ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2010, том 50, № 2, с. 276-285
УДК 519.633
ДВИЖЕНИЕ ФРОНТА В ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ ЗАДАЧЕ РЕАКЦИЯ-ДИФФУЗИЯ^
© 2010 г. Ю. В. Божевольнов, Н. Н. Нефёдов
(119992 Москва, МГУ, физ. ф-тет) e-mail: justislav@gmail.com; nefedov@phys.msu.ru Поступила в редакцию 27.03.2009 г.
Рассмотрена сингулярно возмущенная начально-краевая задача для параболического уравнения, называемого в приложениях уравнением реакция-диффузия. Построено асимптотическое разложение решений с движущимся фронтом, и доказана теорема существования таких решений. Для обоснования построенной асимптотики используется и распространяется на этот класс задач асимптотический метод дифференциальных неравенств, базирующийся на известных теоремах сравнения и развивающий идеи использования формальных асимптотик для построения верхних и нижних решений в сингулярно возмущенных задачах с внутренними и пограничными слоями. Библ. 11. Фиг. 1.
Ключевые слова: сингулярно возмущенные параболические задачи, уравнения реакция-диффузия, внутренние слои, фронты, асимптотические методы, дифференциальные неравенства.
1. ВВЕДЕНИЕ
Рассмотрим сингулярно возмущенную начально-краевую задачу
Ь[и(х, = - е^- - g(u, х,е) = 0, х е (а, Ь), г е (0, Т ],
дх дг
д- (а, г,е) = 0, (Ь, г,е) = 0, г е (0, Т], (1)
х х
и(х, 0, е) = и°(х, е), х е(а, Ь),
где е — малый параметр.
Во многих приложениях задача (1) встречается в качестве модельной задачи исследуемого процесса. Дифференциальное уравнение принято называть уравнением реакция-диффузия. Заметим, что так как функция g(u, х, е) в уравнении не зависит от то параметр е перед производной по времени определяет лишь удобный (как показывает дальнейшее рассмотрение) масштаб времени.
Стационарные решения задачи (1) со внутренними и пограничными слоями хорошо изучены (см. [1] и ссылки в этой работе). Изучена также задача генерации внутреннего слоя из гладких начальных функций (см. [2]—[4]). Целью настоящей работы является доказательство существования и построение асимптотики решений, описывающих движение внутреннего слоя — фронта. Полученные результаты развивают идеи работ [5], [3], где асимптотика не строилась, а также идеи работы [6] для доказательства существования решений типа фронта.
Ниже будем предполагать, что фронт в начальный момент сформирован, т.е. функция и0(х, е) в некоторой точке отрезка (а, Ь) имеет внутренний переходный слой и функция g(u, х, е) достаточно гладкая для проводимых ниже построений. Потребуем выполнения следующего условия.
Условие 1. Пусть вырожденное уравнение
g( и, х, 0) = 0
1) Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ (код проекта 08-01-00413).
Х*^, 8) Фигура.
Ь х
имеет три корня и = ф(и'±), которые упорядочены следующим образом:
Ф(-) (х) < ф(°) (х) < ф(+) (х), х е [ а, Ь ],
и
gu(Ф(+)(х), х, °)> °, х е [а, Ь].
Пусть величина х*(/, г) характеризует положение внутреннего слоя при фиксированном t (см. фигуру). Определим ее как точку пересечения решения и(х, t, г) и корня ф(0)(х):
и(х*, г, г) = ф(0)(х*). Асимптотическое приближение функции х*(^ г) будет построено ниже.
2. ПОСТРОЕНИЕ ФОРМАЛЬНОЙ АСИМПТОТИКИ ТИПА ФРОНТА
2.1. Алгоритм построения асимптотики
Для построения формальной асимптотики решения задачи (1) рассмотрим две следующие задачи:
г2 ди _ г д^ _ g( и, х, г) = °, х е( а, х * (г, г)),
ах2 дг
^(а, г, г) = °, и(х*(г, г), г, г) = ф(0)(х*(г, г)), д х
и(х, °, г) = и°(х, г), х е(а, х*(г, г)),
г2—2 - г-g(и, х, г) = °, х е (х*(г, г), Ь),
ах2 дг
и(х*(г, г), г, г) = ф(0)(х*(г, г)), ^(Ь, г, г) = °,
х
(2)
(3)
и(х, °, г) = и (х, г), х е (х*(г, г), Ь). Асимптотика решений каждой из задач (2) и (3) строится методом пограничных функций (см. [7]):
и(х, г, г) = и(х, г) + 0(£, г, г) + П(С, г), (4)
где и(х, t, г) — асимптотический ряд решения.
