научная статья по теме ДВИЖЕНИЕ СВЯЗКИ ДВУХ АСТЕРОИДОВ Космические исследования

Текст научной статьи на тему «ДВИЖЕНИЕ СВЯЗКИ ДВУХ АСТЕРОИДОВ»

КОСМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2013, том 51, № 4, с. 349-352

КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ

УДК 531.391

ДВИЖЕНИЕ СВЯЗКИ ДВУХ АСТЕРОИДОВ © 2013 г. В. Г. Вильке1, Е. Н. Чумаченко2, Д. Данхэм3, Р. Р. Назаров4

Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова 2Московский институт электроники и математики НИУВШЭ 3KinetXInc., США 4Институт космических исследований РАН, г. Москва Поступила в редакцию 15.08.2012 г.

DOI: 10.7868/S0023420613030084

Рассмотрим инерциальную систему координат ОХхХ2Хъ, начало которой совпадает с центром масс Солнца. Плоскость ОХхХ2 является плоскостью орбиты Земли, а ось ОХ! проходит через перигей орбиты Земли. Движение Земли, рассматриваемой как материальная точка, определяется равенствами

R 0 = Rj(cos d0e1 + sin S0e 2),

R0 =

0)(1 - ^0)

0

= a0(1 - e0 sin W0),

1 + e0 cos &0 tg W0/2 = V 1 - e„/1 + e0tg З0/2,

^2 3/2 П0 = ^ a0 .

(1)

n0t = w0 - e0 sin w0,

Здесь а0, е0 — большая полуось и эксцентриситет орбиты Земли, -Э0, w0, п0? — истинная, эксцентрическая и средняя аномалии, п0 — постоянная скорость изменения средней аномалии, ц — гравитационный параметр Солнца [1].

Движение астероидов происходит по кепле-ровским орбитам с фокусом в Солнце и определяется формулами, аналогичными формулам (1)

R k

Г3(hk)Г1&)Г3(gk)rk, k = 1,2,

Гк = Rk(cos 3^1 + sin dk%2), Rk =

ak(1 - ek) 1 + ek cos Sk

t wk tg Wk =

1 - ek. dk

--ktg~r, nkt = Wk - ek sin Wk,

1 + ek 2

Г 3(g) =

'cos g - sin g 0 sin g cos g 0 0 0 1 (1

(1 0

Г1© =

0

4(2)

0 cos i - sin i 0 sin i cos i )

%1 =

V 0 у

% 2 =

(0 ^

V 0 у

Здесь Нк, 1к — долгота восходящего узла, долгота перигея и наклонение орбиты астероида со-

ответственно. Формулы (1), (2) не учитывают влияния других планет Солнечной системы на движение Земли и астероидов.

Актуальной задачей является проблема падения астероида на Землю. Если рассматривать Землю и астероид как материальные точки, то вероятность столкновения двух точек равна нулю. Если Землю рассматривать как сферу, то вероятность прохождения траектории астероида через область, занимаемую сферической Землей, становится ненулевой, хотя и малой величиной. При сближении астероида с Землей в сфере действия Земли следует учитывать влияние гравитационного поля Земли на движение астероида. Существуют три сценария дальнейшего развития событий. Первый сценарий предполагает падение астероида на Землю. Во втором случае орбита астероида в результате притяжения Земли, изменит свои параметры, и астероид покинет окрестность Земли. В третьем случае орбита астероида трансформируется в орбитальное движение вокруг Земли, как это происходит с Луной. В этом случае говорят о захвате астероида Землей. Дальнейшая эволюция орбиты астероида зависит от параметров орбиты и влияния диссипативных факторов, например, сопротивление верхней атмосферы Земли.

Нежелательное для землян развитие событий предполагает столкновение Земли с астероидом в обозримом будущем, например на интервале времени в тысячу лет. Таким образом, возникает задача практической астрономии — задача обнаружения достаточно крупных астероидов, размер которых превосходит сотню метров, и прогноз их возможного столкновения с Землей. Если в результате этой деятельности обнаружится астероид, угрожающий падением на Землю, то возникает вторая задача о выработке мер для корректировки орбиты астероида с целью предотвращения его столкновения с Землей.

Одно из возможных решений этой задачи состоит в том, чтобы найти в Солнечной системе

0

350

ВИЛЬКЕ и др.

второй астероид с подходящими размерами и параметрами орбиты и образовать связку двух астероидов с помощью тросовой системы с целью изменения параметров, возникшей системы двух тел. Измененные параметры движения связки должны гарантировать отсутствие ее столкновения с Землей.

Ниже рассматривается задача об образовании связки двух астероидов и ее дальнейшем движении.

Рассмотрим движение двух астероидов определяемое формулами (2) и допустим, что существует интервал времени ?2], когда расстояние между двумя астероидами не превышает длины нерастянутого троса Ь. Этот интервал времени является "окном" времени, за которое необходимо закрепить свободный конец троса на астероиде, пролетающим мимо первого астероида. Предполагается, что другой конец тороса закреплен на первом астероиде. Таким образом, два астероида оказываются связанными тросом, и в момент времени ?2 трос приходит в натяжение. Примем этот момент времени за новое начало отсчета времени и найдем дальнейшее движение полученной связки двух астероидов и натяжение троса, пренебрегая его массой.

Уравнения движения системы примут вид

mfcRk = -ymRk - [f (r - L)r- +

Rk

+ Х(г, г)г-%И(>' - Ь), к,} = 1,2, } Ф к, (3) гк/ = Кк - г = |гк|.

