометрия рассматриваемой модели слоистой среды, состоящей из упругого слоя (лед), слоя жидкости (морская толща) и упругого полупространства (дно).
упругом слое, с2 = X 0/р 0 — скорость звука в жидкости, с'2 = (к' + 2ц')/р' и с'2 = ц'/р' — скорости продольных и поперечных волн в упругом полупространстве; X, ц, Х0, X', ц' — соответствующие
1д I д\ д2
константы Ламэ, Д =--1 г—) +--2 — оператор
г дЛ дг! дг Лапласа. Следует отметить, что в уравнениях (1) не учтено влияние силы тяжести, так как ее действие становится существенным на частотах <0.1 Гц [9], которые лежат за пределами рассматриваемого в настоящей работе частотного диапазона.
Решения уравнений (1) находятся с помощью интегрального преобразования Фурье—Бесселя:
да
ф (г, г, ^ = ][л (к)е'а,г + В (к)е ]к/0 (кг)е ~шйк,
у (r, z, t) = J[С (к) e'a'z + D (к)e-ia'z^ (kr)
-ш и
e dk,
(2)
ф0 (r, z, t) = J[ E (k) eia0Z + F (k) e -a0Z ]k/0 (kr) e ~totdk,
0 да
ф0 (r, z, t) = J[ E (k) eia0Z + F (k) e -a°z ]k/0 (kr) e -totdk,
0
да
ф' (r, z, t) = Jg (k) e~ia,zkJ 0 (kr) e~i<atdk,
0
да
у' (r, z, t) = \h (k) e ia'zkJl (kr) e4atdk,
2
a 0 =
2 2 / 2 ,2 2 2 I 2 ,2
где al = ю / cl - k , at = ю / ct - k ,
2/2 ,2 .2 2 I .2 ,2 .2 2 / .2 ,2 = ю / c0 - k , a l = ю / c, - k , a t = ю / c, - k ,
J0 (kr) и Jx (kr) — функции Бесселя нулевого и первого порядков соответственно; к — волновое число, ю — циклическая частота, t—время, i — мнимая единица. В двух последних соотношениях отсутствуют члены, соответствующие волнам, распространяю-
0
да
0
да
0
щимся вверх, что удовлетворяет условию отсутствия в нижнем полупространстве источников и отражающих границ. Коэффициенты А (к), В (к), С (к), Б (к), Е (к), Г (к), О (к), Н (к) определяются из граничных условий:
СТ гЛг=о = о,
° А г=о = о,
= о,
(« %= О,
( - % %=-к1 = °
= о,
(3)
г =—2 ("Ог - )
= о,
г=-*2
= о,
г=-¿2
где ст;к, ао1к и а¡к — компоненты тензора напряжений в упругом слое, жидком слое и упругом полупространстве соответственно. Подстановка решений (2) в граничные условия (3) с учетом известного соотношения между тензором напряжений и смещениями [10] позволяет получить для перечисленных выше коэффициентов систему алгебраических уравнений. Условие разрешимости этой системы (равенство нулю ее детерминанта) дает дисперсионное уравнение:
ё (к, ю) = ю4 Н£2° а1
ц
4 РоР • • м
ю а, 81п аоДй
ц'2
+ гао ^(к2 - а)2) + 4а'а)к2^ ео8 аоАк
х |(к2 - а2)2ео8 а^^п аД + + 4а,а(к2 81п а,к1 ео8 аД ^ +
(4)
а о
4 РоР ' а 1
ю а, ео8 аоДя -Ц'2
- гао^(к2-а'2) + 4а,а,к2^8ШаоАк 8а , а,к2 (к2 -а(2) (1 - ео8а Део8аД)
(/ 2 2\4 4 2 2^
(к -а, ) + 16к а , а 1) 8Ш аД8Ш аД
Решения уравнения (4) можно представить в виде дисперсионной кривой — зависимости скоростей распространения соответствующих мод от частоты волны.
Представляет интерес сравнение асимптотик решения уравнения (4), получаемых в низкоча-
стотном и высокочастотном пределах, с известными решениями для поверхностных волн [11].
При малых частотах (юМ/с, < 1, &к1/с1 < 1) асимптотическими решениями уравнения (4) являются: скорость волны Рэлея с'Е = о.9с,' [11], распространяющейся вдоль границы упругого полупространства, скорость изгибной волны си ~ ю^2
[6, 7] и скорость спр = 2с^ 1 - с)/с,2 волны, которая в дальнейшем будет называться "квазипродольной", так как у этой продольной волны, как ее обычно называют [1, стр. 47], существуют отличные от нуля и поперечные смещения.
На больших частотах (юДй/с,' > 1, юк1/с1 > 1) дисперсионное уравнение (4) имеет три асимптотики, две из которых соответствуют скоростям с8
и с'ц волн Стоунли [11] на границах "лед—вода" и "дно—вода" соответственно; третья асимптотика соответствует скорости волны Рэлея, распространяющейся вдоль поверхности льда сК = о.9с(.
Следует отметить
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.