ФИЗИКА ПЛАЗМЫ, 2014, том 40, № 8, с. 749-763
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ В ПЛАЗМЕ
УДК 533.951
ДИССИПАТИВНЫЕ ПОВЕРХНОСТНЫЕ ВОЛНЫ В ПЛАЗМЕ © 2014 г. И. Н. Карташов, М. В. Кузелев
Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, физический факультет, Россия
e-mail: igorkartashov@mail.ru, kuzelev@mail.ru Поступила в редакцию 19.11.2013 г. Окончательный вариант получен 10.02.2014 г.
Обсуждаются дискуссионные аспекты теории непотенциальных поверхностных волн на границе диссипативной материальной среды с частотной дисперсией. На основе известных теоретических результатов и результатов собственных теоретических исследований излагается теория поверхностных волн, справедливая при любой величине диссипации энергии возмущений в среде. Показано, что в случае достаточно сильной диссипации возможны поверхностные волны, физическая природа и закон дисперсии которых кардинально отличаются от того, что общеизвестно для обычных поверхностных волн. Декремент затухания таких волн мал даже при большой диссипации в среде, а групповая и фазовая скорости таких волн превосходят скорость света. Конкретно рассматриваются поверхностные волны на границе вакуум—холодная столкновительная электронная плазма. Обсуждается возможность существования рассмотренных поверхностных волн для различных материальных сред лабораторного и естественного происхождения.
DOI: 10.7868/S036729211407004X
1. ВВЕДЕНИЕ
Физика поверхностных волн регулярно обсуждается в научных изданиях чуть ли не с момента теоретического предсказания таких волн А. Зом-мерфельдом в 1896 году [1]. И это не удивительно, поскольку типов поверхностных волн обнаружено довольно много, а значение поверхностных волн для различных приложений велико. В частности, поверхностные плазменные волны используются в черенковских СВЧ-излучателях на электронных пучках [2—7], обсуждается возможность использования в таких излучателях дисси-пативной пучково-плазменной неустойчивости на поверхностных волнах [8, 9]. Поверхностные волны в плазме реализуют поддержание разряда в газе [10]. Сильная пространственная неоднородность поверхностных волн и их локализация вблизи границы раздела находит свое применение в развивающейся сейчас области нанофизики — наноплазмонике [11, 12]. Несмотря на значительное время, прошедшее с момента предсказания поверхностных волн, их интенсивное исследование и многочисленные приложения, нерешенные вопросы физики поверхностных волн остаются и до настоящего момента. Так, в работах [13—15] сообщается о регистрации поверхностной волны на границе проводящей среды (волны Ценнека), а в работе [16] ставится под сомнение сама возможность ее существования. В недавней работе [17] обсуждаются поверхностные волны Дж. Ценнека [18, 19] и обращается внимание на то, что при определенных условиях групповые скорости этих волн превышают скорость света с, на основании
чего заключается, что такие волны существовать не могут. При этом используется упрощенная модель среды, с комплексной диэлектрической проницаемостью, не зависящей от частоты. Мы считаем, что учет частотной дисперсии (т.е. зависимости диэлектрической проницаемости среды от частоты) в теории поверхностных волн очень важен, а отрицать существование (по крайней мере теоретическое) поверхностных волн с групповыми скоростями большими с не во всех случаях правильно. Мы покажем, что при наличии достаточно сильной диссипации вещественные части комплексных фазовой и групповой скоростей поверхностных волн могут превосходить скорость света, а закон дисперсии таких волн оказывается весьма сложным. Будет рассмотрена плазмопо-добная диэлектрическая среда, под которую подпадают собственно столкновительная плазма, металлы, электролиты и другие среды, представляющие интерес для приложений.
2. ДИСПЕРСИОННЫЕ УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТНЫХ ВОЛН
Пусть плоскость х = 0 является границей раздела двух однородных изотропных диэлектрических сред (рис. 1). Для электромагнитных возмущений вида
/ (?, г, х) = / (ю, кг, х) ехр (-/ю ? + 1кгг) (1)
(/ — любая составляющая векторов электромагнитного поля1, ю — частота, — составляющая волнового вектора в направлении, параллельном
5
749
^ Е(х) ехр(-/ю/ + /к V. х
-Ь £1 0 Ь £2
Рис. 1. К постановке задачи.
границе раздела х = 0) из уравнений Максвелла следует, что возможны независимые электромагнитные поля двух типов поляризации [20]: с отличной от нуля составляющей напряженности электрического поля Ег — поле Е-типа, и с отличной от нуля составляющей магнитной индукции В — поле В-типа. Нас здесь интересуют только поля Е-типа.
Из уравнений Максвелла получаем, что составляющая напряженности электрического поля Ег(х) удовлетворяет уравнению [20]
А
йх
е(х) йЕг Ух2(х) йх
е(х)Ег = 0, - да < х < +да, (2)
где
е(х) =
61(Ю),
х < 0
|б2(о>), х > 0' Г 2 ,2 2/2
% 2(х) = № = к2 -е1 Ш/е ,
х < 0 х > 0
(3)
Е(-0) = е(+0), ^Е'(-0) = ЦЕ'(+0),
X 2
2 -XI
(4)
где штрихом обозначено дифференцирование по координате х. Условия (4) следуют непосредственно из уравнения (2) и отражают непрерывность тангенциальных составляющих напряженности электрического и индукции магнитного
полей. В теории поверхностных волн, основанной на уравнении (2) и условиях (4), используют еще следующие условия на бесконечности:
Ег (-да) = 0, Ег (+да) = 0. (5)
Фактически условия (5) можно рассматривать как определение поверхностных волн, т.е. волн, поле которых локализовано у границы раздела сред х = 0 и убывает в обе стороны от границы. Очевидно, что при отсутствии границы раздела поле, удовлетворяющее условиям (5) и уравнению (2), было бы тождественно равно нулю.