Здесь Ш]_, т2 — массы астероидов, рассматриваемых как материальные точки. Функция /(г) определяет упругую силу натяжения троса при положительных значениях аргумента. Функция Хевисайда Н(х) = 1, если х > 0, и обращается в ноль при х < 0. Последний член в правой части уравнения (3) соответствует линейной модели внутреннего вязкого трения в материале троса, где х — коэффициент вязкости. В уравнениях (3) опущены силы взаимной гравитации астероидов, поскольку они малы по сравнению с силами притяжения Солнца при г > Ь.

Определим положение центра масс связки двух астероидов (барицентра) вектором

R = M"^R1 + m2R2) ^ R1 = R - m г,

M

R 2 = R + — г, M = m1 + m2 M

и, используя уравнения (3), получим систему уравнений

MR = -

М-1 +Н-2

3 Г>3

R R

R +

■2 У

^m1m2 M

г = R2 - R1, mrr = -Hmr|R3 - RJ

R1 R2 У

J___1_

R1 R2 У \

Г,

(4)

mm

1'»2

- [f (r - L)r 1 + х(Г, r)r 2]rH(r - L), mr =

m1 + m2

Система уравнений (4) имеет первый интеграл — закон сохранения момента количества движения относительно точки O

G0 = R х MIR + г х mrг. (5)

Согласно теореме об изменении полной механической энергии получим

dE = -хr2H(r - L) < 0, E = dt 2

MIR2 + m„ r2

^m1 ^m2 R1 R2

Jf (r - L)rdrH(r - L).

(6)

Система уравнений (4) допускает стационарные движения, которым соответствуют экстремумы полной энергии на многообразии первого интеграла (5), когда согласно соотношению (6)

г Н(г - Ь) = 0. Последнее равенство может выполняться в двух случаях. В первом случае во все время движения г < Ь, т.е. трос не натянут и движение двух масс происходит по кеплеровским орбитам независимым образом. Система распадается на две системы. Реализация этого сценария не позволяет осуществить коррекцию орбиты "опасного" астероида, поскольку оба астероида движутся по близким орбитам. Заметим, что в этом случае астероиды могут оказаться на малом расстоянии друг от друга. Это обстоятельство приведет к необходимости учета гравитационных сил взаимного притяжения астероидов, т.е. к задаче трех тел.

Во втором случае г > Ь и г = 0. Стационарное решение подобного вида возможно, если г • в0 = 0 и орбита центра масс связки двух астероидов круговая. Устойчивым стационарным решением в этом случае является расположение двух астероидов вдоль радиуса вектора их барицентра [2]. Следует заметить, что эволюция орбиты связки двух астероидов и ее вращательного движения вокруг центра масс занимает значительное время по сравнению с периодом вращения барицентра вокруг Солнца. В этой связи представляет определенный интерес рассмотрение задачи, когда два движения — движение центра масс и движение вокруг центра масс рассматриваются независимым образом. Подобный подход часто применя-

ДВИЖЕНИЕ СВЯЗКИ ДВУХ АСТЕРОИДОВ

351

ется в задачах астрономии, когда вращение планеты или спутника вокруг центра масс исследуется независимым образом от движения ее центра масс [2].

Первое уравнение системы (4) в этом случае принимает вид

П

МИ = -^МИ, К(0) = М_1[т1к1(0) + т2И2(0)],

Я3

(7)

И (0) = М"^К 1(0) + т2И 2(0)]

г(0) = И 2(0) - К1(0) --

г 2(0)

к

и описывает движение материальной точки в поле тяготения Солнца. Решение этой задачи описывается формулами (2) с учетом начальных условий представленных в соотношениях (7). Собственно говоря, это решение является невозмущенным решением задачи (4) в части движения барицентра системы. На основе полученных формул может быть решена задача о возможном "столкновении" связки двух астероидов с Землей путем сравнения законов движения Земли (1) и барицентра связки астероидов.

Невозмущенное движение связки двух астероидов вокруг их барицентра представим как вращение по инерции двух материальных точек соединенных невесомым стержнем длины Ь. Уравнение движение в этом случае примет вид

тгГ = -ЫгЛ, |г| = Г, г(0) = И2(0) - К1(0),

г(0) х [г(0) х {К2(0) - К 1(0)}] (8)

Уравнения (8) описывают движение "гантели" вокруг ее центра масс, после абсолютно неупругого удара в момент натяжения троса. Это означает, что трос рассматривается как нерастяжимая нить, что справедливо при значительной величине его продольной жесткости и малости ее дальнейшего удлинения в процессе движения. Кроме того, в уравнении (8) опущены члены представляющие малый момент градиента гравитационных сил. Уравнение (8) позволяет оценить максимальную величину натяжения троса N. Имеем г2 = = Ь2 ^ гг = 0 ^ гг = —г2 и далее

тггг = -тгг2 = ^ N = тг (К2(0) - И 1(0) - в0 х [в0 х {Я2(0) - Й 1(0)}]}2 Г* в0 = г(0)Ь_1.

Величина реакции связи N позволяет оценить максимальную силу натяжения троса после момента его натяжения и решить вопрос о его разрыве в процессе его растяжения при движении двух астероидов. Если сила N превзойдет допустимые значения при испытаниях троса на разрыв, то решение поставленной задачи окажется под вопросом — соединенные тросом астероиды при дальнейшем движении разорвут трос и про-

должат движение как независимые материальные точки.

Рассмотрим более реальную модель растяжимого троса и изучим движение связки двух астероидов вокруг их барицентра. Второе уравнение системы (4) без учета малых гравитационных сил представим в виде

тгг = -[/(г - Ь)г_1 + х(г,г)г~2]гН(г - Г). (10)

Начальные условия движения определяются равенствами г(0) = И2(0) - И1(0), г(0) = И2(0) - И 1(0). Уравнение (10) допускает интеграл момента количества движения g = г х тгг = г(0) х тгг(0), из которого следует, что вектор г(?

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком