^^^^^^^^^^^^^^ ФИЗИЧЕСКАЯ
АКУСТИКА
534.535
ДОМЕННАЯ СТРУКТУРА СЛОЯ НЕМАТИЧЕСКОГО ЖИДКОГО КРИСТАЛЛА В ОСЦИЛЛИРУЮЩЕМ ПОТОКЕ ПУАЗЕЙЛЯ
© 2007 г. Е. Н. Кожевников
Самарский государственный университет 443011 Самара, ул. Ак. Павлова 1
E-mail: kozhev@ssu.samara.ru Поступила в редакцию 12.01.2006 г.
Теоретически описана пространственно-периодическая структура, возникающая в планарно-ори-ентированном слое нематического жидкого кристалла (НЖК) при воздействии осциллирующего потока Пуазейля. Анализ эффекта строится на основе уравнений гидродинамики НЖК, из которых выделена самосогласованная система уравнений для возмущений гидродинамических переменных. Показано, что вид структуры и пороговые параметры эффекта зависят от частоты и толщины слоя через скэйлинговую комбинацию rah2. Анализируется зависимость конфигурации возникающих искажений от величины вязкости а3.
PACS: 47.20.Ft
АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2007, том 53, № 4, с. 548-556
УДК
Деформация нематического жидкого кристалла (НЖК) при воздействии периодического сдвига приводит к изменению его оптических свойств, что может служить основой для создания акусто-оптических датчиков, модуляторов лазерного излучения и т.д. (напр. [1, 2]). Реакция жидкокристаллических слоев на периодический сдвиг разнообразна и требует адекватного теоретического описания. В гометропном нематическом кристалле при малой амплитуде сдвига молекулы кристалла осциллируют около первоначального равновесного положения, что приводит к просветлению слоя. Увеличение амплитуды может приводить к возникновению пространственно-модулированной структуры, наблюдаемой оптически как "домены" - в этом случае в слое возникают вихревые движения жидкости, а молекулы колеблются около нового равновесного направления, которое периодически меняется вдоль слоя. Результаты экспериментального исследования доменной структуры при воздействии на гомеотропный НЖК-слой описаны в работах [3, 4], обзорной монографии [1] и, позднее, в работе [5]; теоретический анализ эффекта для различной геометрии воздействия проведен, в частности, в работах [5-7].
Малые амплитуды периодического сдвига в НЖК-слое с планарной исходной ориентацией ввиду малости коэффициента вязкости а3 не приводят к значительной деформации структуры и изменению оптических свойств слоя. Наблюдение искажений в планарном НЖК-слое при воздействии осциллирующих потоков возможно лишь при критическом возрастании искажений структуры за порогом их образования. Теоретическое описание пороговых эффектов, возника-
ющих в планарном НЖК-слое при воздействии периодического сдвига, актуально до настоящего времени.
При воздействии периодического течения Ку-этта на планарный НЖК-слой, ориентированный вдоль потока, в слое возникают ролл-домены, вытянутые перпендикулярно направлению сдвига [8]. В теоретическом анализе эффекта, приведенном в той же работе [8], появление доменов объясняется инерцией среды, которая приводит к запаздыванию скорости вторичных осциллирующих потоков от скорости в потоке Куэтта.
Пороговая деформация планарного НЖК-слоя в осциллирующих потоках Куэтта и Пуазейля со скоростью потока, ортогональной ориентации кристалла, наблюдалась впервые в работах [9, 10]. В этих исследованиях частота осцилляций /и толщина И слоя менялись в широком диапазоне: / = 103-102 Гц, И = 30-300 мкм. В слое наблюдалось появление как однородных искажений, так и ролл-доменов, ориентированных параллельно скорости потоков, исследовано изменение вида искажений при наложении электрического и магнитного полей. В работе [1] исследованы экспериментально структуры, возникающие в планарном НЖК-слое при одновременном воздействии на него осциллирующих потоков Куэтта со скоростью потока перпендикулярной исходной ориентации кристалла и сжатия. Показано, что при малых амплитудах сжатия наблюдаемая деформация структуры совпадает с описанной в работах [9, 10]. Увеличение амплитуды сжатия приводит к появлению вторичных "несоразмерных" структур. Авторы работы [1] высказывают предположения о возможной природе вторичных
структур, однако теоретическое описание явления в литературе отсутствует.
