научная статья по теме ДВИЖЕНИЕ СПУТНИКА В ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ ВЯЗКОУПРУГОЙ ПЛАНЕТЫ С ЯДРОМ Космические исследования

Текст научной статьи на тему «ДВИЖЕНИЕ СПУТНИКА В ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ ВЯЗКОУПРУГОЙ ПЛАНЕТЫ С ЯДРОМ»

КОСМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2015, том 53, № 2, с. 173-180

УДК 531.391

ДВИЖЕНИЕ СПУТНИКА В ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ ВЯЗКОУПРУГОЙ

ПЛАНЕТЫ С ЯДРОМ © 2015 г. А. В. Шатина, Е. В. Шерстнев

Московский государственный технический университет радиотехники, электроники и автоматики

(МГТУМИРЭА) shatina_av@mail.ru Поступила в редакцию 25.12.2012 г.

Исследуется движение системы "планета—спутник" в гравитационном поле сил взаимного притяжения. Планета моделируется телом, состоящим из твердого ядра и вязкоупругой оболочки из материала Кельвина—Фойгта. Спутник моделируется материальной точкой. Из вариационного принципа Даламбера—Лагранжа выводится система интегро-дифференциальных уравнений движения механической системы в рамках линейной модели теории упругости. Асимптотическим методом разделения движений строится приближенная система уравнений движения в векторном виде, описывающая динамику системы с учетом возмущений, вызванных упругостью и диссипацией. Получено в явном виде решение квазистатической задачи теории упругости для деформируемой оболочки планеты. Выводится усредненная система дифференциальных уравнений, описывающая эволюцию параметров орбиты спутника. Для частных случаев построены фазовые траектории, найдены стационарные решения и исследована их устойчивость. В качестве примеров рассмотрены некоторые планеты Солнечной системы и их спутники. Данная задача является модельной для изучения приливной теории движения планет.

БО1: 10.7868/80023420615020089

Исследование приливной эволюции системы "планета—спутник" проводилось многими авторами [1, 2, 3]. В работе используются методы аналитической механики систем с бесконечным числом степеней свободы [4]. Ранее указанный подход был применен, в частности, к ряду задач о поступательно-вращательном движении вязко-упругого шара [5, 6, 7].

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.

УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ

Рассмотрим задачу о поступательно-вращательном движении системы "планета—спутник" в гравитационном поле сил взаимного притяжения. Спутник будем моделировать материальной точкой Р с массой ц. Планету будем моделировать телом, состоящим из твердого ядра и вязкоупру-гой оболочки, занимающим область V = У0 и У1 в трехмерном евклидовом пространстве при отсутствии деформаций. Здесь V) = {г е Е3 : |г| < г0},

VI = {г е Е3 : г0 < |г| < т}}. Пусть р0, р1 — плотности ядра и вязкоупругой оболочки соответственно, а т0, т1 — их массы. Предполагается, что материал оболочки планеты является однородным и изотропным.

Введем инерциальную систему координат ОХУХ с началом в центре масс системы "планета-спут-

6 173

ник". Для описания вращательного движения планеты введем подвижную систему координат Сх1х2х3, жестко связанную с ядром и систему осей Кенига где С — центр масс планеты в

естественном недеформированном состоянии (рис. 1).

Положение точки М планеты в инерциальной системе координат ОХУХ определяется векторным полем

(г, I) = ОС + Г (г + и (г, {)), (1)

Рис. 1

где Г — оператор перехода от подвижной системы координат Сх1х2х3 к системе осей Кенига и(г, 1) — вектор упругого смещения, равный тождественно нулю для точек твердого ядра У0. Так как О — центр масс рассматриваемой механической системы, то

[1м(г, Г)pdv + ОР = 0.

(2)

Положим Ир = ОР. Уравнения движения системы "планета—спутник" получим из вариационного принципа Даламбера—Лагранжа:

[(1 м, 5И м )pdv + ц (1 Р, 5И р ) + 5П

V

+ |(У„ Щ[и] + Уй ], 5п» = 0.

(6)

р0, если г е V0,

(3)

pdv

(4)

а.

Е (1 -V)

а 2

_2(-2у)

2 (1 + V) (1 - 2v)' а, > 0, 0 < а2 < 3,

1 -V

(5)

1Е = X 1 11Е =

екке11 - ек1 )

1=1

к<1

Согласно равенствам (1) и (3) имеем:

Здесьр =■

если г е V

Введем в рассмотрение вектор И = СР. Тогда из (1) и (2) получим:

ОР = И--[Гир^,

т + ц т + ц

И

м

И

И--1— Г [[ю х [ю х и] + 2ю х и

т + и

+

т + и т + и

ОС =--^ и--[Гир^.

т + ц т + ц

Здесь т — масса планеты, т = т0 + т1.

