ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 68. Вып. 6, 2004
УДК 531.36
© 2004 г. В. С. Асланов, А. В. Дорожим ДВИЖЕНИЕ СИСТЕМЫ СООСНЫХ ТЕЛ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ
Рассматривается движение механической системы соосных осесиммет-ричных тел переменной массы в поступательно движущейся системе координат. Записана теорема об изменении кинетического момента системы соосных тел переменной массы относительно поступательно движущихся осей. На примере двух соосных тел построены динамические уравнения движения. В предположении, что относительные смещения центра масс малы вследствие изменения массы системы, находятся приближенные решения для углов пространственной ориентации и условие уменьшения амплитуды нутационных колебаний. Полученные результаты могут быть использованы для описания движения космических аппаратов, выполненных по соосной схеме, при совершении активных маневров с изменением массы.
Движение космического аппарата с двойным вращением и неизменной массой при наличии малой асимметрии было рассмотрено авторами ранее [1].
1. Постановка задачи и теорема об изменении кинетического момента системы соосных тел. Ставятся задачи вывода уравнений движения системы к тел переменной массы относительно поступательно движущихся осей и получения приближенных аналитических зависимостей для свободной системы двух соосных тел. В процессе изменения массы динамическая симметрия не нарушается.
Введем следующие системы координат (фиг. 1): Р^пС - неподвижная в абсолютном пространстве система координат; 0ХУ2 - подвижная система координат с началом в точке системы 0, оси которой остаются коллинеарными осям неподвижной системы все время движения; 0х;у - системы координат с общим началом, жестко связанные с г-м телом (г = 1, 2, ...., к), вращающиеся относительно системы 0ХУ2. В качестве начала координат 0ХУ2 выбирается точка, лежащая на общей оси вращения тел и совпадающая с начальным положением центра масс. Точки, входящие в состав системы, отличаются своей принадлежностью тому или другому телу, поэтому при записи выражений будем указывать принадлежность точек г-му телу индексом V
Для построения уравнений движения воспользуемся гипотезой "близкодействия", согласно которой частицы, получившие относительную скорость при отделении от тела, уже не принадлежат телу и никак на него не действуют, тогда теорема об изменении кинетического момента системы переменной массы [2], записанной относительно неподвижной системы координат Р^пС, примет вид
= МР + мР + £ 8;, 8; = £^ х —'^ (1.1)
1=1 V;
где Мр - главный момент внешних сил; М^ - главный момент реактивных сил; 8; -сумма моментов количеств движений частиц тела г, отброшенных в единицу времени в их переносном движении относительно неподвижной системы координат.
Фиг. 1
Кинетический момент системы к тел в системе координат 0ХУ2 (фиг. 1) определяется формулой
к к
Кр = XX^ X Шу.Уу. = ХХ[(Г0 + Pvi)Х у0 + х Pvi)] (1.2)
1 = 1 v¡ 1 = 1 v¡
где ы1 - абсолютная угловая скорость тела 1 и связанной с ним системы координат 0ху
Для записи теоремы об изменении кинетического момента относительно подвижной системы координат 0ХУ2 воспользуемся понятием центра масс для каждого тела и выпишем вспомогательные соотношения — рС;.
Ы х рс + Чс
—г
X —г- (Ы х Р^) = Ых
dmv . Гйт1
-—- рс + т 1 Чс
где рс - радиус-вектор центра масс С1 тела 1 в системе 0ХУХ, чс - относительная скорость центра масс С., обусловленная изменением его положения относительно тел в связи с переменностью их масс. Если использовать эти соотношения и сгруппировать точки системы в соответствии с их принадлежностью телам ¡, то теорему об изменении кинетического момента относительно системы осей 0ХУ2 можно записать в виде
к—К; 0 е Е * _ dmv .
