Автоматика и телемеханика, № 4, 2013
Обзоры
© 2013 г.
А.Г. БУТКОВСКИИ
д-р техн. наук,
С.С. ПОСТНОВ
(Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, Москва),
Е.А. ПОСТНОВА (Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, Москва, Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова)
ДРОБНОЕ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ В ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ. I. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ И ПРОБЛЕМА ИНТЕРПРЕТАЦИИ
Обзор посвящён проблемам использования дробного интегро-диффе-ренциального исчисления для описания динамики различных систем и процессов управления. Рассматриваются основные понятия и проблема интерпретации дробных операторов. Приведены примеры физических систем, адекватное описание которых требует привлечения обсуждаемого аппарата.
1. Введение
Дробное интегро-дифференциальное исчисление (в дальнейшем - дробное исчисление, ДИ) развивается уже более трёхсот лет, беря начало от обсуждения в 1695 г. в переписке между Г. Лопиталем и Г. Лейбницем вопроса о смысле производной порядка 1/2 [1]. Считается [1], что первый шаг в построении ДИ был сделан Л. Эйлером в 1738 г., заметившим, что результату вычисления производной порядка р от степенной функции можно придать смысл при нецелом р. Исследования в данном направлении проводились также П. Лапласом, С. Лакруа и Ж. Фурье, который в 1822 г. предложил первое в истории определение дробной производной произвольного положительного нецелого порядка р от произвольной, но достаточно гладкой функции f (х) на основе следующего интегрального равенства:
те те:
(1хР 2тг 7 у V 2 /
— те —те
где Ь и Л - переменные интегрирования.
Достаточно богатая история развития ДИ, вплоть до середины XX в., неоднократно и весьма полно описана в [1—8]. В первой половине XX в., примерно с 20-х гг., начали развиваться исследования не только фундаментального математического характера, но и исследования, связанные с моделированием физических систем и объяснением их свойств на основе использования аппарата ДИ. Следует отметить, что первые попытки таких исследований предпринимались ещё Ж. Лиувиллем и Н. Абелем при решении задачи о таутохроне и других классических задач, в которых возникают интегральные уравнения или соотношения, представляющие собой интегралы и производные дробного порядка. В конце XIX - начале XX вв. О. Хевисайдом было построено операционное исчисление, позволяющее проводить расчёты электрических схем. О. Хевисайдом и Т. Бромвичем было показано, что для распределённых систем, таких как полубесконечная резистивно-ёмкостная линия, передаточная функция (импеданс) выражается интегро-дифференциальным оператором, представляющим собой производную порядка 72. В 30-40-е гг. XX в. А. Гемантом (A. Gemant), А.Н. Герасимовым, Г. Скоттом-Блэром (G.W. Scott-Blair) и Ю.Н. Работновым были проведены обширные исследования свойств вязкоупругих материалов, в ходе которых также было продемонстрировано, что в волокнистых полимерах напряжение представляется в виде свёртки дробно-степенной функции и деформации или производной от деформации. При этом дробный показатель в степенной функции обусловлен реальными физическими свойствами таких материалов. В середине XX в. Ф. Майнарди и М. Капуто показали, что использование дифференциальных уравнений дробного порядка для построения моделей в задачах термовязкоупругости более адекватно из физических соображений и позволяет более точно воспроизводить в расчётах экспериментально наблюдаемые данные. Дальнейшие обобщения привели к моделям Ю.Н. Работнова и Р. Бэг-ли и П. Торвика, позволившим объяснить ряд экспериментальных данных, касающихся наблюдений эффекта гистерезиса при деформации вязкоупру-гих материалов и различном поведении этих материалов при разном режиме динамического нагружения. В настоящее время существует уже ряд более сложных и глубоко проработанных моделей поведения вязкоупругих сред, основанных на использовании ДИ, для которых продемонстрировано более точное соответствие с экспериментом и физическим смыслом по сравнению с моделями, использующими только дифференциальные уравнения целого порядка [6, 8]. Аналогичные физические факторы, выражающиеся в возникновении в определяющих уравнениях не просто некоторых функций и/или их производных, а их интегральных свёрток (причём с дробно-степенным ядром), характерны и для пористых, гранулированных, трубчатых, волокнистых и других неоднородных сложно-структурированных сред и процессов переноса в них. В середине XX в. появились публикации, касающиеся вопросов релаксации в диэлектриках и поведения электрохимических сред [6, 8]. Были проведены эксперименты, показавшие наличие феномена памяти в процессах зарядки-разрядки конденсаторов и электрохимических ячеек. Для этих экспериментов были построены модели на основе дифференциальных уравнений дробного порядка и продемонстрировано лучшее соответствие результатов моделирования по сравнению с моделями на основе уравнений
целого порядка. В дальнейшем ДИ было успешно применено для построения моделей разных процессов (сверхмедленной релаксации, переноса и волновых процессов в неупорядоченной среде) в физике полупроводников, физике плазмы, астрофизике и т.д.
Во второй половине XX в. исследователи обратили внимание на возможность использования ДИ в теории систем и сигналов. В связи с этим стали развиваться работы по "дробному" обобщению вариационного исчисления и теории дробных дифференциальных включений, а также по дробному обобщению классических интегральных преобразований (Фурье, Лапласа, Гильберта и др.). В 1974 г. вышла первая монография по дробному исчислению [2]. В том же году Б. Росс (B. Ross) организовал в Университете Нью-Хэвена I Международную конференцию по проблемам ДИ и его приложениям (Fractional Calculus and Its Applications) [3]. На рубеже XX и XXI в. получило развитие векторное обобщение ДИ [9, 10]. В связи с заметным ростом количества реальных систем, для которых более адекватно описание в терминах ДИ, весьма актуальной стала необходимость разработки эффективных методов и устройств управления данными системами. В последние годы активно развивается направление, посвящённое проектированию контроллеров дробного порядка. Такие устройства имеют больше настраиваемых параметров, чем обычные пропорционально-интегрально-дифференциальные контроллеры (ПИД-контроллеры), за счёт возможности изменения показателей интегрирующего и дифференцирующего звеньев и показали большую эффективность и гибкость в задачах управления системами как целого, так и дробного порядков.
В настоящее время, под влиянием бурного научно-технического прогресса ДИ превратилось в мощное научное направление, включающее как фундаментальные, так и прикладные исследования. Это обусловлено необходимостью более точного описания физических систем и процессов, ставших объектами интереса современных исследователей. Отличительными чертами таких систем и процессов являются их нелокальный характер и/или феномен памяти. Например, это касается микро- и наноструктурированных сред, детерминированных и хаотических (в том числе "фрактально-хаотических") процессов в природе и технике.
О значительной степени проработки вопросов ДИ свидетельствует богатая библиография публикаций по проблемам ДИ и его приложениям в разных областях науки и техники. Насчитывается много монографий и тематических сборников статей [1,2, 4-32], посвящённых как вопросам развития ДИ, так и разным аспектам его применения. Поисковые запросы по ключевым словам "fractional calculus", "fractional operators", "fractional equations" в известных базах научных публикаций (Science Direct, E-Library, Scopus, IOP Publishing, SpringerLink и др.) выдают более 100 тысяч публикаций! Регулярно проводятся конференции по дробному анализу, в том числе конференция "Fractional Differentiation and Its Applications" (FDA) совместно с Международным конгрессом по автоматическому управлению (IFAC).
В мире существует несколько основных научных школ, развивающих идеи ДИ и связанных с именами Ф. Майнарди (F. Mainardi), И. Подлубного (I. Pod-lubny), Я.К. Чена (Y.Q. Chen), А.М. Нахушева, А.А. Килбаса, Р.Ш. Нигма-
туллина и др. Издаются четыре специализированных журнала по проблемам ДИ и его приложений: "Fractional Calculation and Applied Analysis" (издаётся с 1998 г. Институтом математики и информатики Болгарской Академии наук) [33], "Journal of Fractional Calculus" (издаётся с 1992 г. компанией Descartes Press Co.), "Fractional Differential Equations" (издаётся с 2010 г. издательским домом "Element d.o.o") [34], "Communications in Fractional Calculus" (издаётся с 2010 г. компанией Asian Academic Publisher Ltd.) [35].
В настоящем обзоре основное внимание сосредоточено на работах, посвя-щённых поиску адекватной интерпретации операций дробного интегрирования и дифференцирования, и на работах, посвящённых использованию ДИ в задачах моделирования дробных динамических систем и управления такими системами. В первой части обзора рассматриваются математические основы ДИ, теории дифференциальных (вернее, интегро-дифференциальных или дифферинтегральных) уравнений и включений с дробными производными и дробного вариационного исчисления. Также рассматриваются разные подходы к интерпретации (геометрической, физической, вероятностно-статистической) дробных операций. Кратко обсуждаются реальные проявления дробной динамики, физический смысл и физические следствия использования дробных операторов для описания реальных систем.
2. Основные определения
Интеграл дробного порядка определяется на основе обобщения известной формулы Коши, позволяющей свести многократный интеграл целого порядка к однократному:
X £n Î2 X
(i) J<„ I<„ i.../<i.miî ттт^ттг/
a a a a
В случае нецелого n, обозначаемого в дальнейшем а, в правой части (1) выражение (n — 1)! заменяется гамма-функцией Г(а). Отличия разных формальных определений дробных интегралов связаны с различными способами задания пределов интегрирования и подынтегральной функции (вернее, интегрального ядра).
При определении производной дробного порядка существует, по-видимому, два основных подхода. Первый из
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.