РАДИОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА, 2015, том 60, № 8, с. 773-785
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА ^^^^^^^^
И РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН
УДК 534.23:537.874.6
ДВА ПОДХОДА К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ ДИФРАКЦИИ НА ПЛОСКОЙ РЕШЕТКЕ, СОСТОЯЩЕЙ ИЗ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ © 2015 г. С. А. Маненков
Московский технический университет связи и информатики 111024, Москва, ул. Авиамоторная, 8а E-mail: mail.44471@mail.ru Поступила в редакцию 28.01.2015 г.
На основе модифицированного метода дискретных источников разработаны два подхода для решения трехмерной задачи рассеяния на плоской решетке, состоящей из диэлектрических тел вращения. Предложен эффективный алгоритм нахождения периодической функции Грина решетки. Продемонстрировано сравнение изложенных методик. Получены численные результаты для различных геометрий элементов решетки. Проведена проверка выполнения закона сохранения энергии.
Б01: 10.7868/80033849415080148
ВВЕДЕНИЕ
Рассмотрена дифракция плоской электромагнитной волны на плоской решетке, состоящей из магнитодиэлектрических тел вращения, оси которых параллельны друг другу. Данная задача является довольно сложной в смысле численной реализации в силу того, что геометрия не имеет осевой симметрии. Для решения задачи в работе использован модифицированный метод дискретных источников (ММДИ) [1—6]. Ранее в работе [4] рассматривалась близкая задача дифракции плоской волны на плоской решетке из импедансных тел вращения. В данной работе эта задача обобщается на случай, когда элементы решетки представляют собой диэлектрические тела вращения.
Существенным отличием данной работы от опубликованной в [4] является метод алгебраиза-ции задачи. Точнее, мы рассмотрели два подхода сведения системы интегральных уравнений к соответствующей алгебраической системе. Первый вариант ММДИ основан на алгебраизации поверхностных интегральных уравнений при помощи непосредственного применения метода колло-кации. При таком подходе, во-первых, возможно обобщение метода на произвольные тела (не тела вращения), во-вторых, проще вычислять функцию Грина (ФГ), т.е. не требуется находить коэффициенты Фурье для ФГ. Заметим, что в двумерном случае рассматриваемый метод нахождения периодической ФГ описан в работе [7]. Второй подход аналогичен алгоритму, предложенному в работе [4], причем для сведения задачи к алгебраической системе использовалась осевая симмет-
рия элементов решетки. При этом система поверхностных интегральных уравнений решалась при помощи разложения неизвестных токов и ядер в ряд Фурье по угловой координате с последующим применением метода коллокации.
В работе [4] ряд ФГ решетки разбивали на два слагаемых. Первое слагаемое представляло собой ФГ свободного пространства. Второе слагаемое (т.е. ряд) находили при помощи преобразования исходного ряда к ряду по сферическим гармоникам. Коэффициенты этого ряда представляют собой двойные интегралы, зависящие только от параметров решетки, но не от геометрии ее элементов. Преимущество использования ряда по сферическим гармоникам состоит в том, что указанные двойные интегралы могут быть вычислены заранее, т.е. до вычисления матричных элементов алгебраической системы, к которой сводится исходная краевая задача. В рамках метода, который является альтернативным методу, учитывающему симметрию элементов решетки, ФГ также вычисляли при помощи разбиения исходного ряда. Точнее, несколько первых членов ряда ФГ суммировали непосредственно, а остаток ряда находили при помощи преобразования его к ряду по сферическим гармоникам. Заметим, что при таком подходе повышается скорость сходимости ряда по сферическим гармоникам.
Еще одним существенным отличием обеих предлагаемых методик является использование подходящей системы координат, в которой находится решение задачи. А именно, использованы сферические, сфероидальные и тороидальные
• • • -OCX О ГЛ Г • • ^........,
-00 с • • • • • • • • • • dx 0 j \ / • • • ро- • • •
Рис. 1. Геометрия задачи.
координаты. Использование подходящей системы координат позволяет существенно уменьшить размер алгебраической системы, к которой сводится задача дифракции [5, 6].
ки. На поверхности каждого элемента решетки выполнены условия сопряжения:
ñ х Д = ñ х E2, (4)
ñ х H1 = ñ x H2, (5)
где ñ — нормаль, внешняя к поверхности тела,
E1 = E0 + E1, H1 = H0 + H1 — полные электрическое и магнитное поля вне решетки.
Вторичное поле в области вне решетки удовлетворяет условиям периодичности Флоке:
E \x + dx, y, z) = E *(x, y, z) exp(-h), (6)
E :(x, y + dy, z) = E :(x, y, z) exp(-ihy), (7)
где hx = k1dx sin 0 0 cos ф0, hy = k1dy sin 0osin ф0 — параметры Флоке. Формулы для магнитного поля аналогичны. На бесконечности полное поле удовлетворяет условиям излучения:
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим плоскую решетку, составленную из одинаковых магнитодиэлектрических тел вращения, оси которых параллельны друг другу. Считаем, что решетка имеет два периода: йх и йу. Введем декартову систему координат, причем ось г направим перпендикулярно плоскости решетки (рис. 1). Начало координат выберем внутри центрального элемента решетки. Обозначим поверхность центрального элемента решетки. Считаем, что структура облучается плоской волной вида
E° = р0 exp(-ik1r (sin 0o sin 0cos^ - ф0) + + cos 00 cos 0)) ,
(1)
где р0 — единичный вектор, к1 — волновое число (см. ниже), (г, 0, ф) — сферические координаты. Предполагаем, что окружающее решетку пространство заполнено изотропной и однородной средой так, что рассеяное поле вне решетки удовлетворяет стандартным уравнениям Максвелла:
V х E1 = -ik1q1H1, V х H1 = k E1,
?1
(2)
где к1 = к0Л/е^, ^ = ТЙ^ё!, к0 — волновое число в свободном пространстве. Внутри каждого элемента решетки поле удовлетворяет уравнениям Максвелла
V х E2 = -ik2<^2H2,
Vx H2 = k E
? 2
2>
(3)
где к2 = к0Л/62Ц2, = — волновое число и
волновой импеданс среды внутри элемента решет-
+
E1(x, y, z) = E (x, y, z) +
да да
X X A-M exp(-iK-/), z < zмин,
р=-да q=-
El(x, y, z) = X X Apq exP(-iK +pqrl z >
(8)
(9)
р=-ю q=—<&
где К -q = Upix + v qiy ± Г pqiz,
Up =
hy + 2nq _ r~2
-j-, r pq = Vk1 - u
hx + 2np
dx '
d
v^, причем знак квад-
ратного корня выбираем из условия неположительности его мнимой части. В формулах (8) и (9) гмин и гмакс — минимальное и максимальное значения координаты г поверхности элемента решетки, Л+9 и Лр9 — неизвестные коэффициенты. Аналогичные формулы справедливы для магнитного поля, необходимо лишь в (8) и (9) заменить коэффициенты Лря и Лря на В+рс[ и Б~г Заметим, что величины |ЛЕ| = А0о| и |ТЕ| = |Л0+0| представляют собой
модули коэффициентов отражения и прохождения плоской волны (1).
2. ВЫВОД СИСТЕМЫ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Будем решать поставленную задачу при помощи метода вспомогательных токов, который в дальнейшем сводится к ММДИ [1—6]. Для этого представим волновое поле вне области, занимае-
d
y
x
Vq =
мои решеткой, и внутри центрального элемента решетки:
Д(г) = E\r) - iq1V х V х j J1(f)G1(f, r)ds\ (10)
2+
íí1(f) = H\r) + k1V X jJl(f)Gl(f, r)ds\ (11)
2+
é2& = 2vxvx j^w,fw, (12)
H
!(F) = k2Vx J/>W, W (13)
В этих формулах 2+ и 2- — вспомогательные поверхности вращения, расположенные внутри и вне исходной поверхности центрального элемента решетки /1 и /2 — неизвестные токи, распределенные на поверхностях 2+ и £_. Функция 01 представляет собой периодическую функцию Грина, которая имеет вид [8]
да да
ад Г) = XX ЗД,) exp(-iphx - 1дку), (14)
где
G0(Rpq) =
exp^-ikR)
4nRpq (15)
Крч =<](х - х' - рйх)2 + (у - у' - д^у)2 + (г - г')2.
Далее запишем выражение для ФГ внутри элемента решетки:
G2(r, Г) =
exp(-ik2R) 4nR '
(16)
R = y¡ (x - xf + (y - y) + (z - z?.
ности центрального элемента решетки находятся из соотношений
а± = Reп±, Р± = Imп±. (19)
В приведенных формулах 8+ — параметры, отвечающие за степень деформации поверхности центрального элемента решетки. Выбор параметров 8+ подробно описан в работе [5]. Отметим, что при возрастании по модулю величин 8+ и 8- вспомогательные поверхности удаляются от поверхности элемента решетки, двигаясь по ортогональным траекториям.
В предлагаемой работе используются сферические, сфероидальные (вытянутые и сплюснутые) и тороидальные координаты. В этих координатах справедливы следующие формулы, связывающие комплексные переменные £,± и п± [5, 6]:
% ±(Р) = exp(n±(P)), ре [0, п], (20)
в сферических координатах,
^±(р) = / ch п±(Р) (^±(Р) = / sh п±(Р)), Ре [0, п], (21)
в вытянутых (сплюснутых) сфероидальных координатах,
^±ф) = if cth
П±(в)
ре [0,2п],
(22)
в тороидальных координатах. Заметим, что в случае сферических координат мы обозначили а = 1п г, р = 0.
В силу периодичности рассматриваемой структуры и падающего поля задача сводится к определению неизвестного тока только на поверхностях 2+ и 2- центрального элемента решетки. Для нахождения токов подставим выражения для волнового поля в виде (10) — (13) в граничные условия сопряжения (4) и (5) на поверхности центрального элемента решетки. В результате получим следующую систему интегральных уравнений:
Таким образом, рассеяное поле, представленное в виде (10) и (11), удовлетворяет условиям периодичности Флоке.
Зададим далее поверхность в какой-либо ортогональной системе координат вращения:
x = р(а, Р) cos ф, y = р(а, Р) sin ф, z = z(a, Р), (17)
где (р, ф, z) — цилиндрические координаты. Пусть а = а(Р) — уравнение поверхности S0 в данной системе координат. Тогда для вспомогательных поверхностей 2+ и 2- справедливы следующие уравнения [5, 6]:
x± = Im 2,± cos ф, y± = Im 2,± sin ф, z± = Re 2,±, (18)
где £,± — некоторая функция переменной п±(Р) = = а(Р + id ±) + ¿(р + ¿8+) (см. ниже). Координаты а± и Р± "образа" точки (а, р, ф) на исходной поверх-
= n х
n х JE2(F, F)J2(F)ds' =
2-
J E1(t, r')J1(r')ds' + E °(r)
к JH2(r, Jrvs =
(23)
= n X
J H1(r, F)J1(f)dS + H °(r)
(24)
r e 50
где
E, (r, f)Jt(F) = -iqtVxVx (J (f)Gt (r, O), Ht(r,r)Jt(Г) = ktVx(((?G,(F,F)), t = 1,2.
2
2
2
+
Сделаем замену неизвестных функций J1 и J2 по формуле [5, 6]:
Jt =
= 1<! (к^ 1 + (а ± )2), (26)
где
I = -4++ + /Ду, * = 1,2.
(27)
В формуле (26) к± = ка+ = кр+ и . — коэффици
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.