КОСМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2009, том 47, № 5, с. 471-476
УДК 531.391
ДВИЖЕНИЕ ТРЕХ ВЯЗКОУИРУГИХ ПЛАНЕТ В ПОЛЕ СИЛ ВЗАИМНОГО ПРИТЯЖЕНИЯ
© 2009 г. В. Г. Вильке1, А. В. Шатина2, Л. С. Шатина1
1 Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова 2Московский государственный институт радиотехники, электроники и автоматики (технический университет) Поступила в редакцию 29.04.2008 г.
В данной работе исследуется поступательно-вращательное движение трех планет, моделируемых вязко-упругими шарами, в гравитационном поле сил взаимного притяжения. Система уравнений движения рассматриваемой механической системы выводится из вариационного принципа Даламбера-Лагранжа. Методом разделения движений получена приближенная система обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающая поступательно-вращательное движение планет с учетом возмущений, вызываемых упругостью и диссипацией. Найдено стационарное движение системы - аналог треугольных точек либрации в классической задаче трех тел.
РАС8: 4S.50.Id.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.
УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ
Рассмотрим задачу о движении трех вязкоупру-гих планет в поле сил взаимного притяжения. Планеты будем моделировать однородными вязкоупру-гими шарами с массами ш, и плотностями р, (г = 1,2,3), которые в естественном недеформированном состоянии занимают области V, = {г е Е : |г| < гю} (г = 1,2,3) в трехмерном евклидовом пространстве.
Введем инерциальную систему координат ОХ¥1 с началом в центре масс системы (поскольку систе-маизолирована, то ее центр масс движется равномерно и прямолинейно). Положение точки Мг г-ой планеты определяется векторным полем
КМ1 = К, + Г , (г , + и, (г,, г)) ( г = 1,2,3), (1)
где Г , - оператор перехода от подвижной системы координат С ') х2) Хз), интегральным образом связанной с ¡-ым шаром, к системе осей Кенига С,) ) ^з), и(г, г) - вектор упругого смещения, К, = ОС,.
Следующие условия однозначно определяют радиусы-векторы ОС; центров масс деформированных шаров и системы координат С^у х2 х3 ,
относительно которых шары смысле не вращаются [1]:
интегральном
К = | Км (г, г)р;dV¡, | ий\1 = 0,
V vi
| Ю и ¡й\ I = 0 (¿=1,2,3),
(2)
где й\, = йх^) йх^) йх3), р, - постоянные плотности шаров.
Потенциальная энергия внешних гравитационных полей определяется функционалом:
* = - II ВТ*
I I |КМ1
! Р1Р2
V, V2
К
тйv1 й\2-
М2\
111 КМ1 — Кмз I 1 3 111К
V. V' м 1 м 3 v2 v31
/ р2р3
(3)
К
-,dv2
М 3
здесь/ - универсальная гравитационная постоянная.
Гравитационное взаимодействие частиц планеты друг с другом описывается функционалом потенциальной энергии [2]:
П2 = Е I1Г(г,,и
J I ;о
(4)
1 = 1 V
В соответствии с линейной моделью теории упругости введем в рассмотрение функционал потенциальной энергии упругих деформаций
3
% = Еи ],
I = 1
и;] = 1а п (Т\Е — а 2II, е) dvi,
VI
аi 1 > 0, 0 <а ,2 < 3,
а 1 =
Е, (1— V,)
2 (1+ v¡)( 1—2 V!.)'
2 ( 1 - 2 У , )
(5)
3
3 г _i ••
-V J-'■) |( г, + ц>-)хГ"' RMiptdvi +
ziE - i ejj , J
j -1
3
zz - y (e(i)e(i) - e(02) e(i) - 1
11 iE - i(ekkell ekl ), ekl - 2)
k < l
-i (0 -i (1 duk + d u l
где Б; - модуль упругости Юнга, V; - коэффициент Пуассона, I Б, II Б - инварианты тензора малых деформаций, и; = (ы^, м2'), Мэ)), ; = 1,2,3. | Г-1 Км; + Т | -——————--/р^.,5и
т/ 1 т/ м; — — м:\
Функционал внутренних диссипативных сил бу-
+ i и / PiP jdVi dv j Л
j *i
(i - 1,2,3),
f 3-1 ^
Г (RMi - RMj) .
Vt | j - 1,Vj RMi- RMj|
PidVi +
j * >
дем полагать заданным в виде: Э = i Э,Гiii], rf/miP, V г ] V г • п 5 Л
^i -1 + J I —j—г,- + VU;^i г Ui ] + Vuj Э,Г U i ] + A1i, SuildVi +
где Э, Г ii, ]= хД Г и' ], х, - коэффициент внутренне- v, ri о (10)
го вязкого трения (модель Кельвина-Фойгта). г,, _ ч ,
+ |( 12; X П;,5и;)й<3; = 0 Уравнения движения рассматриваемой меха- ЗУ.
