ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 76. Вып. 3, 2012
УДК 532.59
© 2012 г. И. В. Стурова
ДВИЖЕНИЕ ПОГРУЖЕННОЙ СФЕРЫ В ЖИДКОСТИ ПОД ЛЕДЯНЫМ ПОКРОВОМ
Построено решение линейной стационарной задачи об обтекании сферы равномерным потоком невязкой, несжимаемой и бесконечно глубокой жидкости под ледяным покровом, который моделируется тонкой упругой напряженной пластиной постоянной толщины. Частные случаи этой задачи — движение погруженной сферы под битым льдом, мембраной, а также под свободной поверхностью как при наличии, так и при отсутствии капиллярных эффектов. Использован метод мультипольных разложений в рамках линейной потенциальной теории волн. Вычислены гидродинамические нагрузки (волновое сопротивление и подъемная сила), действующие на тело, а также распределение прогибов в ледяном покрове в зависимости от скорости движения тела, толщины льда и величины сжимающих или растягивающих усилий. Показано, что все характеристики течения существенно зависят от отношения скорости движения тела к критической скорости изгибно-гравитационных волн.
Ранее достаточно подробно исследована задача о генерации изгибно-гравитационных волн, возбуждаемых при движении области давления по льду [1—6]. Однако воздействие погруженного тела на ледяной покров и влияние ледяного покрова на течение жидкости вблизи тела изучены недостаточно. При численном решении задачи о равномерном горизонтальном движении удлиненного тела вращения подо льдом в ограниченном канале [7] рассматривалось движение тела из состояния покоя с резким стартом и последующим выходом на постоянную скорость. На каждом шаге по времени отдельно решалась гидродинамическая часть задачи методом граничных элементов и упругая часть — методом конечных элементов. Результаты численных расчетов и лабораторных экспериментов показали возможность разрушения ледяного покрова подводным судном при его поступательном движении подо льдом.
Отметим, что задача о движении погруженного тела под обычной свободной поверхностью изучена в линейной постановке достаточно полно (см., например, [8]). Решение задачи о равномерном движении погруженной сферы под свободной поверхностью жидкости методом мультипольных разложений получено ранее [9, 10]; ниже эти результаты распространены на случай, когда жидкость ограничена сверху ледяным покровом.
1. Постановка задачи. Рассматривается стационарная гидроупругая задача о равномерном горизонтальном движении сферы радиуса а со скоростью и в жидкости, верхняя граница которой является ледяным покровом. Жидкость предполагается невязкой, несжимаемой и бесконечно глубокой. Ледяной покров моделируется тонкой упругой пластиной постоянной толщины, находящейся в состоянии равномерного растяжения или сжатия.
Введем подвижную систему координат (х, у, z), связанную со сферой так, что плоскость ^ = 0 совпадает с невозмущенной верхней границей жидкости и ось z направлена вертикально вверх. Центр сферы помещен в точке х = у = 0, z = — к (к > 0), где к — глубина погружения тела. Определим также сферическую систему координат (г, 0, р) с началом в центре сферы. Две введенные системы координат связаны соотношениями
X = Г 8Ш 0 008 в, У = Г 8Ш 0 8Ш в, £ = Г008 0 - И
Потенциал скоростей движения жидкости представим в виде
ф(х, у, г) = и[ф(х, у, г) -X]
где ф — потенциал, соответствующий движению сферы с единичной скоростью. Уравнение для малых вертикальных прогибов ледяного покрова С^, у) имеет вид
+ ОД2С + - р
Эх2 дх
+ Р £ С = 0
г=0 (1.1)
Б = Ек\/[ 12 (1 - V2)], М = р1Н1, Д2 = д2/дх2 + д2/ду2
где E, V, Q, р: и h1 — модуль Юнга, коэффициент Пуассона, усилие сжатия ^ > 0) или растяжения ^ < 0), плотность и толщина ледяного покрова, р — плотность жидкости, g — ускорение силы тяжести. В частном случае D = 0, Q = —а, M Ф 0 верхняя граница жидкости представляет собой мембрану с коэффициентом натяжения а. При M = 0 в этом случае а — коэффициент поверхностного натяжения, а возникающие волны являются капиллярно-гравитационными. При D = Q = 0, M Ф 0 верхняя граница представляет собой битый лед, а если при этом и M = 0, то имеем случай обычной свободной поверхности.