Потенциальная энергия гравитационного поля определяется функционалом

+ Ю х и + й] р^1 + Г [ю х [ю х (г + и)] + 2ю х й +

+ шх(г + и) + и], 5Им =---

т + ц

—1— Г [[5а х и + 5и]р^1 +Г[5а х(г + и) + 5и], т + ц ■*

V

--— Г [[ш х [ш х и] + 2ш х и + (7)

т + ц J

11Р =

где/— универсальная гравитационная постоянная.

Функционал потенциальной энергии упругих деформаций зададим в соответствии с линейной моделью теории упругости:

Щ = рЩи]/^, Щ[и] = а1 (1Е - а211Е),

т + ц т + ц

+ (Ь х и + и ]

5 Ир = 5И--1— г [[5а х и + 5и]р^.

т + ц т + ц

V

Здесь ю — вектор угловой скорости планеты, 8а — вектор, возникающий при варьировании ортогонального оператора Г:

ш х (•) = Г-1Г (•), 5Г (•) = Г [5а х (•)].

Подставляя в равенство (6) выражения (7) для Им, 5Им, Ир, 5Ир и приравнивая коэффициенты при независимых вариациях 8Я, 8а, 8и, получим уравнения движения системы "планета—спутник" в виде:

ц

[И мpdv-

Цт 1

т + ц -1 т + ц

V

1 ( дик ди, ] / ч

ек1 = + I, и = Киъиз),

2 удх, дХк )

где Е — модуль упругости Юнга, V — коэффициент Пуассона вязкоупругой оболочки планеты, 1Е, 11Е — инварианты тензора малых деформаций.

Диссипативные свойства вязкоупругой оболочки опишем диссипативным функционалом

Э = Г ^и^'^, Э[и] = X], соответствующим

*VI

модели Кельвина—Фойгта (здесь х > 0 — коэффи-

циент внутреннего вязкого трения).

И -Г (г + и)

(8)

-Г (г + и)

pdv = 0,

I

г + и--1— [ир^1

т + ц

х Г 111 мpdv -

т + ц

[ир^1 х Г 1Ёр -

[.(г + и)х[г-1И - (г + и) 1 -Г(г + и)|3

pdv = 0,

ДВИЖЕНИЕ СПУТНИКА В ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ ВЯЗКОУПРУГОИ ПЛАНЕТЫ

175

Р1 \ Г-к м--— |г-1К мрЛ

I т + ц

V — -

——Г-1К,

т + ц

/ ц ( — (г + и)) ][ |К — Г(г + и)3

(10)

+ УиЩ[и + хи ] = 0.

и = р {1 ш2г2 -1 (ш, г)2},

V = - ^ {6 г2-2 & г)2},

% = Г-1и/Я, Я = |К|, ю = Н

Краевые условия (13) означают равенство нулю вектора упругого смещения для точек внутренней поверхности сферической оболочки, прикрепленной к твердому ядру, и равенство нулю напряжений на внешней поверхности сфериче-Будем полагать, что жесткость вязкоупругой ской оболочки.

2. ВОЗМУЩЕННАЯ СИСТЕМА УРАВНЕНИИ ДВИЖЕНИЯ. ДЕФОРМАЦИИ ВЯЗКОУПРУГОИ ОБОЛОЧКИ ПЛАНЕТЫ

оболочки планеты велика, т.е. мал безразмерный параметр б = рю^2Е_1, где ю0 — величина модуля начальной угловой скорости планеты. Выбрав соответствующим образом масштабы размерных единиц, можно ввести малый параметр е = Е-1. При е = 0 вектор упругого смещения u полагается равным нулю. В этом случае получим задачу о движении механической системы, состоящей из абсолютно твердого тела сферической формы и материальной точки, в поле сил взаимного притяжения. Невозмущенная система уравнений движения имеет вид:

к + АЫ) к = 0, ^ = 0, Я3

а = 15 И + Р1 ( - г5)],

(11)

и1 = 0, оп = 0.

1 Г=Г0 ' п\Г=Г\

(13)

Здесь

еУи Щщ] =

1

2 (1 +

1

^гаёёгуи 1 + Аи 1

1 - 2у

О п = (СТЬ СТ2, а), п = (У1, у2, у3 ),

Еуъ ■ Е

= 7-ГТ^-г и1 +' " ^ ~ 4 1 2 (1 + у)

+ grad и, п I, I = 1,2,3,

(1 + у) (1 - 2у)

х|ди1

дхI

[8]:

где

Решение краевой задачи (12)—(13) имеет вид

и1 = и10 + ип + и12,

(14)

2 21 2 а3\ /, 2 , Ь3

и10 = "Р1® (а1Г + а2 + 4) г, ип = Шг + Ь2 +4 +

+ Ь5) Vи + (Ь5 + Ь5 + Ь71иг, и, г ) \ г г

420

хи 120, и120 = ((Г" +¿2 + Ь3 + Ь5 )V гV +

+ (( + Ь7)), ах =-г г

г г 1 + V

где А — момент инерции планеты в недеформиро-ванном состоянии относительно диаметра.