Общее решение уравнения (2) запишем в виде
Ег(х < 0) = А1 ехр(хлх) + В ехр(-хх), Ег(х > 0) = А2 ехр(-%2х) + В2 ехр^х), где А12 и В1,2 — постоянные. Условимся при извлечении корня квадратного из комплексного числа брать то значение, которое имеет положительную вещественную часть2. Тогда, используя первое условие (4) и условия на бесконечности (5), находим из (6) выражение для поля поверхностной волны (А1 = А2 = А, В1 = В2 = 0) Гехр(х1х), х < 0
(6)
Ег (х) = А Г"1"-~ ~ ' . (7)
[ехр(-х2х), х > 0 Подставляя далее (7) во второе условие (4), получаем известное дисперсионное уравнение для определения частот поверхностных волн [21]
Х>ю(ю, кг) = 81X2 + е2X1 = 0 ^
^ 8
1(ю)7к^е2 - м2е2(ю) + (м)^к^с2 - ю2е1(ю) = 0.
(8)
2 ,2 212 1% 2 = К -е 2 ® ¡с ,
Здесь 812(ю) — комплексные диэлектрические проницаемости сред в полупространствах х < 0 и х > 0 соответственно, мы их пока не конкретизируем. В точке разрыва функции е(х) уравнение (2) заменяется условиями сшивки
В потенциальном приближении (с ^ да), уравнение (8) принимает вид
81И + 82(ю) = 0. (9)
При использовании граничных условий (5) возникает проблема отбора в общем решении (6) тех слагаемых, которые стремятся на бесконечно-
3
сти к нулю , что при комплексных диэлектрических проницаемостях и комплексной частоте требует определенного анализа. Было бы удобно сформулировать задачу таким образом, чтобы в решении (6) оставались все слагаемые. Для этого предположим, что при х = ±Ь расположены две идеально проводящие плоскости, формирующие плоский волновод, а интересующая нас граница
1 Здесь и далее фурье-образы физических величин и сами эти величины обозначаются одними и теми же символами. Аргументы ш и кг у фурье-образов там, где это не приводит к недоразумениям, опускаются, т.е. записывается / (щ, кг, х) = / (х).
2 Именно так вычисляются квадратные корни в наиболее известных стандартных программных комплексах компьютерной математики, а это важно, поскольку трансцендентные дисперсионные уравнения, которые будут получены ниже, могут быть решены только численно.
3 В силу принятого выше правила вычисления квадратного корня отбор нужных слагаемых является однозначным. При этом оказывается, что на комплексной плоскости •п = и + IV вычисленные квадратные корни при и < 0 в полуплоскостях V > 0 и V < 0 принадлежат разным ветвям двузначной функции л/п.
г
В, (х) = А
раздела двух сред х = 0 находится между проводящими плоскостями. Тогда вместо условий на бесконечности (5) должны использоваться следующие граничные условия:
В1 (-Ь) = 0, В,( (+Ь) = 0. (10)
Имеется еще одно, кроме удобства, преимущество граничных условий (10), делающее их универсальными. При выполнении неравенств Яе Х1,2 < 0 каждому слагаемому в общем решении (6) соответствует электромагнитная волна с определенным направлением распространения. Граничные условия (5) и известные правила, по которым определяются направления распространения волн [22], не всегда согласуются друг с другом. В связи с этим в теории поверхностных волн, основанной на граничных условиях (5), появляются нефизические результаты (см. далее). При использовании граничных условий (10) учитываются все волны независимо от направления их распространения, что исключает появление нефизических решений.
Подставляя в (10) общее решение (6) и учитывая первое условие (4), для поля в области х е (-Ь, Ь) имеем
Шх^Х + х)]/8МхЬ), х < 0 [б^х2(Ь - х)]/8И(х2Ь), х > 0. Наконец, подставляя решение (11) во второе условие сшивки (4), получаем искомое дисперсионное уравнение поверхностных волн в плоском волноводе
£ь(ю,к,) - 61Х2^(Х2Ь) + 62Х^Ь(Х1Ь) = 0. (12) При Ь ^ да уравнение (12) переходит в уравнение (8) (при принятом нами способе извлечения квадратного корня из комплексного числа !). Однако при любом конечном Ь между этими уравнениями имеется существенное различие. Левая часть уравнения (8) содержит точки ветвления, а у левой части уравнения (12) точек ветвления нет. Дело в том, что функции х1,2^Ь(х1>2Ь) инвариантны относительно выбора квадратного корня из
величин х22 , чем и обусловлена большая универсальность уравнения (12) по сравнению с уравнением (8).
Помимо частоты поверхностной волны, уравнение (12) определяет еще и частоты обычных объемных электромагнитных волноводных мод. Уравнение (12) определяет также и частоты так называемых электромагнитно-плазменных волн [23] (при неплазменной природе диэлектрических проницаемостей б12 название не вполне удачное). Такие волны существуют, если имеются решения хотя бы у одного из
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.