нической системы получим из вариационного '
принципа Даламбера-Лагранжа:
(i - 1,2,3),
3 где дУ; - граница области У;, п; - единичный век-г •• 5 5 тор внешней нормали к ЭУ; При получении урав-Т I (;,5К— ;+ 5П1 + нений (10) была использована формула Остро; = 1у градского-Гаусса в виде:
3
+ i(VU П2 + Vu.%i + Vu Э,,5u ,) + (6) J( 12i, rot5ui)dvi - J (5u iх 12i,ni)
, -1 i i ui vi dv,
3 , x 3 , x Уравнения (8)-(10) являются точными уравне
+ il 11,, J5uidvi ] + if 12i, J rot 5uidvi ] - 0 ниями движения рассматриваемой механической
V * / * / ГЧ-ТГ^ААТТ-Т С ТТТТТТАТТТТГЛТТ ЛТГЛТТАТТТТ Т^АГЛГЛТТТТ вачьт!-
i - 1 V, i - 1 V,
V5u, е (W (V,))3, i = 1,2,3.
системы в рамках линейной модели теории вязко-упругости. Они имеют первый интеграл - закон сохранения момента количеств движения О0 относительно точки О:
Здесь 11;, 12; - неопределенные множители (С0 = 0, (11)
Лагранжа, порожденные условиями (2), ((У;))3 - где пространство Соболева. 3
Вариация вектора Км согласно (1) имеет вид: Со = т— ; X Б— ; + Ь; ] ,
5 —м ; = 5 — ; + Г ; [5а; X ( Г ; + и ;) + 5и ;]
i -1
(12)
(i - 1,2,3),
(7) L, - (г, + u,)хгг-(г, + u,)]'PidV,,
где вариация 5а; возникла при варьировании ор- Ь; - момент количеств движения г-го шара отно-
тогонального оператора Г;[3]: 5Г;(-) = Г;[5а; X (■)]. сительно своего центра масс. Кроме того, так как
Приравнивая нулю коэффициенты при неза- О - центр масс системы, то Т т1= 0.
висимых вариациях 5—;, 5а;, 5и; (; = 1,2,3), получим ; =1 из (6)-(7) уравнения движения системы трех вяз-
коупруги1 шар°в в виде: 2. ПОСТРОЕНИЕ ВОЗМУЩЕННОЙ
3 СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
[ —м;р;^; + Т \ \ — /р;р ; = 0 Будем считать, что жесткости упругиХ шароВ Ве-
I г,*!^ — ^I3 /оч лики, т.е. малы безразмерные параметры е; =
V j - 1,vivjlKmi- кMjl (8)
лики, т.е. малы безразмерные параметры е; =
} *; = ю2ор;г2() Б—1, ; = 1,2,3, где ю;0 - модуль начальной
(; = 1,2,3), угловой скорости ¿-го шара, р; - его плотность, г;0 -
радиус в естественном недеформированном состоянии. Выбирая соответствующим образом масштабы размерных единиц, можно получить е, = Е-1. Если е, = 0, то вектор упругого смещения и; (? = 1,2,3) полагается равным нулю.
При условии и = 0 (I = 1,2,3) уравнения (8)-(9) описывают движение трех абсолютно твердых шаров в поле сил взаимного притяжения. Невозмущенная система уравнений имеет вид:
3
, + е
1=", 1 * 1
/шщ/К,- - К;-)
|К, - К13
=0
а = 1,2,3),
А;СО; = 0 (1=1,2,3),
(13)
(14)
здесь А, = 0.4ш ¡r¡0 - моменты инерции недеформи-
рованного г-го шара относительно диаметра, со; -
п ( о ( о ( о
угловая скорость системы координат С хУ х2 х3 ,
определяемая равенством CD¿ х (■) = Г—1]0'■ (■).
При е, * 0 согласно методу разделения движений [1] после затухания собственных колебаний вязкоупругих шаров векторы упругого смещения и, г) будем искать в виде рядов по степеням малых параметров е,:
и ,(г,, г) = еi и( (г ¿, г) + е2 и( 2) (г,, г) + ...
При этом множители Лагранжа также необходимо искать в виде разложений по степеням е:
1и( г) = 110)( г) + е; 111)( г) + ..., 12;( г) = 1<°>( г) + е;12!)( г) + ... (1= 1,2,3).