Потенциал скоростей ф^, у, z) удовлетворяет уравнению Лапласа в области, занятой жидкостью,
Дф = 0 (-да< х, у <да, г < 0), Д = Д2 + д2/дг2
Кинематическое условие на верхней границе жидкости имеет вид
г = 0: дх = -дф/дг (1.2)
На поверхности тела выполняется условие непротекания
г = а: дф/дп = пх (1.3)
где п — внутренняя нормаль к телу и пх — ее компонента в направлении оси x. В дальнем поле требуется выполнение условия излучения, которое означает, что распространяющиеся впереди тела волны могут быть только в случае, когда их групповая скорость больше скорости тела, в противном случае волновые движения существуют только за телом.
2. Мультипольные разложения. Используя метод мультипольных разложений [10], основанный на присоединенных функциях Лежандра Рт, решение для потенциала скоростей представим в виде
Ф = XX лт
п = 0 т = 0
Г п + 1 ■
0-+-Рт(ес80)ес8тв + К(г, 0, в)
1_г .
(2.1)
с неизвестными коэффициентами Лп . Здесь первое слагаемое в квадратных скобках представляет собой трехмерный мультиполь, а второе слагаемое введено для удовлетворения граничным условиям.
При |9| < я/2 воспользуемся интегральным представлением
ж
п
Pmn (cos0) 0 (-1)m rjn -krcos0
____ nnc irt\< — _i_L_ I fro ,
n + 1
cosmp = ____—)— [k"e krcoseJm(krsin0)cosmpdk = (n - m)! J
r
0
да п
n
-_- Г 1Уcosmye-k(z+h) + _k(xcosY+ysiny)dydk
2я(n - m)! J J
0 -п
где Jm — функции Бесселя первого рода.
Используя граничные условия (1.1), (1.2) при z = 0 и условие затухания волнового движения при z ^ —<», получим
1 п
n +1 m
Fm = -________ Г \A(k,Y)kncosmyekze_k(xcosy + ysiny)dydk (2.2)
2n(n - m)! J J
L -п
A(k, y) = e~kh T(k, y)/Z(k, y) , T(k, y) = Z(k, y) + 2 p U2k cos2y
Z(k, y) = £k4 - Qk2 - U2kcos2y(p + Mk) + pg
Контур интегрирования Z проходит от нуля до бесконечности. При некоторых ограничениях, налагаемых на величину Q, уравнение Z(k, у) = 0 имеет два вещественных положительных корня kx и k2 (k: < k2) только при Z7[cosy| > Um, где Um — минимальная фазовая скорость изгибно-гравитационных волн.
Хорошо известно [1, 2], что групповая скорость изгибно-гравитационных волн больше их фазовой скорости для коротких волн и меньше для длинных волн. Короткие волны соответствуют упругой ветви дисперсионной кривой, а длинные волны — гравитационной ветви. Фазовая и групповая скорости совпадают при минимальной фазовой скорости, которая обычно называется критической скоростью и равна
= М-О^ + к (2.3)
т V ко(р + Мко) ' ;
Критическое волновое число к0 — положительный корень уравнения
Бк0(2Мко/Р + 3) - Око - 2Mgkо - рg = 0 (2.4) Если пренебречь массой льда (М = 0), то в случае Q = 0 имеем [4]
ко = (Р0 '/4
При малых значениях Q известно приближенное значение для скорости ит [11]
ит - и0( 1 - 3б) , и0 = 2(^ ' , б = агеИ - 0
т 0( 4 ), 0 (27р^ ,
(2.5)
(2.6)
и0 — минимальная фазовая скорость при М = Q = 0. Для мембраны значения к0 и ит равны, соответственно,
ko = [gM +Vg( gM2 + pa) ] / a, Um = Jlg/ko
m
В случае капиллярно-гравитационных волн эти выражения упрощаются:
к„ = Тр?/ст, ит = 72 р)1/4
Следовательно, при |у| < п/2 контур интегрирования L обходит сверху особенность в точке k = k1 < ^ и снизу в точке k = ^ > При |у| > п/2 имеет место обратная картина.
В случае битого льда и обычной свободной поверхности уравнение Z(k, у) = 0 имеет при любых значениях скорости U лишь один положительный корень kí, так как образуются только гравитационные волны, для которых групповая скорость всегда меньше фазовой. Имеем
к1 = J л/р[р + 4gM/( U2 cos у)] — р 1/(2M) для битого льда
к1 = g/(U2cos2у) для свободной поверхности.
Для того чтобы удовлетворить граничному условию (1.3) на поверхности тела, используем известное соотношение
да n ' n '
кг( cos 9 + i sin9 cos В) -\m' ( кг) r№ s i n
e = > > em.(-i) , - Pn(cos0)cosm p
¿—I ¿—I (n + m )!
n ' = 0 m ' = 0
где s0 = 1 и sm = 2 при m > 0. Применяя это соотношение в выражении для потенциала (2.1) при учете равенства (2.2), получим
да n
m
n
ф = vv ^
n = 0 m = 0
n + 1
a
,Pm(cos0)cosmp -
да n
n +1 n n
a v v r
ZV Sm'—-—Pm(cos0)cosm'pI(m, n, mn')
^ ( n + m )!
2n(n - m)! ^ ¿-i (n' + m')!
n ' = 0 m ' = 0
где для четных m — m
(2.7)
п/2 да
I(m, n, m', n') = -(-1 )(m - m )/24 f pv \к" +n cos my cos m'ye~lkh Т(к' y) dMy (2.8)
J J Z(к, у)
00
а для нечетных m — m'
Y0 2
Д. /■ 1 \(m - m -1 )/2 . Г , л j п +T (кг,У) ,
m, n, m , n ) = (-1) 4я J cos my cos m у > (-1) к^ e g^.—) ^Y
0 j =1 j (2.9)
= | 0 , U < Um Y° i arccos ( Um/ U), U > Um
Здесь pv обозначает интеграл в смысле главного значения, Z(kj, у) = dZ/дк|к = к (j = 1, 2).
r
В случае битого льда и свободной поверхности второе слагаемое в равенстве (2.9) должно быть опущено и следует положить у0 = я/2. Отметим, что в этих случаях внутренний интеграл по к в равенстве (2.8) может быть вычислен с использованием интегральной показательной функции.
Применяя граничное условие на поверхности сферы (1.3) и используя соотношения ортогональности для присоединенных функций Лежандра, получим систему линейных алгебраических уравнений для определения неизвестных коэффициентов А"
да
п + п
п+1 а: + п^ у у (-а - д т, п., т п А = 5щ 5т1 (2.10)
а + :)! (п - :)!
п = 1 т = 0
где Ьу — символ Кронекера. Легко видеть, что коэффициент при п = 0 равен нулю, так как соответствующий ему мультиполь — источник.
Решение системы (2.10) можно получить методом редукции, оставляя в бесконечной сумме по п только N первых членов. Тогда число искомых коэффициентов равно N. = NN + 2)/2. Выбор значения N определяется требуемой точностью. После опреде-
ления Ап можно найти все характеристики течения.
Гидродинамическая нагрузка определяется в результате интегрирования распределения давления по поверхности тела Известно, что в общем случае пространственного тела гидродинамическая нагрузка состоит из шести компонент: силы и моменты относительно трех осей координат. В идеальной жидкости моменты относительно центра сферы равны нулю. Силы определяются следу
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.