научная статья по теме ДВЕНАДЦАТИВЕРШИННАЯ МОДЕЛЬ ПОТТСА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ Физика

Текст научной статьи на тему «ДВЕНАДЦАТИВЕРШИННАЯ МОДЕЛЬ ПОТТСА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ»

ФИЗИКА МЕТАЛЛОВ И МЕТАЛЛОВЕДЕНИЕ, 2015, том 116, № 2, с. 123-135

^ ТЕОРИЯ

МЕТАЛЛОВ

УДК 536.425.001

ДВЕНАДЦАТИВЕРШИННАЯ МОДЕЛЬ ПОТТСА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ

© 2015 г. Ф. А. Кассан-Оглы, Б. Н. Филиппов, А. И. Прошкин, А. В. Зарубин

Институт физики металлов УрО РАН, 620990 Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 18 e-mail: felix.kassan-ogly@imp.uran.ru Поступила в редакцию 23.05.2014 г.; в окончательном варианте — 05.08.2014 г.

В работе получено точное решение для одномерной модифицированной 12-вершинной модели Поттса методом трансфер-матрицы Крамерса—Ваннье при учете обменного взаимодействия между ближайшими соседями во внешнем магнитном поле. Выведены аналитические выражения для теплоемкости, намагниченности, магнитной восприимчивости, магнитной энтропии и магнитокало-рического эффекта как функций температуры, величины и знака обменного взаимодействия, а также величины и направления магнитного поля. Поведение всех этих параметров подробно исследовано с помощью численных расчетов. Обсуждаются возможности применения полученных результатов для объяснения наблюдаемых магнитных свойств реальных кубических магнетиков со структурой NaCl и направлением осей легкого намагничивания вдоль кристаллографических направлений типа [110].

Ключевые слова: модель Поттса, фрустрации, трансфер-матрица. DOI: 10.7868/S0015323015020084

ВВЕДЕНИЕ

Существует обширный класс магнетиков с высокотемпературной кристаллической структурой №С1. К этому классу относится множество бинарных соединений типа АХ, называемых часто монопниктидами и монохалькогенидами, где А — редкоземельный элемент или актинид, а Х — элемент V или VI групп (им, ЕгР, СеБ1, Еи8е, ШЬ, Оё8е и т.д.), а также тройных соединений с частичной заменой как анионов, так и катионов. К этому классу соединений относятся Мп8, Мп8е и некоторые монооксиды МпО, СоО, БеО, N10. В настоящее время существует обширный экспериментальный материал по магнитным структурам и свойствам соединений этого класса. Эти магнетики обладают весьма интересными свойствами, не получившими адекватного объяснения в рамках существующих теоретических моделей и подходов. Не достигают цели неоднократные попытки разных авторов объяснить даже самые основные экспериментальные факты, такие как перекрещивающиеся кривые намагничивания антиферромагнитных монокристаллов в различных кристаллографических направлениях, сильное различие намагниченно-стей насыщения в них, необычный ход полевой зависимости восприимчивости, сложные диаграммы магнитных состояний в зависимости от температуры и внешнего магнитного поля и многое другое. Намагниченности в таких кристаллах, как резонно указал Фогт [1], "не могут быть представлены функцией Бриллюэна". Не существует адекватного объяснения многих сложных маг-

нитных структур, например, типа 3+3- в МрР или 4+4- в МрАз [2]. Вопреки широко распространенному мнению о том, что магнитное поле сглаживает фазовый переход, в кристалле иАз он расщепляется на два [3], что также остается необъяс-ненным.

Весьма дискуссионный характер имеют существующие модели магнитных структур и ориента-ций атомных магнитных моментов. Не находит своего объяснения и наличие специфического магнитного диффузного рассеяния выше точек магнитных фазовых переходов.

Общей характерной особенностью рассматриваемого класса соединений является сильная кубическая магнитная анизотропия. Главным экспериментальным свидетельством этого служит невозможность переориентации намагниченности максимально достижимыми в настоящее время магнитными полями. Согласно оценкам Фогта [1], для переориентации намагниченности между разными кристаллографическими направлениями в монокристалле иТе требуются магнитные поля порядка миллиона эрстед.

Другой весьма важной особенностью рассматриваемых соединений является тот факт, что при переходе через точку Нееля происходит скачкообразное нарушение кубической структуры, нарастающее при дальнейшем понижении температуры. Другими словами, магнитная и структурная перестройка идут параллельно, а магнитный и структурный фазовые переходы совпадают.

Рис. 1. 6-вершинная (а), 8-вершинная (б), 12-вершинная

обозначают направления внешнего магнитного поля.

Весь обширный класс магнетиков с высокотемпературной кристаллической структурой №С1 разделяется на три семейства в зависимости от кристаллографических ориентаций осей легкого намагничения: типа [001], [111] и [110].

Одновременно эти три семейства характеризуются и одинаковыми (внутри семейства) структурными изменениями при фазовых переходах из парамагнитной фазы в магнитоупорядоченную: семейство [001] испытывает структурный фазовый переход из кубической фазы в тетрагональную фазу, семейство [111] — из кубической в ромбоэдрическую, а семейство [110] — из кубической в орторомбическую.

МОДИФИЦИРОВАННЫЕ МОДЕЛИ ПОТТСА

Рассматриваемые магнетики при высоких температурах обладают кубической структурой типа №С1 из взаимно проникающих ГЦК решеток анионов и катионов. Исходя из конкретных значений ионных радиусов (см., например, [4]), можно сказать, что катионы находятся в почти плотноупако-ванных октаэдрах анионов, слегка раздвигая их.