При е Ф 0 согласно методу разделения движений [4] из уравнения (10) определим деформации вяз-коупругой оболочки, вызванные полем внешних сил и сил инерции переносного движения. Решение уравнения (10) будем искать в виде разложения по степеням малого параметра е: и = би1 +

+ б и2 +----. Краевая задача для определения функции ^ первого приближения имеет вид [8]:

еУи Щ[и1 + хи 1] = 2 Р1«2г + УР + УУ, (12)

а2 = -

5 (к + 2) а1г12 (4х5 + 5к + 6)

4х + 3к + 2

а3 = -

а1г15х3 ((3к + 2) х2 - 5к - 6) (1 + у)

" 4х3 + 3к + 2 51 А0

х {8(9к + 14)х10 + 80х7 + 24(к + 1)(5к + 11)х5 -

- 5 (к + 2) (15к +16) х3 + 2 (3к + 8) (5к + 4)},

Ь2 = (1 +/)г {8 (9к + 14)х12 + 8 (15к2 + 46к + 51)х

А,

0

7

- (63к2 + 114к + 56)х5 + 4(3к + 8)(4к + 3)}, (15) Ь3 = 2(1 + у)г15х3 {40х9 -16(к + 6)х7 + (21к + 16)х2 -

7 5

_ ^о^уКк+М-х

Ап

24х -

- 10 (4к + 3)}, Ь4 = - 2(3к + 26)х5 + (15к +16)х2 - 6(4к + 3)}, Ь5 =-4(1 ^)(к +1){60х7 -12(2к +17)х5 + + 5(3к + 26)х3 -2(3к + 8)}, Ь6 = (3к + 1)Ь3,

Ф2<^, V)

0.09

0.06

0.03

0.25 0.50 Рис. 2

0.75

b7 = -5b4, А0 = 8 (2k + 7) (9k +14) х10 + 200 х х (3k2 + 8k + 7)х7 - 1008 (k + 1)2 х5 + 25 (27k2 + + 56k + 28) х3 + 2 (3k + 8) (19k + 14),

k =

, х = й. 1 - 2v r1

Здесь d¡ = spj® r1 ф¡ (х, v), i = 1, 2, 3,

2 (1 + v) (3х5 - 5х3 + 2) (1 + v)

ф1 (х, v) =--г—-, ф2(х,) = ^--х

К } 15 (4х3 + 3k + 2) 3А0

х {120(k + 2)х12 -2(15k2 + 133k + 218)х10 +

+ 5(15k2 + 31k + 32)х7 + 3(79k + 74)х5 -- 25 (3k2 + 14k + 10) х3 + 2 (3k + 8) (5k + 4)}, (18)

Ф3 (х, v) = (1 + V)(k +1) {2 (9k +14)

)х10 +

+ 25 (3к + 8)х1 - 21 (11к + 26)х5 + +50 (Зк + 7)х3 - 4 (Зк + 8)}.

Используя формулы (17), можно получить значения полярного и экваториального радиусов для выбранной модели планеты с ядром:

Гэкв = 1 (1 + dl + d1), гПол = Г1 (1 + dl - 2d2).

Величина приливного горба, создаваемого на поверхности планеты спутником, определяется выражением |би120 (г£, . Полагая в (15) г = г1^, получим:

eu

120

Заметим, что согласно методу разделения движений [4] зависимость вектор-функции u120 от времени осуществляется через величины R и % в соответствии с невозмущенной задачей (11).

Введем подвижную систему координат Cx1x2x3, связанную с планетой. Начало координат C поместим в центре твердого ядра, а ось Cx3 направим по вектору ю. Тогда поверхность вращающейся деформированной планеты без учета приливных деформаций можно описать векторным параметрическим уравнением:

S = rp r + SU10 (re r, t) + sun (^e r, t), e r = (cos ф sin 0;sin ф sin 0;cos 0), (16)

0 < ф < 2n, 0 < 0 < n.

Поверхность (16) является поверхностью вращения. Получим параметрические уравнения кривой, получающейся при пересечении этой поверхности плоскостью, проходящей через ось Cx3, например, плоскостью Cx2x3. Положим в (16) ф = я/2. Тогда

S = (0; ¿2, ^э),

52 = r1 [(1 + d1 + d2)sin 9 + d3 sin 9cos2 9],

53 = r1 [(1 + d1 - 2d2 )cos 9- d3cos 9 sin2 9],

0 < 9 < 2n

(1%, t) =

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Космические исследования»