Теоретический анализ воздействия осциллирующих потоков Куэтта и Пуазейля на структуру планарного НЖК-слоя проведен в работах [1215]. Показано, что в зависимости от частоты сдвига и величины электрического и магнитного полей возможно появление искажений двух типов: "У"-мода, когда среднее по периоду осцилля-ций отклонение директора от исходного положения по нормали к слою не равно нулю {п2) Ф 0, а среднее отклонение в плоскости слоя равно нулю (пу) = 0, и "Т' - мода, когда поведение отклонений обратное: (пу) Ф 0, (п) = 0. Искажения структуры в потоке Пуазейля различаются также по типу симметрии относительно срединной плоскости НЖК-слоя. Построены асимптотические с возрастанием частоты сдвига ю зависимости порогового градиента сдвига 50 и волнового числа доменов; для последнего получено соотношение к ~ ~ ю1/3. Определено воздействие электрического, магнитного полей, а также угла между исходной ориентацией кристалла и скоростью потока на характер и геометрию возникающих структур. В работе [16] проведено компьютерное моделирование воздействия осциллирующего потока Куэт-та на планарный слой нематического кристалла, однако теоретический анализ эффекта отсутствует.
Как показано далее, теоретический анализ искажений НЖК-структуры в осциллирующих потоках в работах [12-15] является излишне упрощенным, что обусловлено учетом малого числа гармоник (только первых) в описании временной зависимости угловых переменных и пренебрежением инерции среды, которая меняет результаты расчета на высоких частотах - на тех, для которых как раз строятся асимптотики.
В данной работе воздействие осциллирующего потока Пуазейля на структуру планарно-ориенти-рованного нематического кристалла рассмотрено теоретически заново. Предполагается ортогональная ориентация скорости потоков и ориентации кристалла. На основе уравнений гидродинамики НЖК проведен качественный теоретический анализ и компьютерное моделирование эффекта. В численных расчетах и оценках использованы параметры нематического жидкого кристалла МББА, приведенные в приложении.
Уравнения, описывающие течение жидкости и вращение молекул в нематическом жидком кристалле представим в виде [17, 18]
Y1N + Y2[ иг]п} - (U]kn}nk)пг] - гг = 0, pÜ = - VP + VG.
(1)
Uy - компоненты тензора скорости деформаций, N = n - 2- (rotU х n) - скорость вращения молекул
по отношению к окружающей жидкости, р -плотность, P - давление, с - тензор вязких напряжений уа - коэффициенты вращательной вязкости, Г = h - (h • n)n, h - упругая сила Франка с компонентами
h. = V __&
1 yd(V;n) dn;
g - плотность упругой энергии
g = 2{Kп(divn)2 + K22(n • rotn)2 + K33(n хrotn)2}.
K. - упругие модули. Компоненты вязких напряжений имеют вид
су = « Uy + (a6- «зУ2/Y1)(и1 кпкпу + U]knkni) +
+ Y 2/Y1 Ukmnknmninj + a2 Г1пу + «3Г jnj,
где ak - коэффициенты вязкости Лесли; малый коэффициент вязкости a1 полагается равным нулю.
Ограничимся в анализе эффекта частотами, на которых длина вязкой волны в нематическом кристалле больше толщины слоя h, считая выполняющимся неравенство
2p(»h
а4 + а6
< 1.
(2)
Здесь п - директор, определяющий направление выстраивания молекул, и - скорость жидкости,
Направим оси y и x в срединной плоскости соответственно вдоль и перпендикулярно плоскости потока, а ось z - перпендикулярно плоскости слоя, считая, что границы слоя соответствуют значениям Z = ±h/2 (h - толщина слоя). Исходные скорости осциллирующего потока имеют вид
Uox = Uoz = 0, U0y = 8 whs0[( 2 Z/h )2-1 ] cos (ю T).
Здесь s0 = 2|VP|h/roa4 - безразмерная скорость сдвига, VP - градиент давления P вдоль слоя. Величина s0 связана с максимальной скоростью потока в центре слоя соотношением s0 = 8U0y,max/roh; максимальное значение градиента сдвига достигается на границах слоя и равно по модулю s0/2.
В рассматриваемой геометрии невозмущенный директор располагается вдоль оси x: n0 = (1, 0, 0). В возмущенной структуре директор отклоняется от оси x на угол ¥ в плоскости XY и на угол 0 - в плоскости XZ, а в слое возникают замкнутые потоки со скоростью Ü. Углы 0 и ¥ считаем малыми, полагая компоненты директора равными nx ~ 1, ny ~ ¥, nz ~ 0, и линеаризуем уравнения движения по углам.
Рассмотрим образование устойчивых искажений структуры, считая, что возмущения гидродинамических переменных не зависят от у, а в случае пространственно модулированной структуры периодически зависят от x.
В дальнейшем описании перейдем к безразмерным координатам x = X/h, z = Z/h, времени t = = юГ, безразмерным скоростям Vk = Uk/(ah) и безразмерной скорости сдвига 5 = U0yz/ro = SqZ cos t. Уравнения для возмущений принимают вид
Y + a2( Vy,x + s0) - £Ä2Y = 0,
0 + a2Vz, x + a3 (Vx, z + sY) - £Äi 0 = 0,
(G2Ä dt - D) Vz = a6 Э x О2 - Эг2)(s Y) + + edx (a2 Э2 - a3 Эг2 )Äi 0,
(g2 dt - Äy) Vy = a6s 0,x + ea2dx /^2^, Vxx + Vz z = 0.
Здесь
D = nÄ
■э2эx,
Ä = э2 + э2,
Äi = э2 + Zi Эг2,
/Ä2 = dx + Z2 Э7
Äy = nd2 + a4/2d2
(3)
- дифференцирующие операторы, Ь1 = К11/К33, £2 = К22/К33; £ и а - безразмерные параметры, определяющие зависимость эффекта от толщины НЖК-слоя И и частоты сдвига ю через комбинацию юИ2:
£ =
K
33
Y1 ю h
_1_
ют'
g2 = р (flh2 Yi
= ^ют,
т = у1И2/К33, X = рК33/у 1 ~ 10 6. Безразмерные вязкости в уравнениях имеют вид: п = (а4 + а6)/2у1,
«2 = а2/У1, аз = аз/у1, «4 = а4/у1, «6 = (аб/у1 - азУ2/ у2).
Граничные условия для возмущений при жесткой ориентации молекул на границах слоя и замкнутости потоков принимают вид
YI = 0 = VI
lz = ±i/2 lz = ±i/2 y|z = ±i/2
= VJ = Vz
zlz = ±i/2 z
lz = ±i/2
= 0.
(4)
Возмущения 0, У„ с одной стороны, и Уу - с другой, имеют разную четность по г и возможные конфигурации возмущений представлены в таблице
Параметры (1, 1) (1, 2) (2, 1) (2, 2)
0 0(-z) = 0(z), 0(t + п) = 0(t) 0(-z) = 0(z), 0(t + п) = -0(t) 0(-z) = -0(z), 0(t + п) = 0(t) 0(- z) = -0(z), 0(t + п) = -0(t)
¥ y(-z) = -y(z), y(t + п) = -y(t) y(-z) = -y(z), y(t + п) = y(t) у(- z) = y(z), y(t + п) = -y(t) y(-z) = y(z), y(t + п) = y(t)
Vz Vz(
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.