Однако если катион обладает магнитным моментом, то это приводит к небольшому искажению катиона от идеальной сферичности. Сведения о пространственном распределении магнит-

модифицированные модели Поттса. Штриховые векторы

ного момента могут быть получены из измерений зависимости магнитного форм-фактора иона от вектора рассеяния (см., например, [5, 6]). Такие измерения, проведенные на кристаллах USb [7] и UAs [8], привели к выводу, что магнитный момент катиона в зависимости от типа окружающих анионов может иметь три формы искажения: вытянутого (prolate) или сплюснутого (oblate) эллипсоида вращения при дипольном искажении, а также квадрупольное искажение.

Будем считать анионы идеальными твердыми шарами, а катионы слегка искаженными твердыми шарами. Кристаллогеометрический анализ приводит к выводу о том, что в зависимости от формы они ориентируются по-разному. Вытянутому эллипсоиду выгоднее ориентироваться длинной осью в промежутки между анионами, чем упираться в них, так что для такого эллипсоида имеется восемь наиболее вероятных кристаллографических направлений типа [111]. Сплюснутому эллипсоиду выгоднее ориентироваться короткой осью по шести наиболее вероятным кристаллографическим направлениям типа [001]. При квадрупольном искажении выгодна ориентировка по двенадцати направлениям типа [110]. Модели, ограничивающиеся только такими ориентациями спина, введены в работе [9] и называются модифицированными 6-, 8- и 12-вер-шинными моделями Поттса (рис. 1). Модифици-

(в)

рованные модели являются естественным обобщением стандартных и планарных моделей Поттса [10-12].

В [9] были получены точные аналитические решения и подробно исследованы одномерные 6-и 8-вершинные модели при учете взаимодействия между ближайшими соседями и внешнего магнитного поля. Использование этих точных решений в качестве прототипных оказалось плодотворным, и в [13] была построена теория одновременных магнитных и структурных фазовых переходов для двух семейств: с осями легкого намагничения типа [001] и [111] на основе 6- и 8-вершинной модели соответственно. Модифицированные шести- и восьмивершинные модели Поттса использовали в [14] и [15] для описания фазовых переходов в ар-сениде урана и монохалькогенидах урана. Модели Поттса применительно к поликристаллам исследовали в [16]. Данная работа посвящена исследованию одномерной 12-вершинной модифицированной модели Поттса в случае монокристалла.

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

Рассмотрим одномерную цепочку спинов, состоящую из N узлов, гамильтониан которой описывается уравнением

Н = -J£ (S, • S,+1)- X (S, • H),

(1)

На основании (1) статсумма будет иметь вид

ZN = £ exp I*£ S, • S/+i + £ S, • h

(2)

где K = J/T, h = H/T. Здесь и далее Hи Tизмеряются в величинах |J|, а постоянная Больцмана положена равной единице, как это обычно принято в теории низкоразмерных систем.

Экспонента в (2) может быть представлена в виде произведения сомножителей, каждый из которых зависит только от одной пары соседних спинов:

=

= (8Ь82)У(82,83)...У(8N8N)У(вN,81), (3)

где V (S, S') = exp

KSS'

2 h (S + S')

На каждом шаге вычислительной процедуры умножение на матрицу V соответствует суммированию по конфигурациям еще одного узла решетки. Матрица V называется трансфер-матрицей Крамерса-Ваннье [17], которая может быть определена для моделей в одном, двух и трех измерениях, при этом в Ш случае выполняется уравнение

ZN = Trace VN =

J N

= + x N + ... + = + -

N

N

х 2 х ■ + +—1

м -г ... -Г ,

Л1 X

Собственные значения Х] трансфер-матрицах = = ^тах — максимальное собственное значение) определяются из секулярного уравнения

Бе1 У -XЕ = 0, (5)

где Е — это единичная матрица размером 12 х 12. В термодинамическом пределе (т.е. при N ^ да)

^дг = X ^ах и такие величины как свободная энергия, намагниченность, магнитная восприимчивость, теплоемкость и др. выражаются только через максимальное собственное значение транс-фер-матрицы ^тах.

N\

(4)

где S¡■ — векторы единичной длины, которые пробегают двенадцать значений, соответствующих всем возможным ориентациям вектора спина на узле I (рис. 1в); J — параметр обменного взаимодействия между спинами на соседних узлах; Т — температура; H — внешнее магнитное поле.

F = -T ln X m dF

S =--= ln X max +

dT x

T dXm

dT

C = -T

д 2f

2T dXn

dT2 x

+

T

2 d 2x m

max 2

T

x max dT 2

x m

dT

dX ma

■ +

dT

M = -

dF = _L_ dh

dH

h max dH

X =

d 2F T

д \ m

T (дХ

дн1 х

max дн xm

N 2

дН !

(6)

(7)

(8)

(9) (10)

MCE = -T (ds) S-T (dM) =

с \дн! c\dT)

= X max dX max/dH + T X max d ^ max/dTdH - T dX maxidT dX max/dH (11)

2Xmax SXmaxidT - T (dXmaxidT) + TXmax d^maxidT2

ОДНОМЕРНАЯ 12-ВЕРШИННАЯ МОДЕЛЬ ПОТТСА В ОТСУТСТВИЕ ПОЛЯ В отсутствие магнитного поля трансфер-матрица рассматриваемой модели имеет вид:

I еТ I е2Т I е2Т 1 I е2Т I е2Т -I е2Т -I е2Т 1 -I е2Т -I е2Т I е Т

I е2Т I еТ 1 I е2Т I е2Т -I е2Т I е2Т -I е2Т -I е2Т 1 -I еТ -I е2Т

I е2Т 1 I еТ I е2Т -I е2Т I е2Т -I е2Т I е2Т -I е2Т -I еТ 1 -I е2Т

1 I е2

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком