ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2015, том 461, № 4, с. 414-417
МЕХАНИКА
УДК 551.46
ДОННОЕ ДАВЛЕНИЕ, ВЫЗВАННОЕ ПРОХОЖДЕНИЕМ УЕДИНЕННОЙ ВОЛНЫ В РАМКАХ СИЛЬНО НЕЛИНЕЙНОЙ МОДЕЛИ ГРИНА-НАГДИ
© 2015 г. Е. Н. Пелиновский, К. И. Кузнецов, Дж. Тубуль (^ ТоиЬои1), А.А. Куркин
Представлено академиком РАН Г.С. Голицыным 24.09.2014 г.
Поступило 07.10.2014 г.
DOI: 10.7868/S0869565215100114
На практике расчет донного давления, вызванного морскими волнами (как и обратная задача восстановления поля морских волн по показаниям донных датчиков), выполняется в рамках линейной теории. В соответствии с ней, используя спектральный подход, легко найти одноточечную связь между колебаниями уровня моря и вариациями донного давления [1—4]. В результате давление на дне становится полностью определенным при известных характеристиках морских волн. Однако линейная теория интуитивно хорошо работает лишь в случае небольшой амплитуды волн, когда же волнение приобретает нерегулярный и нелинейный характер, как, например, в случае штормового волнения, полагаться на линейную теорию некорректно. Так, в работе [1] показано, что предсказания линейной теории при решении обратной задачи отличаются от измеренных в лабораторных условиях на 15—20%, и это отличие связывается с нелинейностью и шумами приборов.
Сравнительно недавно начались расчеты донного давления при прохождении установившихся (прогрессивных) периодических и уединенных волн в рамках полно нелинейных уравнений Эйлера [5, 6]. Однако уравнения, полученные в этих работах, являются громоздкими и не простыми для их решения. Главная трудность в решении подобных нелинейных задач связана с принципиальной неодномерностью нелинейной краевой задачи. Однако для описания волнового поля в
Институт прикладной физики Российской Академии наук, Нижний Новгород E-mail: pelinovsky@gmail.com Нижегородский государственный технический университет им. Р.Е. Алексеева Российский университет дружбы народов, Москва Институт морской геологии и геофизики Дальневосточного отделения РАН, Южно-Сахалинск University de Toulon, La Garde, France Aix Marseille University, Marseille, France
прибрежной зоне можно успешно применять приближенные нелинейные уравнения Бусси-неска. Такой является система уравнений Грина— Нагди [7], которая не включает вертикальной координаты [8—12]. В рамках этой системы давление на дно связано с колебаниями морской поверхности относительно простыми выражениями. Здесь мы сопоставляем формулы линейной теории с предсказаниями в рамках системы Грина—Нагди для донного давления, вызванного прохождением уединенной волны (солитона) большой амплитуды.
МОДЕЛЬ ГРИНА-НАГДИ
Воспроизведем кратко основные уравнения модели Грина-Нагди для волн, распространяющихся в одном направлении:
дК + ^ = 0,
dt dx
du + u ^ + g Ш = D {H, u},
dt dx dx
(1)
(2)
где Н(х, ^ — полная глубина водного потока Н = И + + п(х, И — невозмущенная глубина бассейна, П(х, ^ — колебания уровня воды, и(х, ^ — усредненная по глубине скорость волнового течения, g — ускорение силы тяжести, Б — функционал, определяющий влияние дисперсии,
D = -д.
3H dx
H3
i2 d u
+
u d4 - И
2| ( dtdx dx Idxi
2
(3)
Важно подчеркнуть, что при выводе (1)—(3) использовано только приближение слабой дисперсии, в то же время нелинейность может быть произвольной. Приведем также выражение для донного давления в рамках модели Грина—Нагди [13, 14]:
p(x,t)
H2
= gH(x,t) -ИР 2
д 2u
д 2u
dtdx dx2
du\ dx!
П
h
0.8
u(x - Vt) = VH(x - Vt) - h = Vn(x - Vt), H H
(5)
обратно
(1 = -у д.).
\дг дх!
ние может быть выражено только через колебания уровня воды и ее временные производные:
В результате донное давле-
p^xx-vt) = gH(x - Vt)
2H2
-H Ц + dt
dH \2' dt \
(6)
так что связь между уровнем воды и давлением становится одноточечной.
Удобно представить формулу (6) в "квазистатическом" виде
p(x - Vt) = pg[h + ^(x - Vt)], (7)
где эквивалентное "смещение" описывает волновую поправку к невозмущенному гидростатическому давлению
% = П
h2
2gH2
H d2n_ (дц dt2 (dt
H = h + n (8)
V к
Рис. 1. Форма солитона в моделях Грина—Нагди (сплошная кривая) и Кортевега—де Вриза (штриховая).
где р — плотность воды. Последнее слагаемое в (4) и характеризует негидростатическую поправку в давлении, связанную с нелинейной дисперсией.
ДОННОЕ ДАВЛЕНИЕ В ПРОГРЕССИВНОЙ ВОЛНЕ
Как видно из (3), для определения давления необходимо знать поле смещений водной поверхности и скоростей. Между тем в бегущей (прогрессивной) волне с постоянной скоростью V поле скоростей легко находится из (1):
Подчеркнем, что формула (8) справедлива для любых прогрессивных волн: кноидальных и уединенных; она не содержит неизвестной скорости распространения волны и легко может быть применена к анализу реальных данных.
ДОННОЕ ДАВЛЕНИЕ, ВЫЗВАННОЕ ПРОХОЖДЕНИЕМ СОЛИТОНА
Замечательным свойством системы Грина— Нагди является существование простой формы точного решения в виде бегущей уединенной волны (солитона):
- ,х - Уг ~
П(х - Vt) = A sech
B-
h
B =
3A
V = c4 1 +
(9)
= 4ih. (10)
где мы наложили естественное условие отсутствия течения вне волны. Кроме того, в выражении для донного давления (4) можно заменить пространственную производную на временную и
'д г,д'
)4(Н + А) V Н
Формально это решение получается для произвольной амплитуды солитона А, но как известно из более общих теорий, солитон существует при условии А < 0.8к; более точные условия приведены, например, в [13]. Мы будем использовать здесь в качестве верхней границы амплитуды 0.8к. Стоит отметить, что в приближении малых амплитуд солитон Грина—Нагди переходит в соли-тон Кортевега—де Вриза. При больших амплитудах солитон Грина—Нагди несколько шире соли-тона Кортевега—де Вриза и имеет меньшую скорость течения (рис. 1).
Учитывая аргумент солитона в (9), удобно ввести безразмерное время
т = Ш. (11)
Н
Тогда временное распределение донного давления солитона (9) в рамках модели Грина—Нагди легко аналитически рассчитывается из (8):
3a
— sech т[1 + asech т][1 - 3sech т sinh т] + 3a sech xsinh т Z(t) = a' sech2T —2-
2[1 + asech2T]2
(12)
где £ = - и а = А. Данное распределение показано почти повторяет форму солитона поверхност-
Н Н ных волн, его эффективная амплитуда ниже ам-
на рис. 2 для солитона почти предельной высоты плитуды солитона, а временная длительность
(а = 0.8). Как видим, кривая давления одногорба и больше.
416 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
-----П/h
Zlin
— Z
0
-4 -3 -2 -1 0
ПЕЛИНОВСКИИ и др.
0.20 0.18 0.16 0.14 0.12 0.10 0.08 0.06 0.04 0.02
2 3 4 т
0
-4 -3 -2 -1 0
Рис. 2. Расчеты донного давления в рамках модели Грина—Нагди (сплошная кривая) и в рамках линейной теории (пунктирная линия). Штриховой линией показана форма солитона с относительной амплитудой 0.8.
