ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2015, том 55, № 1, с. 3-9
УДК 519.624.2
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ПОЛНОТЫ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ ОПЕРАТОРА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ В ДИВЕРГЕНТНОМ ВИДЕ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
© 2015 г. А. Р. Алиев*, **, Э. Х. Эйвазов*
(* AZ1148Баку, ул. З. Халилова, 23, Бакинский гос. ун-т, фак. Прикл. матем. и кибернетики; ** AZ1141 Баку, ул. Б. Вахабзаде, 9, Ин-т матем. и механики НАНАзербайджана) e-mail: alievaraz@yahoo.com, eyvazovelshad@mail.ru Поступила в редакцию 10.04.2014 г.
Методом конечных разностей устанавливается полнота собственных функций оператора Штурма—Лиувилля в дивергентном виде. При этом доказывается самосопряженность конечно-разностных схем, соответствующих уравнению Штурма—Лиувилля в дивергентном виде с различными граничными условиями. Кроме того, изучается аппроксимация и сходимость метода, а также свойства собственных значений и собственных векторов разностной схемы, аппроксимирующей дифференциальное уравнение и граничные условия. Библ. 18.
Ключевые слова: оператор Штурма—Лиувилля, метод конечных разностей, самосопряженность конечно-разностных схем, полнота собственных функций.
Б01: 10.7868/80044466915010020
1. ВВЕДЕНИЕ
Математические модели некоторых прикладных проблем, связанных с решением задач теплопередачи, массообмена, динамики жидкости, диффузии, электричества и магнитизма, описываются оператором Штурма—Лиувилля в дивергентном виде (см., например, [1]—[6]).
Точное решение задачи на собственные значения оператора Штурма—Лиувилля (вообще говоря, дифференциальных операторов) можно найти только в редких случаях. Поэтому для решения таких задач применяются различные приближенные методы. Среди этих методов наиболее применимы разностные методы (см., например, [7]—[12]).
Впервые метод конечных разностей для изучения краевых задач для уравнения второго порядка был применен Планшерелем (см., [13], [14]). Он доказал, что собственные значения и собственные векторы конечно-разностной задачи сходятся к собственным значениям и собственным функциям дифференциальной задачи.
В приложениях принципиальное значение имеет разложение по собственным функциям краевых задач для дифференциальных уравнений. Впервые полноту собственных функций задачи Штурма—Лиувилля доказал В.А. Стеклов (см. [15]). В настоящее время существует несколько методов (см., например, [16]) доказательства полноты собственных функций, среди которых наиболее важными являются метод интегральных уравнений (или метод Грина), метод контурного интегрирования и метод конечных разностей (или метод Б.М. Левитана). Первым полноту собственных функций задачи Штурма—Лиувилля с помощью метода конечных разностей доказал Б.М. Левитан (см. [17] или [18, стр. 219, Приложение 1]).
В настоящей работе доказывается самосопряженность конечно-разностных схем в общем виде. Используя этот результат, устанавливается самосопряженность конечно--разностных схем, соответствующих уравнению Штурма—Лиувилля в дивергентном виде с различными граничными условиями. Изучается аппроксимация и сходимость метода, а также свойства собственных значений и собственных векторов разностной схемы, аппроксимирующей дифференциальное уравнение и граничные условия. Методом Б.М. Левитана доказывается полнота собственных функций оператора Штурма—Лиувилля в дивергентном виде.
2. САМОСОПРЯЖЕННОСТЬ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ
Пусть
Нт-1 = {У = УУ2,Ут-д'- У1 е = (-»,+<»), г = 1,2,...,т - 1} есть вещественное пространство со скалярным произведением
т-1
(у, 3) = x
í=i
и нормой ||у|| = (у,у), где т — произвольное натуральное число, а к — положительное. В этом пространстве определим оператор Вк формулами
(By)=- h Ia-1 ^ - a-^
i = 1,2,..., m -1,
где a1, a2, ..., am — вещественные числа. Числа y0 и ym определяются следующим образом:
y _ a1(YlJl + Y У) v _ «2(v т-2Ут-2 + V m-LVm-1) 0 n ' У m „ '
alY 0 + P1 a 2V m + P2
где a¡, P¡, i = 1, 2, y¡, i = 0, 1, 2, v¡, i = m — 2, m — 1, m, — произвольные числа, удовлетворяющие условиям
aiY0 + P1 * ° a2Vm + P2 * Теорема 1. Для того чтобы Bh был самосопряженным оператором в пространстве Hm-1, необходимо и достаточно выполнение условий
a1aií 2 = 0, üma 2V m-2 = 0.
