СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ
1. Гагарин А. С. Экзистенциалы человеческого бытия: Одиночество, смерть, страх. От античности до Нового времени / А. С. Гагарин. - Екатеринбург, 2001. - С. 14-20.
2. Шелер М. Философские фрагменты из записных книжек последнего года жизни / М. Шелер // Историко-философский ежегодник - 2005. - М., 2005. - С. 196.
3. Чухина Л. А. Человек и его ценностный мир в феноменологической философии Макса Шелера / Л. А. Чухина // Шелер М. Избр. произв. - М., 1994. - С. 382-389.
4. Шелер М. Ordo amoris / М. Шелер // Шелер М. Избр. произв. - М., 1994. - С. 352-353.
5. Габель М. Человек - движение к божественному? / М. Габель // Историко-философский ежегодник - 2005. - М., 2005. - С. 214-215.
6. Гагарин А. С. Философская антропология Макса Шелера: проблема интенциональности / А. С. Гагарин // Проблемы антропологии и антроподицеи в философии: коллектив. монография / отв. ред. Р. А. Бурханов. - Екатеринбург, 2005. - Ч. 3. - С. 75.
7. Шелер М. Ordo amoris / М. Шелер // Шелер М. Избр. произв. - М., 1994. - С. 352-353.
8. Шелер М. Ordo amoris / М. Шелер // Шелер М. Избр. произв. - М., 1994. - С. 351-352, 356.
9. Шелер М. Ordo amoris / М. Шелер // Шелер М. Избр. произв. - М., 1994. - С. 352.
10. Шелер М. Ordo amoris / М. Шелер // Шелер М. Избр. произв. - М., 1994. - С. 342.
© Т. И. Кротикова, 2009
Материал поступил в редакцию 21.04.2009
УДК 164.07+168.35
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВТОРОЙ ТЕОРЕМЫ К.ГЁДЕЛЯ О НЕПОЛНОТЕ
В. А. ФИЛИППОВСКИЙ, аспирант
Самарский государственный аэрокосмический университет имени акад. С.П.Королёва
Московское шоссе, 34 А, г. Самара, Россия, 443086
Гёделевы теоремы о неполноте называют самыми значительными теоремами метаматематики. Первая теорема - базовая из двух и более сложная, в силу чего менее известна. Вторая - более общая по отношению к Первой, более радикальная и, если позволительно так высказываться, более скандальная. Она же более известна. Тезисы посвящены Второй теореме Гёделя о неполноте.
Ключевые слова: теорема Гёделя, доказательство, логические исчисления.
В 1931 г. Гёдель опубликовал статью "О формальной неразрешимости предложений Principia Mathematica и родственных ей систем I". В ней, среди прочих, доказываются две теоремы, которые сегодня именуются "великими ограничительными теоремами".
Имеется огромное количество пересказов и интерпретаций содержания этих теорем. Классиками в этой области являются А.Чёрч, Дж.Б.Россер, А.М.Тьюринг, С.К.Клейни, Р.М.Смаллиан, Д.Хофштадтер, Дж.Лукас, Р.Пенроуз, П.Смит, К.М.Подниекс, В.А.Успенский, А.Б.Сосинский, В.В.Целищев, А.С.Кузичев и др.
Дальнейшее развитие части метатеории логики, связанной с теоремами о неполноте, возможно лишь после уточнения предмета разговора. Для того, чтобы вести корректное обсуждение теорем Гёделя, тем более, доказательств этих теорем, необходимо, прежде всего, иметь в распоряжении сами доказательства. К сожалению, в литературе нами найдены только доказательства или наброски доказательств авторских
переформулировок теорем, их интерпретаций. Однако наличествующая обстановка, сложившаяся вокруг знаменитых теорем, требует аутентичных формулировок и аутентичных доказательств. Предметом рассмотрения предыдущих статей автора являлась (основная) Первая теорема. Предметом рассмотрения настоящей статьи является Вторая теорема о неполноте.
Мы обратились к английскому варианту статьи Гёделя (Godel K. On formally undecidable propositions of Principia Mathematica and related systems I. // Frege and Godel: Two Fundamental Texts in Mathematical Logic. 1970. PP.87-108). Авторская формулировка Второй теоремы (в нумерации статьи она имеет номер XI) следующая:
Теорема XI. Пусть k - любой рекурсивный непротиворечивый1 класс формул; тогда формула, утверждающая, что k является непротиворечивым классом, не является k-доказуемой; в частности, непротиворечивость системы P не является доказуемой в P2, если P является непротиворечивой (в противоположном случае, конечно, каждое высказывание доказуемо [в P]) (Godel K. Op. cit. P.105).
В статье Гёделя нет строгого доказательства этой теоремы, а есть лишь его краткое очертание («briefly outlined». - Ibid.). Мы приводим нашу реконструкцию подлинного доказательства Второй теоремы, которая претендует на восполнение отсутствующих у Гёделя ходов рассуждения.
№ Шаги доказательства Объяснение формул Анализ ходов вывода
1. 2. {k} recursive ÍW =0] Класс k является рекурсивным. В наиболее простом случае k является пустым классом. допущение
Wid{k} ° $x Form(x)& Bewk (x) Класс k является непротиворечивым т. и т. т., когда найдётся такой x -формула, недоказуемая в рамках k. определение
3. Wid{k} Класс k является непротиворечивым. допущение
4. Wid{k}É Bewk (17 Gen r) Из того, что класс k является непротиворечивым, следует, что в рамках класса k недоказуема формула r, обобщённая по параметру 17 (формула 17 Gen r). Гёдель говорит, что это было показано выше (р.608)
5. Wid {k } é "x (x Bk (17 Gen r)) Из непротиворечивости класса k следует, что для всякого значения x неверно, что в рамках класса k x является доказательством формулы 17 Gen r. 4, (6.1)
1 [Нумерация сносок соответствует нумерации в указанном источнике. - В.А.] «к является непротиворечивым» (сокращённое обозначение « (к) ») определяется таким образом:
(к) ° Эх (еогш(Х) & Бвм>к (х)).
2 Это следует, если мы подставляем на место к пустой класс формул.
17 Gen r = Sb(pl7{ p)) В силу ранее полученных равенств (13) имеем равенство формулы 17 Gen r и формулы p, параметр 17 которой заменён нумералом, соответствующим формуле p. 13
Wid{к}з"х (x Bk Sb(pZ7{p))) Из непротиворечивости класса k следует, что для всякого значения x неверно, что в рамках класса k x является доказательством формулы p, параметр 17 которой заменён нумералом, соответствующим формуле p. Замена подформулы, 5 в силу равенства 6
Wid{k}é "x(Q(x, p)) Из непротиворечивости класса k следует, что для всякого значения x имеет место отношение Q(x, p). (8.1)
expresS(a, Wid {k}) а выражает в P непротиворечивость класса k. допущение
expresSqq, Q(x, y)) Знак класса q выражает отношение Q(x, y). (8.1), (9), (10)
expresS(r, Q(x, p )) Знак класса r выражает отношение Q(x, p). (12), r = Sb(qlz{p p))
express(17 Gen r, "x(Q(x, p ))) 17 Gen r выражает обобщение формулы Q(x, y) по параметру x.
Bew (a é (17 Gen r)) В P является доказуемой импликация из а, которая выражает в P непротиворечивость класса k, формулы 17 Gen r. (24)
Bewk (a é (17 Gen r)) Если импликация из а формулы 17 Gen r доказуема, то тем более эта импликация k-доказуема. 13
Bewk (a) Формула а, выражающая в P непротиворечивость класса k, является k-доказуемой. допущение
Bewk (17 Gen r) Тогда k-доказуемой является формула 17 Gen r. m.p. 14, 15
Bewk (17 Gen r)é Wid{k} Из того, что формула 17 Gen r является k-доказуемой, следует, что класс k не является 4, контрапозиция
непротиворечивым.
18. Wid {к} Класс к не является т.р. 17, 16
непротиворечивым
© В. А. Филипповский, 2009
Материал поступил в редакцию 05.06.2009 ЭКОНОМИЧЕСКИЕ НАУКИ
УДК 338.2
ТРАНСФОРМАЦИЯ МАСШТАБОВ РАЗВИТИЯ СОЦИАЛЬНОЙ СФЕРЫ ОТЕЧЕСТВЕННЫХ ПРЕДПРИЯТИЙ
Д. Н. ШВАЙБА, аспирант
Белорусский государственный экономический университет пр. Партизанский 26, г. Минск, Беларусь, 220070
Для обеспечения устойчивого социального развития Республики Беларусь наиболее эффективной моделью взаимодействия предприятия и государства в социальной сфере является позиция "сотрудничества и диалога", при которой государство и предприятие совместно определяют приоритеты социальной политики.
Ключевые слова: социальное развитие, предприятия, "сотрудничество и диалог".
Рассматривая отечественный опыт развития социальной сферы предприятий необходимо отметить, что с течением времени происходила трансформация роли социальной сферы в соответствии с целями экономического развития общества в целом и предприятий в частности.
Так, в условиях административно-централизованной экономики с первых лет Советской власти главной целью создания и развития социальной сферы предприятия считалось обеспечение работников питанием, жильем, топливом и одеждой. В 1923 - 24 гг. размер отчислений от прибыли в фонд улучшения быта работников советских синдикатов составлял 6,7 % [1, с. 105]. К 1929 г. величина этого фонда составляла лишь 1,9 % от прибыли предприятий [2, с. 36]. Такое снижение размеров отчислений в фонд улучшения быта работников свидетельствует о переориентации трестов и синдикатов на перераспределение прибыли в свою пользу.
Только в 1936 г. в целях совершенствования системы стимулирования был образован фонд директора, который формировался по твердому нормативу от плановой и в размере 50 % от сверхплановой прибыли. Средства этого фонда предназначались для жилищного строительства (не менее его половины), на культурные цели, на премирование персонала и т.п. [1, с. 205].
В 1955 г. этот фонд был преобразован в фонд предприятия для улучшения культурно-бытовых условий работников и совершенствования производства. Последний существовал в советской экономике вплоть до хозяйственной реформы 1965 г. [3, с. 667].
Результатом проведения хозяйственной реформы 1965 г. стало создание вместо ранее существовавшего мизерного фонда предприятия трех новых, значительно более
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.