Рис. 3. Результаты расчетов по линейной теории и теории Грина—Нагди для солитона малой амплитуды
а = А = 0.2).
1
т
ДОННОЕ ДАВЛЕНИЕ В РАМКАХ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ
Сопоставим теперь результаты расчетов с предсказаниями линейной дисперсионной теории волн на воде. В рамках линейной теории легко получить связь между колебаниями водной поверхности и донным давлением [1—4]
С и„ =1 Г фj)exp(iat)——, (13)
-са
где п(ю) — временной фурье-спектр колебаний свободной поверхности, и волновое число £(ю) рассчитывается из дисперсионного соотношения для линейных волн на воде
ю(к) = y[gПaatnЫkh). (14)
Рисунок 2 позволяет сопоставить расчеты по линейной и нелинейной теории для волны большой амплитудой (а = А = 0.8). Как видим, линейная теория также предсказывает солитоноподоб-ную форму вариаций давления, и их величина практически не отличается от результатов нелинейной теории даже в сильно нелинейном случае.
На рис. 3 представлены результаты аналогичных расчетов для солитона с малой амплитудой
(а = А = 0.2). Как и следовало ожидать, разница
между линейными и нелинейными расчетами стала незначительной, так что разница между кривыми не видна.
Нелинейная теория Грина—Нагди достаточно хорошо описывает волны большой амплитуды (вплоть до предельных амплитуд) в прибрежной зоне, и это неоднократно отмечалось в литерату-
ре. В ее рамках удается рассчитать донное давление, вызванное прохождением уединенной волны (солитона). Как оказалось, расчеты донного давления, выполняемые в рамках линейной теории с использованием точного дисперсионного соотношения для волн на воде, приводят к близким результатам. Таким образом, можно сделать вывод, что линейная теория, широко используемая в океанологической практике, может применяться для расчетов донного давления, вызванного бегущими волнами большой амплитуды.
Частично результаты получены в НГТУ им. РЕ. Алекссеева в рамках реализации ФЦП "Исследования и разработки по приоритетым направлениям научно-технологического комплекса России на 2014-2020 годы", соглашение № 14.574.21.0089 (идентификатор - RFMEFI57414X0089) для АК; в рамках грантов РФФИ (14-05-00092 и 14-0591370) для ЕП; стипендии Президента Российкой Федерации молодым ученым и асприрантам (СП-1763.2013.5) для КК. J. Touboul благодарен French DGA рза поддержку через грант (ANR-13-ASTR-0007).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Bishop C.T., Donelan M.A. // Coastal Eng. 1987. V. 11. № 4. P. 309-328.
2. Заславский М.М., Красицкий В.П. // Океанология. 2001. Т. 41. № 2. С. 195-200.
3. Tsai C.-H., Huang M.C., Young F.J., Lin Y.C., Li H.W. // Ocean Eng. 2005. V. 32. P. 1247-1259.
4. Кузнецов К.И., Куркин А.А., Пелиновский Е.Н., Ковалев П.Д. // Изв. РАН. Физика атмосферы и океана. 2014. Т. 50. № 2. С. 242-250.
5. Constantin A., Escher J., Hsu H.-C. // Arch. Ration. Mech. and Anal. 2011. V. 201. P. 251-269.
6. Deconink B., Olivears K.L., Vasan V. // J. Nonlin. Math. Phys. 2012. V. 19. P. 1240014-1-11.
7. Green A.E., Naghdi P.M. // J. Fluid Mech. 1976. V. 78. P. 237-246.
8. Железняк М.И., Пелиновский Е.Н. В кн.: Накат цунами на берег. Горький: ИПФ АН СССР, 1985. C. 8-33.
9. Макаренко Н.И. Динамика сплошной среды. Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО АН СССР, 1986. В. 77. С. 56-72.
10. Camassa R., Holm D.D., Levermore C.D. // Physica D. 1996. V. 98. P. 258-286.
11. Alvarez-Samaniego B., Lannes D.
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.