Доказательство. Легко видеть, что матрица B = (bj) оператора Bh является матрицей Якоби. Поэтому для доказательства теоремы достаточно показать, что
b¡¡-1 = bi-1p i = 2,3,...,m - 1.
Из выражений (Bhy)¡ и (Bhy)¡ + 1 имеем
b — — а b — ai + ai+1 b — - ai+1 ui i-1 , 2' i i i 2 ' i i+1 i 2 '
(1)
-- а
к2 ' " ' ' "11
Из (1) и вещественности чисел а1, а2, ..., ат следует, что Ъ, I-1 = Ъ1- I при I = 3, 4, ..., т — 2. Теперь покажем, что Ъ12 = Ъ21. Из формул
(ВУ)1 = -Ч У 0 +
h2 h
С
-У1 -7Í У 2 h
a, + a1 + a^, - a2 _ a1 ( -a^Y 1У1 + Y2У2) | + a1 + - a, _
h ^ a1Y 0 + P1
a1 + a2 + a1a1Y 1
h2 (a1Y 0 + p1)h2 J
У1 +
—2 +
2
a^jy 2
2 У1 ^72 У2 h
h (a1Y 0 + p1)h
У2
и
вытекает, что
(б„У)2=- У1+^ У 2 - Oí Уз h h h
_ a1 + a2
11 h2 (a1Y 0 + p1>h
_, b =-+ a^Y2 , 2 h2 (a1Y 0 + p1>h2'
b - - b -b21 - , 2, b22 -
_ a2 + ai , _ ai
2 , b23 - 71.
(2)
(3)
к к к Из условия а1а1у2 = 0 и (2), (3) следует, что Ъ12 = Ъ21. Используя условие ата2ут -2 = 0, аналогичным образом доказывается, что Ът -1 т - 2 = Ът - 2 т -1. Теорема доказана.
3. РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ В ДИВЕРГЕНТНОМ
ВИДЕ И ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ
Рассмотрим следующую дифференциальную задачу:
Ь(и) = (к(х)+ д(х)и = Хи, 0 < х < Т, (4) йх I йх )
£ 0(и) = а1и'(0) + р1и(0) = 0, (5)
I Т(и) = а2и'(Т) + р2и(Т) = 0, (6)
где X — спектральный параметр, а,- и Р,-, - = 1, 2, — вещественные числа, удовлетворяющие усло-
2 2
виям а, + р, > 0,г = 1,2, а к(х) и #(х) — вещественные функции.
Обозначим через т произвольное натуральное число. Пусть к = Т/т, у, - = 0, 1, ..., т, — компоненты вектора, которые будут определены ниже и а, I = 1, 2, ..., т, й, I = 1, 2, ..., т — 1, у,-, - = = 0, 1, 2, V, I = т — 2, т — 1, т, — произвольные вещественные числа. Задаче (4)—(6) сопоставим следующую разностную схему:
-1 (а+1 - а^Ц + йу = Хуь г = 1,2,...,т -1,
п\ п п !
а 1(7 0У0 + У1У1 + У 2У2) + Р1У0 = 0, (7)
а2^т-2Ут-2 + Vт-1Ут-1 + VтУт) + вгУт = 0 . (8)
В пространстве Нт _ 1 определим оператор Ак формулами
(Ау), = -1 (а+1 - а ) + йу,, г= 1,2,..., т -1, п\ п п !
где у0 и ут определяются из условий (7) и (8).
Теорема 2. Если выполняется одно из нижеперечисленных условий:
а) а1 = а2 = 0;
б) а = 0, а2 Ф 0, Vт-2 = 0;
в) а2 = 0, а1 Ф 0, у2 = 0;
г) а1 Ф 0, а 2 Ф 0, у 2 = v т-2 = 0, то оператор Ак самосопряжен.
Доказательство. Оператор Ак представим в виде суммы операторов Вк и D, т.е. Ак = Вк + D, где оператор D порождается диагональной матрицей ё1а§(й1, й2, ., йт _ 1). Так как главные диагональные элементы й1, й2, ..., йт _ 1 матрицы ё1а§(й1, й2, ..., йт _ 1) вещественны, то оператор D является самосопряженным. В силу же теоремы 1 следует, что во всех четырех случаях оператор Вк самосопряжен. Из этого непосредственно следует утверждение теоремы.
В дальнейшем, не умаляя общности, будем рассматривать дифференциальную краевую задачу
Ь(и) = {к(х)йи(х)} + д(х)и = Хи, 0 < х < Т, (9)
йх \ йх )
I Ли) = и'(0) + юи(0) = 0, (10)
10(и) = и'(Т) + 0и(Т) = 0 (11)
и соответствующую ей разностную схему
Ш - -1 (а,+1 - а1У—У^\ + йу1 = Ху, (12)
Н\ п п !
I = 1, 2, ..., т — 1,
^ п(У) = У 0 У0 + У1У1 + ®У0 = 0, (13)
^ е,п(у) =Vт-1Ут-1 + VтУт + $Ут = 0 , (14)
где ю и 9 — произвольные вещественные числа.
Теорема 3. Пусть к(х) > с > 0 (с — постоянное число) — непрерывно дифференцируемая, ^(х) — непрерывная функция, а
У1 = 1 + ^-¿^Ч У о = -71, (1)
к 2к(х0)ю
и
у - 1 , 9(хт) -№(хт) V _-у (16)
Vт _ + „ , Vт-1 _ Vт, (16)
к 2к(Хт)0
гдех, = ¡к, ю и 9 — произвольные вещественные числа, отличные от нуля. Кроме того, пусть а, , = 1, 2, ..., т, и й,, , = 1, 2, ..., т — 1, — произвольные вещественные числа, удовлетворяющие асимптотическим условиям
а+1 + а = к(х) + 0(к2), к ^ 0, (17)
а+1 - а = к'(х;) + 0(к2), к ^ 0, (18)
к
( = #(х) + 0(к2), к ^ 0, (19)
, = 1, 2, ..., т — 1.
Тогда, если и(х) — решение задачи (9)—(11), имеющее непрерывную производную четвертого порядка, а У = (Уо, У1, У2, "•, Ут) — решение разностной схемы (12)—(14), то для любого х е [0, 7] при т ^ да и ук ^ х, уч ^ и(х) и притом равномерно в каждой области
{(х;1): 0 < х < Т, 0 < | < Я < +да},
где Я — произвольное положительное число.
Доказательство. Из условий (17)—(19) следует (см. [12, стр. 16, 1.3.1]), что разностный оператор Lk(y) аппроксимирует дифференциальный оператор L(u), причем
и(у,) - (Ьи)(х) = 0(к2), к ^ 0, г = 1,2,...,т -1.
А из условий (15) и (16) вытекает, что граничные разностные операторы I к и 10 к аппроксимируют граничные дифференциальные операторы I ю и 10 соответственно, причем
г м(у) - г М = 0(к2), к ^ 0,
и
гв/у) - ге(и) = 0(к2), к ^ 0.
Таким образом, при условиях теоремы разностная схема (12)—(14) аппроксимирует дифференциальную задачу (9)—(11) со вторым порядком по к. Тогда решение разностной задачи (12)—(14) сходится при к ^ 0 к решению дифференциальной задачи (9)—(11) со вторым порядком по к так, что выполняется оценка
||у - и\ С(П„) = тах |уг - и\ < Мк2,
х1 еО к
где М — постоянная, не зависящая от к,
О к = {хг = гк, г = 0,1,..., т, кт = Т} есть равномерная сетка отрезка [0, 7].
4. ПОЛНОТА СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИИ
Обозначим собственные значения задачи (12)—(14) в порядке их роста через Хк(к), к = 0, 1, ..., т, и
соответствующие собственные векторы через у (к)(к) = (у0к)(к), у1к)(к),..., у^Хк)). Имеет место следующая
Теорема 4. Собственные значения разностной схемы (12)—(14) действительны. При этом собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны. Число собственных значений Хк(к) в каждом конечном интервале (—М, М) ограничено, равномерно по к.
Доказательство. Первые два утверждения теоремы есть простое следствие теоремы 2. Докажем третье утверждение. Введем две функции
ф/а) = v + v тут(Х) + 0Ут(Ц
и
/(X) = и'( Т, X) + 0 и (Т, X),
где у (X) = (у0( X), у( X),..., ут( X)) и и(х, X) являются решениями задачи (12)—(14) и (9)—(11) соответственно. Очевидно, что числа Хк(к), к =
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.