X = Ме0 + м0 + XX р^х —'(ы,- X р^) - Рс X mwo (1.3)
1 = 1 1 = 1 v¡
е Е
где М0 и М0 - главные моменты внешних и реактивных сил относительно точки О. Выражение (1.3) соответствует утверждению известной теоремы [2] при учете группировки слагаемых согласно принадлежности точек телу I ( I = 1, ..., к).
v
Фиг. 2
С помощью понятия локальной производной для вектора кинетического момента каждого тела в связанной с телом системе координат 0хувращающейся относительно 0ХУ2 с угловой скоростью ы уравнение (1.3) можно переписать следующим образом:
£ + Ы X К;
= 1
йг )0х^Г™; 0
; к йmv ■
= М0 + М0 + £ £ Pv¡ X —(Ы; X р^) - г с X т Wo
1 = 1 V,
(1.4)
За скобками локальных производных в нижнем индексе указаны системы координат, в которых они берутся.
Уравнение (1.4) определяет в векторной форме теорему об изменении кинетического момента тел переменной массы относительно поступательно движущихся осей.
2. Система двух соосных тел. Будем рассматривать свободное движение системы двух динамически симметричных тел, причем переменным по массе является только тело 1. Отброс точек при изменении массы происходит симметрично, так что вектор реактивных сил направлен строго вдоль оси вращения. Тело 2 не изменяет своих инерционно-массовых характеристик, вычисленных в связанной с телом системе координат 0х2у2г2, и, следовательно, не создает реактивных сил. Центр масс системы вследствие изменения массы тела 1 смещается с некоторой скоростью qс строго вдоль направления продольной оси. На фиг. 2 изображен случай, когда в начальный момент времени масса второго тела больше массы первого.
Запишем угловые скорости и кинетические моменты тел в проекциях на оси своих связанных систем координат
Ы = Р;1; + Ч Ж + г; к ; (2.1)
К1,0 = г)(Р^1 + ЧьИ) + С1 (г) Г1 к1, К2,0 = А2( Р212 + ^Ь) + с2 г2 к2 (2.2)
где Аг и С; - экваториальный и продольный моменты инерции тела г, вычисленные в связанной с телом соответствующей системе координат; |1;, j ;, Ц} - орты систем 0ху ^ (г = 1, 2).
Тела системы могут вращаться относительно друг друга лишь в направлении общей продольной оси, совпадающей с 0г2 (и с 01х). При этом угол и скорость закручивания тела 1 относительно тела 2 в направлении продольной оси 0г2 обозначим
соответственно как 5 и о = 5. Углы пространственной ориентации соосных тел относительно поступательно движущейся системы координат 0ХУ2 указаны на фиг. 2. Связь между угловыми скоростями и угловыми ускорениями двух тел в векторном виде определяются формулами
ы1 = ы2 + ст, е1 = е2 + ст (2.3)
где ст = (0, 0, 5) - вектор относительной угловой скорости тел, который имеет проекцию только на общую ось вращения 0г2. Связь между компонентами угловых скоростей для двух тел имеет вид
р1 = р2ео8 5 + д^т 5, q1 = д2ео8 5 - р^т 5, г1 = г2 + о (2.4)
При свободном движении системы (Ме0 = 0, М0 = 0) теорему об изменении кинетического момента (1.4) в поступательно движущихся осях 0ХУХ, можно переписать в виде
—К1
—т„
—г )0х1 у1г1
- X Pv1 х -¡^ (ы1 х Pv1)
—К
2 0
—г )0х2у212
+ X Ы х К 1.0 = -рс х т^0
(2.5)
1 = 1
где
Pv1 = xv1 + Уv1j 1 + ^ к1
(2.6)
Проецируя выражение, стоящее в квадратных скобках в уравнении (2.5), на оси системы и используя формулы (2.1), (2.2) и (2.6), получим
—К1
—т
—г )0х1 y1z1
- X Pv1 х -—Г1 (ы1 х Pv1)
г)(р111 + ) + с1 (г) Г1 к1
(2.7)
Следует отметить, что при упрощении соотношения (2.7) члены, содержащие производные от переменных во времени моментов инерции, взаимно уничтожаются с членами, следующими из суммы, стоящей в квадратных скобках. Это можно видеть, например, из проекции на связанную ось 0х1 вектора, представленного в квадратных скобках в левой части равенства (2.7):
—А
[•••^ = -Л1Р1+ А1 р1-![Pv1 • Ы1 )]x1mv1
—А1 ¡mvl 2 2 ¡mvl
—р1 + А1 р1 - р11 —- (yvl + zVl) + ^ XVl ^ +
у1
у1
dmv —А1 —А1
+ Г11 -—Г ЧЧ = р1+ А1 р1- р1-г = А1 р1
v
2
+
v
v
С учетом выражения (2.7) и формул (2.4) запишем уравнение (2.5) в проекциях на оси системы Ох2у212, связанной с телом 2. При переходе от системы Ох1у111 к системе Ох2у2г2 используется ортогональная матрица поворота на угол 5. В результате получим
Аз(г)р2 + (Сз(г) - Аз(г))д2г2 + Сх(г)q2a = -[рс х тWo]х Аз(г)q2- (Сз(г)- Аз(г))Р2Г2- Сх(г)Р2о = -[рсхтwo]у
(2.8)
Сз( г )Г2 + Сх (г )о = -[ Рс х mwo
Аз (г) = А1 (г) + А2, Сз(г) = С1 (г) + С2
При изменении массы тела 1 отброс точек происходит симметрично относительно продольной оси и главный вектор реактивных сил в связанной с телом системе Ох1у111 можно представить в виде
Ф? = (0, 0,Ф?) (2.9)
Из теоремы о движении центра масс системы переменной массы [2] и выражения (2.3) следует справедливость следующего соотношения:
mwO = Ф? - е2 х трс- ты2 х ю2 х рс (2.10)
Имея в виду, что рс = (0, 0, рс), рс х ю2 х ю2 х рс = 0 и принимая во внимание (2.9), с помощью уравнения (2.10) представим вектор (-рс х mwO) в проекциях на оси системы Ох2у2г2
-[ т рс х Wo ] = т рС [ р12 + qj2 + 0к2 ] (2.11)
С учетом соотношения (2.11) уравнения (2.8) запишем в виде
(Аз(г) - трС(г))р2 + (Сз(г) - Аз(г))q2r2 + С1(г^2о = 0
(Аз (г) - трС (г)) q2-(Сз (г) - Аз (г))Р2Г2-С1 (г)р2о = 0 (2.12)
Сз( г )г2 + С1 (г )о = 0
где рС(г) - известная функция времени.
К трем динамическим уравнениям (2.12) добавим уравнение, описывающее относительное движение тел. Воспользуемся теоремой об изменении кинетического момента в проекции на ось вращения, записанную для первого тела
йК
йг
= м5 +
йту
Iх -Ж ?
\
йг ^
где К = С^г)^ - проекция кинетического момента первого тела на ось вращения, М5 - момент внутреннего взаимодействия тел. Поскольку центробежные моменты инерции тела равны нулю, это уравнение примет вид
С1( г)(Г2 + о) = М5 (2.13)
Дополним динамические уравнения (2.12) и (2.13) следующими кинематическими соотношениями (фиг. 2):
У = Р2 Ф + q2cos Ф > ¥ = ^гт;(Р2 ф - q2sin ф)
7 (2.14)
Ф = Г2-Сспу(Р2Ф - q2sin Ф)' 5 = о
Если при изменении массы величина m p2C (t) остается малой по сравнению с суммарным поперечным моментом инерции системы A3(t), то система динамических уравнений приобретает вид
А3(t)p2 + (C3(t) - А3(t))q2r2 + Ci(t)q2o = 0
A3(t)q2- (C3(t) - Аз(t))P2Г2- Ci(t)P2o = 0 (2.15)
C3( t )r2 + C1 (t )0 = 0, t)(r2 + o) = M5
Из системы (2.15) следует, что уравнения движения соосных тел переменной массы в случае небольших относительных смещений центра масс отличаются от уравнений движения соосных тел постоянной массы [1] тем,
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.