Из уравнений (10) получим уравнения для функций и(1) первого приближения:
^ ; + х(с х г ;) + ю х г ; + £ х
V¡ V 1 = 1,1
\
•Г—1 (К + ] г; — К, — Г, г,)
V,
|К ; + Г;г ;—К1—Г1г 1
/ р ^ 1,5 и ,
рй v¿ +
/
+
I
//Щр,
3
Г,0
г ; + е ;Уи ,, и(1)] +
(15)
+ Уи, I!(1)] + 1<10), 5и; ] й v¡ + + I (120) х П,5и ;)йст; = 0 С = 1,2,3).
В уравнениях (15) вектор-функции К,, ю, и операторы Г , ( ? = 1,2,3) зависят от времени согласно невозмущенной системе уравнений (13)-(14).
Положив в (15) 5и , = 5а х г, и учитывая, что работа упругих и диссипативных сил на бесконечно малых поворотах равна нулю, получим равенство 120 = 0. Далее, полагая в (15) 5и = а, а е Е3, получим 110 = 0 [1].
Будем считать, что размеры планет много меньше расстояний между их центрами масс, т.е. |г,1 <§ |К - Ку|, I,] = 1,2,3, I *]. Тогда с учетом уравнений невозмущенного движения (13)-(14) уравнение, определяющее первое приближение по е, вектор-функции и примет вид:
е У % Ди(1) + ХиГ'] +
4(1)п
+ р; < ю, х [ю¡ х г ;] +
/щ
-г+
(16)
+ Е щ[г—3(Хц,г)1 = 0 а = 1,2,3),
1 =1,1 #>
о„
= 0 (I = 1,2,3).
(17)
Здесь Х1 = Г—1 К/Щ, К,, = К, - К,, Щ = |К|,
е;Уи,%Д и(*>] = —
1
2 (1+ v¿) 1 grad divu(1) + Аи(1)
1—2 v
а условие (17) соответствует равенству нулю напряжений на поверхности шара. Еще раз отметим, что в уравнении (16) векторы К,, ю , и операторы Г, ( I = 1,2,3) зависят от времени согласно невозмущенной системе уравнений (13)-(14).
Будем полагать, что время затухания собственных колебаний ?-го шара превосходит период этих колебаний на наинизшей частоте, но при этом много меньше характерного времени движения шара как целого, и получим решение квазистатической задачи теории упругости (16)-(17) в виде [1, 4]:
(1)
и = и , , +
Еи
1 = 1,1 *"
а = 1,2,3),
(18)
0
3
Т = Т
х
х
3
474 где
If 2 2 /т,\,, 2,2, uii - Pi 1 I 3®i l(d1iri + d2,Г,0)ri +
+ a1
1 2 2 1, л" 6ffl,ri -2(,r,)
r, +
+ (a2,r2 + a3,r20)
3Ш,-Г; - (w,,r,)w,
uij - -
3Pi/m(R,j + 3хj ah
R,j
+ (a2,r2 + a3,r2o)
j ri ( Xij, ri) Xij
1 2 1 42~ 6 r>-2(xj,ri)_
3 X, P,/m
х
R3
х {a1,(Xij,г,)(Xij,г,)r, + (a2,r2 + a3,r2o) х хГ X,j( X ij, г,) + X ,j( XijJi)]}, _ ( 1 + v , ) ( 1 - 2v,■ ) ^ _ (3-v,)(1-2v,)
d 1i - - 1 n j 1 , ■ j , d2i - -
a1 i -
10 (1- v,) 2 (1+ v,)
a3i -
5v, + 7 '
( 1 + v , ) ( 3 + 2v , ) 5 v , + 7
a2i--
10( 1- v,) (1+ v , ) (2 + v , ) 5 v , + 7 ,
r, - г, , ш, - w,
3
m,R, + i
j - 1, j * i
-/Ш,Ш:Щ 3 /m,
R3
4 i Ri4j i
Г, х
х
J{ 5 Ы\ip г,)(xij,ui) - xij( г,, u, )-
Ь; — Т ^^Г;|{[и;х§у](§у,г.-) +
. = 1,. *; У. (20)
+ [ Г; X X;.]( X., и; )}р,й V; = 0 ( 1= 1,2,3) , где вектор Ь; определяется формулой (12).
Учитывая равенства и; = е; и(1) (; = 1,2,3), где и(1)
определены формулами (18), и вычисляя соответствующие тройные интегралы в (19)-(20), получим возмущенную систему уравнений, описывающую поступательно-вращательное движение трех вязкоупругих шаров с учетом возмущений, вызванных упругостью и диссипацией. Уравне-г; + ние (19) примет вид:
m
R, + i
j - 1, j * i
/mi m j R , j
R 3
+ F,p + F,d - 0
(21)
(i - 1,2,3),
где
Согласно методу разделения движений полученные решения и; = £; и(1) (; = 1,2,3) необходимо подставить в уравнения (8)-(9), предвари
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.