научная статья по теме ДВИЖЕНИЕ КОМПЛЕКСОВ ДИССИПАТИВНЫХ СОЛИТОНОВ В НЕЛИНЕЙНОМ ИНТЕРФЕРОМЕТРЕ С ПОДДЕРЖИВАЮЩИМ ИЗЛУЧЕНИЕМ Физика

Текст научной статьи на тему «ДВИЖЕНИЕ КОМПЛЕКСОВ ДИССИПАТИВНЫХ СОЛИТОНОВ В НЕЛИНЕЙНОМ ИНТЕРФЕРОМЕТРЕ С ПОДДЕРЖИВАЮЩИМ ИЗЛУЧЕНИЕМ»

ОПТИКА И СПЕКТРОСКОПИЯ, 2010, том 109, № 5, с. 815-820

НЕЛИНЕЙНАЯ И КВАНТОВАЯ ОПТИКА

УДК 535.36

ДВИЖЕНИЕ КОМПЛЕКСОВ ДИССИПАТИВНЫХ СОЛИТОНОВ В НЕЛИНЕЙНОМ ИНТЕРФЕРОМЕТРЕ С ПОДДЕРЖИВАЮЩИМ ИЗЛУЧЕНИЕМ

© 2010 г. Н. А. Веретенов, Н. Н. Розанов, С. В. Федоров, А. Н. Шацев

Государственный оптический институт им. С.И. Вавилова, 199034 Санкт-Петербург, Россия

E-mail: nrosanov@yahoo.com Поступила в редакцию 25.06.2010 г.

Проведен численный анализ движения комплексов пространственных диссипативных солитонов в широкоапертурном интерферометре с керровской нелинейностью, возбуждаемом непрерывным когерентным поддерживающим излучением. Показано, что в зависимости от симметрии распределения интенсивности излучения в комплексе имеются четыре варианта динамики, включая криволинейное движение его центра. Результаты сопоставлены со случаем комплексов лазерных солитонов (без когерентного поддерживающего излучения) и с предсказаниями феноменологической модели движения солитонных комплексов.

1. ВВЕДЕНИЕ

Механика диссипативных солитонов и их подвижность чрезвычайно важны в задачах обработки информации с помощью этого типа солитонов [1, 2]. Даже в отсутствие неоднородностей схемы и неустойчивости симметричных неподвижных солитонов их комплексы двигаются, если они асимметричны [3]. Для диссипативных солитонов в широкоапертурном лазере с насыщающимся поглотителем в [4] показано и в [5] подтверждено феноменологической моделью, что имеются четыре типа движения "твердых" стационарных двумерных солитонных комплексов (с фиксированными расстояниями и разностями фаз между солитонами). Первый тип реализуется при наличии двух осей симметрии поперечных распределений интенсивности и потоков энергии, тогда комплекс неподвижен и не вращается. Для второго типа существует только одна ось симметрии, центр комплекса (определяемый интегральным соотношением с участием распределения интенсивности [4]) движется прямолинейно с постоянной скоростью, и вращение отсутствует. В третьем типе имеется симметрия к повороту на угол 2п/п, п = 2,3,..., центр комплекса неподвижен, но сам он вращается с постоянной угловой скоростью. Наконец, в отсутствие этих элементов симметрии центр комплекса движется по окружности, а сам комплекс вращается с тем же периодом, подобно движению Луны вокруг Земли. Для нестационарных солитонных комплексов реализуются более сложные режимы с криволинейным движением их центра [5].

Здесь мы численно анализируем механику "твердых" комплексов диссипативных солитонов в широкоапертурных нелинейных интерферо-

метрах с керровской нелинейностью. Для существования диссипативных солитонов в пассивных интерферометрах (в отличие от лазерных схем) необходимо наличие поддерживающего когерентного излучения. Это излучение навязывает пространственным солитонам частоту и фазу, а также вызывает постоянный фон, что приводит к заметным отличиям от случая лазерных солитонов. Задачей работы служит проверка справедливости для солитонных комплексов в пассивном нелинейном интерферометре "эйлеровой" механики, следующей из соображений симметрии и феноменологической модели [6]. Ниже мы приводим общие соотношения и обсуждаем следствия симметрии солитонных комплексов (разд. 2), после чего в разд. 3 представляем результаты численных расчетов. Они обсуждаются в разд. 4.

2. ИСХОДНЫЕ СООТНОШЕНИЯ И ЭЛЕМЕНТЫ СИММЕТРИИ

Динамика медленно меняющейся огибающей поля в широкоапертурном интерферометре с кер-ровской нелинейностью в отсутствие угловой фильтрации и неоднородностей в приближении среднего поля (усреднение огибающей в продольном направлении г вдоль оси интерферометра) описывается следующим безразмерным уравнением [1, 2, 7, 8]:

дЕ = /Д+ Щ2 Е - (1 + 1&)Е + Е1п. (1)

д1

Согласно (1), изменения огибающей Е со временем I вызываются дифракцией (член в левой части (1) с

оператором Лапласа А ± = д2/дх2 + д2/ду2, х и у — поперечные координаты), керровской нелинейностью (нелинейный по полю член правой части),

линейными нерезонансными потерями (время нормировано на них, так что потери представлены единицей), отстройкой интерферометра от резонанса с частотой поддерживающего излучения (член с ©) и вводом поддерживающего излучения (плоская монохроматическая волна с амплитудой, пропорциональной Ein).

Для однородных стационарных режимов с амплитудой Eb, не зависящей ни от времени, ни от поперечных координат, из (1) следует

(1 + i&- i\Eb\2)Eb = Ein. (2)

Поскольку по заданному значению комплексной амплитуды поля Eb амплитуда внешнего излучения Ein находится однозначно, в качестве параметров схемы удобно выбирать расстройку © и амплитуду фона Eb .

