М ЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 4 • 2013
УДК 532.529.2:532.5.013.4
© 2013 г. И. И. РЫЖКОВ
ДЛИННОВОЛНОВАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ПЛОСКОГО СЛОЯ МНОГОКОМПОНЕНТНОЙ СМЕСИ С ЭФФЕКТОМ СОРЕ
Проведено исследование длинноволновой неустойчивости, возникающей в плоском слое многокомпонентной смеси с эффектом Соре. Слой находится в поле силы тяжести и подогревается сверху или снизу. Решение линеаризованных уравнений движения ищется в виде ряда по степеням волнового числа, которое предполагается малым. Найдены критические параметры неустойчивости для смеси с произвольным числом компонент, построены карты устойчивости для бинарных и тройных смесей. В пространстве физических параметров выделены области, в которых наиболее опасны длинноволновые и коротковолновые возмущения. Проведено сравнение аналитических результатов с результатами численного решения линеаризованных уравнений в широком диапазоне волновых чисел. В качестве примера рассмотрена неустойчивость в тройной смеси углеводородов.
Ключевые слова: многокомпонентная смесь, конвективная неустойчивость, эффект Соре.
Условия возникновения конвекции в чистых средах в поле силы тяжести изучены достаточно подробно. Начиная с пионерских работ Бенара и Рэлея в начале XX в., этому вопросу посвящено большое число теоретических и экспериментальных исследований (см. монографию [1] и ссылки в ней). В отличие от чистых сред, смеси различных веществ обнаруживают гораздо большее разнообразие переходных процессов и структур благодаря наличию нескольких механизмов тепломассообмена: конвекции, теплопроводности, основной и перекрестной диффузии, термодиффузии (переноса массы под действием градиента температуры, который также называют эффектом Соре).
Одно из первых исследований конвективной устойчивости бинарной смеси было выполнено в работе [2]. Влияние эффекта Соре на устойчивость механического равновесия в плоском слое впервые изучалось в [3] (теоретически и экспериментально). Эти исследования были продолжены в последующих теоретических работах [4—6]. Экспериментальные исследования неустойчивости в смеси жидких изотопов гелия 3Не—4Не [7], а также системе вода—этанол [8] показали хорошее согласие с результатами линейной теории. Обзор работ по конвективной неустойчивости плоского слоя бинарной смеси в рамках линейной, слабонелинейной и нелинейной теории представлен в [9]. Заметим, что в отличие от классической неустойчивости Рэлея—Бенара, возникающей в слое чистой жидкости при подогреве снизу, неустойчивость в бинарной смеси может иметь место и при подогреве сверху, если тяжелый компонент смеси концентрируется у нагретой границы в результате термодиффузии [10].
Устойчивость плоского слоя многокомпонентной смеси без учета перекрестной диффузии и эффекта Соре теоретически изучалась в [11], при этом использовались идеализированные граничные условия (свободные, проницаемые границы). В работах [12, 13] было показано, что использование реальных граничных условий (твердые, непроницаемые границы) и учет перекрестной диффузии существенно влияют на критические параметры возникновения конвекции. Неустойчивость в слое тройной смеси, вызванная эффектом Соре, изучалась в [14]. Использование ряда упрощающих
предположений (свободные, проницаемые границы, отсутствие перекрестной диффузии) затруднило сравнение теоретических результатов с экспериментом.
Особенность конвекции Рэлея—Бенара в плоском слое бинарной смеси с эффектом Соре — существование длинноволновой неустойчивости. Такой тип неустойчивости характерен для жидкостей и возникает при подогреве снизу и нормальном эффекте Соре (легкий компонент концентрируется у нагретой границы). С увеличением степени разделения смеси граница устойчивости резко понижается [3]. Длинноволновая неустойчивость также имеет место при подогреве сверху и аномальном эффекте Соре (легкий компонент концентрируется у холодной границы). В обоих случаях градиент плотности, вызванный градиентом концентрации, гравитационно неустойчив и приводит к возникновению движения. В условиях, когда характерное время диффузии гораздо больше характерного теплового времени и границы слоя непроницаемы для вещества, движение возникает даже тогда, когда полный градиент плотности гравитационно устойчив (при подогреве сверху). Скорость конвекции при этом очень мала и распределение температуры в слое практически не отличается от состояния механического равновесия. Описанный тип неустойчивости плоского слоя не изучался для смесей с тремя и большим числом компонент. Следует отметить работу [15], где исследовалась длинноволновая неустойчивость конвективного движения в вертикальном слое многокомпонентной смеси.
Данная работа посвящена изучению длинноволновой неустойчивости плоского слоя многокомпонентной смеси с эффектом Соре. Решение линеаризованных уравнений движения ищется в виде ряда по степеням волнового числа, которое предполагается малым. Найдены критические параметры неустойчивости для смеси с произвольным числом компонент, построены карты устойчивости для бинарных и тройных смесей в широкой области физических параметров. Проведено сравнение аналитических результатов с результатами численного решения амплитудных уравнений в широком диапазоне волновых чисел. Работа выполнена в рамках подготовки совместного эксперимента ДСМИКС "Коэффициенты переноса в многокомпонентных смесях" на Международной космической станции (ЕКА—Роскосмос).
1. Постановка задачи. Рассмотрим смесь, состоящую из п компонентов, и выберем компонент п в качестве растворителя. Состав смеси описывается вектором концен-
т
траций (массовых долей) С = (С1 ,..., Сп-1) (индекс "V указывает на вектор—столбец). Предполагается, что смесь является молекулярной (таким образом, седиментация компонентов в поле силы тяжести, имеющая место в коллоидных смесях [16], отсутствует). Будем считать, что справедливо приближение Обербека—Буссинеска и плотность линейно зависит от температуры и концентрации компонентов
Здесь р0 — плотность смеси при средних значениях температуры Г0 и концентраций
Со, вт и Р,- — коэффициенты теплового и концентрационного расширения смеси соответственно. Уравнения движения смеси имеют вид
\
Р = Р0 1 -Рт(Т - То) - X в,(С - Со)
,=1
д, и + (и • V) и = -р0-1^ + vV и - g(Pт(Т - То) +1 • В (С - Со))
.2
д ,Т + (и -У)Т = уу Т
д, С + (и -V) С = ЛУ 2С + БТУ 2Т V • и = о
2
(1.1)
2
3 Механика жидкости и газа, № 4
Т0 - АТ/2
Ь
g
0
Т0 + А Т/2 *
Фиг. 1. Бесконечный горизонтальный слой
Здесь х = (х, у, %) — вектор координат, и = (и, и, м) — вектор скорости, р — отклонение полного давления от гидростатического, g = (0,0, — вектор ускорения силы тяжести, V и х — коэффициенты кинематической вязкости и температуропроводности сот
ответственно, Л = {Лу} — матрица коэффициентов диффузии, Бт = (ЛТ1,..., ЛТп-1) — вектор коэффициентов термодиффузии, В = diag{p1,..., вп-1} — диагональная матрица,
т
I = (1,..., 1) — вектор размерности п — 1 и С0 = (С10 ,..., Сп-10) .
Заметим, что в уравнении переноса тепла (1.1) не учитывается слагаемое, характеризующее эффект Дюфора (перенос тепла под действием градиента концентрации). В жидких смесях этот эффект пренебрежимо мал [3]. Экспериментальное и теоретическое исследование конвекции Рэлея—Бенара в ряде бинарных газовых смесей показало, что влияние эффекта Дюфора на значения критических параметров неустойчивости также крайне мало [17].
Рассмотрим бесконечный горизонтальный слой жидкости, ограниченный двумя твердыми стенками % = 0 и % = Ь (фиг. 1). Стенки поддерживаются при постоянных температурах Т0 ± ДТ/2. Кроме этого, на стенках ставятся условия прилипания и отсутствия диффузионного потока компонентов смеси
% = 0, Ь: и = 0, Т = Т0 ±—, Л — + Бт — = 0 (1.2)
2 д% д%
Случай А Т > 0 соответствует подогреву снизу, а А Т < 0 — сверху. Введем безразмерные переменные по формулам Ь2
? = х = Ь х*, и =■¥• и*
V Ь
2
р = р^ р*, Т-Т0 = ЛТТ*, С-С0 =РТЛТВ-1 С* Ь2
Отбрасывая для простоты верхние индексы у безразмерных переменных, запишем уравнения движения (1.1) в безразмерной форме
д, и + (и • V) и = ^р + V 2и + Рг-1 Яа (Т +1 • С) е
д,Т + (и -У)Т = Рг-1 V2Т (1.3)
г
д, С + (и • V) С = 8С (V 2С - у V 2Т) V • и = 0
Система содержит следующие безразмерные параметры: число Рэлея Иа = gPTД TL3/v%,
число Прандтля Рг = вектор отношений разделения у = ..., уп-1) = -Р-1ВБ, характеризующий эффект термодиффузии [18], и матрицу
БС = V-1ВБВ_1, {БС}у = — Бе-г,у = 1,..., п -1
Р у
Здесь Беу = у/Бу — числа Шмидта. Предположим, что коэффициент теплового расширения вт > 0, что справедливо для большинства жидкостей и газов, и коэффициенты концентрационного расширения рг > 0 при г = 1,..., п - 1, чего можно всегда добиться путем выбора наиболее тяжелого компонента в качестве растворителя. Тогда положительные (отрицательные) значения отношения разделения уг соответствуют случаю, когда компонент i перемещается в более нагретую (более холодную) область в результате термодиффузии.
Граничные условия (1.2) переписываются в безразмерных переменных следующим образом:
г = 0,1: и = 0, Т = ±-, дС - удТ = 0 (1.4)
2 дг дг
Заметим, что уравнения (1.3) содержат большое число физических параметров. В частности, для смеси из п компонент матрица БС состоит из (п -1)2 чисел Шмидта и п(п - 3)/2 + 1 отношений рг/ру-. Для уменьшения числа управляющих параметров в задачах подобного типа в работе [18] было предложено преобразование
С = Р01С \ у = РО V (1.5)
Здесь P — матрица, столбцы которой образованы собственными векторами £г матрицы SC, i = 1, ..., п — 1, а Q — диагональная матрица вида
О = ^{1 • $1, ..., I • % п-1>
Преобразование (1.5) переводит уравнения (1.3) и граничные условия (1.4) в уравнения и граничные условия аналогичного вида с диагональной матрицей SC = P-1SCP, отношениями разделения у' и вектором концентраций С'. Таким образом, в данной конфигурации исходная многокомпонентная смесь эквивалентна другой многокомпонентной смеси без эффекта перекрестной диффузии. В дальнейшем предполагается, что матрица SC уже приведена к диагональному виду: БС = diag{Беf1,..., Бе-^}.
Задача (1.3), (1.4) имеет стационарное
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.