Здесь и (х, б) — регулярные части, 0(2,, I, 6) и П(0 б) — пограничные слои. Функции 0(2,, t, 6) служат для описания контрастной структуры типа ступеньки в малой окрестности точки х*. Растянутые переменные 2 и ^ определены следующим образом:
2 — х — х* в ) ^ _ ^^ — а — х < 0 ^ _ ^_ Ь — Х ^ 0 (5)
6 6 6
Там, где потребуется, асимптотические приближения решений вида (4) для задач (2) и (3) обозначаем индексами (—) и (+) соответственно.
Каждое слагаемое в представлении (4), а также положение внутреннего слоя х*(^ в) ищется в виде ряда по степеням малого параметра 6:
да
к_
и(х, в) — £ 6 Ык(х) ,
к — 0
ТО
0(2,1,6) — £ вк0к(2, г),
к — 0
да
п(С,6) — £ 6 кПк (О,
к — 0
да
х *( г, 6) — £ 6 кХк (г).
(6)
к — 0
Согласно используемому методу, подставим представления (4) в задачи (2) и (3). Затем представим правую часть в виде суммы регулярных и пограничных составляющих:
g(и(х, г, 6), х, 6) — £(х, 6) + Qg(2, г, 6) + п#(<;, 6), где слагаемые определены следующим образом:
g(x, 6) — g(и(х, 6), х, 6), Qg(2, г, 6) — g( и (х (2), 6) + 0(2, г, 6), х(2), 6) - g( и (х (2), 6), х(2), 6), Щ(С,6) — g( и (х (0,6) + П(С,6), х (0,6) - g( и (х (0,6), х (0,6).
В последнем соотношении х(2) и х(^) определены с помощью соотношений (5). При действии дифференциального оператора на погранслойные слагаемые перейдем к соответствующей растянутой переменной. Приравняв отдельно слагаемые, зависящие от х, 2 и 0 получим соотношения, из которых получаются задачи для определения коэффициентов асимптотических разложений решений задач (2) и (3):
2 <Э2
6 — и(х, 6) - g(х, 6) — 0,
х 2
2
^П(С,6) - Щ(С,6) — 0, (7)
5 С2
Ст2+Iх *(г-8)|- 61)0(2 г'6) - в*2- г'6) — 0.
^с2 5г 'Э2
В первых двух уравнениях в (7) учтено, что регулярные части асимптотики и, следовательно, погранслойные вблизи границ х = а и х = Ь не зависят от времени.
2.2. Условие гладкого сшивания асимптотик Положение внутреннего слоя определяется из условия С 1-сшивания асимптотик задач (2) и (3):
(х*(г, е), г, е) - и+)(х*(г, е), г, е) = 0,
ед ^(х*(г, е), г, е) - ед Ц+)(х*(г, е), г, е) = 0. (8)
х х
Отметим, что первое из этих равенств выполнено автоматически для задач (2) и (3).
Предполагаем, что начальная функция и0(х, е) есть функция с внутренним слоем типа ступеньки, т.е. при малых е функция близка к ф(-)(х) для а < х < х00 и к ф(+)(х) для х00 < х < Ь, где х00 е е (а, Ь) — точка, в которой находится внутренний слой в начальный момент. Тем самым мы считаем, что
х* (0, е) = х00. (9)
2.3. Старший порядок асимптотики
В этой работе мы не будем рассматривать построение функций Пл. Отметим, что пограничные слои стационарны и не влияют на движение внутреннего слоя и в случае условий Неймана П0 = 0 для обеих границ рассматриваемого отрезка.
Очевидно, что соотношение в (7) для регулярной части в нулевом порядке есть вырожденное уравнение (см. условие 1). Поэтому положим
и0±) (х) = ф ± (х).
(10)
Введем обозначение
^0(г)= х0(г).
Соответствующее равенство (7) и граничные условия "левой" и "правой" задач в нулевом приближении дает задачи, определяющие пограничные функции ¿):
/ д2 д )
( "И + ^0 = g(и0(х0) + 00, х0, 0) - g(й0(х0), х0, 0),
£,2 д У
ф(0)(х0) = 00(0, г) + и(х0), 00(±®) = 0.
Для того чтобы использовать известные результаты, введем следующее обозначение:
(11)
и (£)-
У-) (х0) + 00-) (£, г), 0, У+)(х0) + е0+)(£, г), 0
(12)
(так как решение задачи (11) зависит от времени I лишь через зависимость х0 от то и можно считать зависящим только от £,).
Для и из (11) получим задачу
и + Vo й' = g( и, х0, 0),
и ( 0) = ф(0) (х0),
(13)
и (±да) = ф (±) (х0).
Это обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка, и, по условию 1, точки (ф(±)(х0), 0) седловые. Этот случай хорошо изучен, и мы приведем следующий результат из [3].
Лемма 1. Для каждого х0 е (а, Ь) существует единственная величина V, такая, что задача (13) имеет единственное решение и, удовлетворяющее оценке
\и(2) - Ф(±)(х0)|< СеСУ,
где С и с — некоторые положительные константы, функция v0 выражается следующим образом:
Ф (х0) /+да 4-1
^0(х0) — | g(и, х0, 0)ёи| | (и(2))2^2
ф(-)( х0)
Замечание. Последнее равенство можно получить, умножив дифференциальное уравнение задачи (13) на и' (2) и проинтегрировав по 2 от —да до +да.
Из леммы 1 следует, что функция о0±) (2, 0 удовлетворяет экспоненциальной оценке
00±)(2, г) < Се Са. (14)
Положение фронта (в старшем порядке) определяется как решение задачи Коши
х0 — ^0 (,х0 ) ,
0 (15)
х0 (0 ) — х00;
здесь х00, напомним, определяет начальное положение фронта. Корни уравнения у0(х0) = 0 определяют положение стационарных решений с внутренними слоями. В настоящей работе мы исследуем только движение фронта (без приближения к стационарным решениям).
Условие 2. Пусть у0(х0) > 0 при всех х0 е [а, Ь].
В силу этого условия, задача (15) имеет решение при t е [0, Т] и Т определяется из оценки х0(Т) < Ь (фронт движется вправо).
Отметим, что решение и задачи (13) гладкое, а значит, выполнено условие С 1-сшивания (8) в нулевом порядке:
д02")( 0, г) - 0, г > — 0- (16)
Коэффициенты следующих порядков асимптотического разложения определяются из линейных задач.
зо
2.4. Построение асимптотики первого порядка
Функция и1 (х) — коэффициент разложения первого порядка регулярной части асимптотики (4) определяется из уравнений
gu(и(х), х, 0)й1(х) + gE(и(х), х, 0) — 0,
однозначную разрешимость которых гарантирует условие 1.
Для отыскания коэффициента разложения внутреннего слоя 01(2, 0 рассмотрим первое приближение соответствующего представления (7):
Й + 01 (^г) + (х; I -1) 00 (^г) - 01^г) —0, (17)
ДВИЖЕНИЕ ФРОНТА В ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ ЗАДАЧЕ РЕАКЦИЯ-ДИФФУЗИЯ 281 где 0^(2,, 0 — первый коэффициент разложения функции Qg(2, е). Выпишем 0^(2,, 0 явно:
0Л2, г) = gu(и(2), х0,0)а,(2, г) + gu(и(2), х0,0)(м(х0) + ^и0(х0)(х1 + 2)) +
+ gx(и(2), х0, 0)(х, + 2) + gE(и(2), х0, 0) -gв(и0(х0), х0, 0и!(х0) + — и0(х0)(х, + 2)) -
-gx(и0(х0), х0, 0)(х, + 2) - gE(М0(Х0), х0, 0).
Выражение (17) является линейным дифференциальным уравнением относительно 01. Перенесем члены, содержащие 01, в левую часть, остальные — в правую (для этой части введем обозначение q1). Добавив граничные условия (первый порядок разложения граничных условий "левой" и "правой" задач, а та
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.