Спецификой локализованных структур поля в схеме с когерентным поддерживающим излучением служит наличие постоянного фона с интенсивностью Ib = |Eb|2, тогда как в лазерных системах без такого поддерживающего излучения интенсивность фона нулевая. Поэтому естественно в данном случае определять координаты центра локализованной структуры, вычитая из огибающей амплитуду фона:

R c(t) =

Jr' |E(rl)

- Eb\ dr'

| E(r', t)

(3)

- Eh

dr'

d

(4)

7 2 2

х + у , ф = аг^(у/х), с центром системы координат, совпадающим с центром симметрии. Тогда для обладающих указанной симметрией распределений поля

E (рN)=E ф)-

(6)

Здесь г± = (х, у) и К с — (Хс^с) — двумерные векторы поперечных координат. Для локализованных структур и числитель, и знаменатель дроби в (3) конечны. При 1Ь = 0 определение центра (3) совпадает с используемым для лазерных солитонов с нулевым фоном [1]. Также двумерен вектор скорости движения центра

Ус({) = И с. ш

Заметим, что, согласно [9], для определения мгновенной скорости центра локализованной структуры достаточно знания мгновенного поперечного распределения огибающей. Аналогична ситуация и с угловой скоростью вращения, выражения для которой имеют более громоздкий вид [9].

Для дальнейшего важно наличие у поперечного распределения комплексной амплитуды поля Е следующих элементов симметрии.

1. Ось симметрии. При существовании оси симметрии, направленной вдоль Гц, для любых векторов г±, ортогональных Гц, так что (г±,Г|) = 0, выполняется соотношение

Щ\ + Г±) = Е(г, - г±). (5)

2. Симметрия к повороту на угол 2п/N, где N— целое число. Введем полярные координаты р, ф,

Если (5) или (6) справедливы в какой-то момент времени ^, то в силу уравнения движения (1) эти соотношения выполняются и в последующие моменты времени. Здесь и далее мы рассматриваем такие случаи, когда симметрия устойчива по отношению к малым возмущениям, т.е. асимметричные возмущения со временем не возрастают. Заметим, что варианты симметрии (5) и (6) взаимно исключают друг друга (кроме вырожденного случая осевой симметрии поперечного распределения огибающей, отвечающего в (6) пределу N ^ да).

При условии (5) из (3) следует, что центр структуры располагается на оси симметрии Гц, так что

Кс± = 0. (7)

Отсюда уже немедленно вытекает отсутствие поперечной к этой оси компоненты скорости:

Ус! = 0. (8)

Из наличия двух или большего числа осей симметрии следует неподвижность центра симметрии:

К = 0, Ус = 0. (9)

Если же выполняется (6), то центр структуры также совпадает с центром симметрии и неподвижен, что отвечает (9). Как показано ниже, динамика структуры в этих случаях, однако, существенно различается.

Выводы (7) и (9) несложно получить, разбив в числителе (3) область интегрирования на подобласти, отвечающие симметрии структуры, т.е. в случае (5) на две полуплоскости с границей между ними, совпадающей с осью симметрии, а в случае (6) — на N угловых сегментов [4].

В данной работе управляющее уравнение (1) решалось численно двумя способами. Во-первых, профиль стационарных осесимметричных соли-тонов находился методом Ньютона с одновременной проверкой устойчивости. Результаты для таких солитонов согласуются с представленными, в частности, в [8]. Во-вторых, динамика произвольных структур определялась решением эволюционного уравнения (1) методом Кранка—Ни-колсона, что позволяет при должном выборе шагов по времени и координатам достичь большей точности, чем при использовании алгоритма быстрого преобразования Фурье. В зависимости от параметров © и Еп уравнение (2) имеет от одного до трех решений. Соответствующие распределения могут быть как устойчивыми, так и неустойчивыми [10]. Более важным для нас здесь является наличие устойчивых локализованных

решений — диссипативных солитонов [11]. К настоящему времени солитонные решения (1) детально изучены [2, 8]. Воспользовавшись этими расчетами, мы фиксируем в данной работе параметры следующим образом: © = 1.2, Ein = 0.9843. При этом существует только один модуляционно устойчивый режим с интенсивностью Ib = \Eb\2 = 0.887. Осесимметричные стационарные распределения

интенсивности I = |E|2 и фазы Ф = arg E поля, полученные в солитоном режиме методом Ньютона, представлены на рис. 1 (сечение y = 0).

Такие солитоны могут формировать устойчивые пары и многосолитонные комплексы. В них солитоны связаны только слабо (перекрытие их периферийных частей мало). Пары солитонов (рис. 2а, 2б) характеризуются дискретным набором равновесных расстояний между центрами индивидуальных солитонов d1 = 7.66, d2 = 15.43, ..., причем наиболее устойчивы пары с минимальным расстоянием между солитонами d1. Расставляя индивидуальные солитоны с соблюдением для ближайших соседей этого межсолитонного расстояния, можно получить хорошее начальное приближение для многосолитонных комплексов, обладающих различной симметрией. Хотя при этом в распределении интенсивности возникают дополнительные максимумы, они не достигают критического уровня, сопоставимого с максимальной интенсивностью солитонов. Расчеты подтверждают, что после переходного периода установления солитонного комплекса он двигается как твердое тело (эволюция профилей интенсивности и фазы стационарного комплекса отвечает только их сдвигу и повороту).

3. ДВИЖЕНИЕ КОМПЛЕКСОВ С РАЗЛИЧНОЙ СИММЕТРИЕЙ

Одиночные стационарные солитоны, отвечающие устойчивым локализованным решениям управляющего уравнения (1), обладают осевой симметрией и соответственно неподвижны. Если в начальный момент времени создать

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком