научная статья по теме ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ ПРИ ВОЗМУЩАЮЩЕМ УСКОРЕНИИ, ПОСТОЯННОМ В СОПРОВОЖДАЮЩЕЙ СИСТЕМЕ ОТСЧЕТА, СВЯЗАННОЙ С РАДИУС-ВЕКТОРОМ Астрономия

Текст научной статьи на тему «ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ ПРИ ВОЗМУЩАЮЩЕМ УСКОРЕНИИ, ПОСТОЯННОМ В СОПРОВОЖДАЮЩЕЙ СИСТЕМЕ ОТСЧЕТА, СВЯЗАННОЙ С РАДИУС-ВЕКТОРОМ»

УДК 521.1

ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ ПРИ ВОЗМУЩАЮЩЕМ УСКОРЕНИИ, ПОСТОЯННОМ В СОПРОВОЖДАЮЩЕЙ СИСТЕМЕ ОТСЧЕТА, СВЯЗАННОЙ С РАДИУС-ВЕКТОРОМ

© 2015 г. Т. Н. Санникова1, К. В. Холшевников1,2*

'Санкт-Петербургский государственный университет, Санкт-Петербург, Россия 2Институт прикладной астрономии Российской академии наук, Санкт-Петербург, Россия Поступила в редакцию 10.12.2014 г.; принята в печать 13.03.2015 г.

Рассматривается задача о движении точки нулевой массы под действием притяжения к центральному телу и возмущающего ускорения Р. Модуль Р считаем малым по сравнению с основным ускорением, вызванным притяжением центрального тела, а компоненты вектора Р — постоянными в обычной для астрономии системе отсчета с началом в центральном теле и осями, направленными по радиус-вектору, трансверсали и бинормали. Постоянство вектора возмущающего ускорения позволяет легко выполнить осредняющее преобразование уравнений движения типа Эйлера в оскулирующих элементах и получить эволюционные дифференциальные уравнения движения в осредненных элементах, что было выполнено авторами ранее в первом приближении по малому параметру. Настоящая статья посвящена интегрированию осредненных уравнений. Оказалось, что система интегрируется в квадратурах, если хотя бы одна из компонент вектора возмущающего ускорения равна нулю, а также если в начальную эпоху орбита — круговая. Более того, все квадратуры выражаются через элементарные функции и эллиптические интегралы первого рода в форме Якоби. Если все три компоненты Р отличны от нуля, то задача сводится к системе двух дифференциальных уравнений первого порядка, уже, по-видимому, неинтегрируемой. В качестве возможных приложений указывается на задачи о движении естественных и искусственных небесных тел с учетом светового давления; движении космического аппарата с малой тягой; движении астероида под действием реактивного двигателя, установленного на нем или на гравитационном тягаче с целью, например, предотвращения столкновения с Землей.

001: 10.7868/80004629915080083

1. ВВЕДЕНИЕ

Рассмотрим следующую задачу. Пусть точка нулевой массы А (например, астероид) движется под действием притяжения к центральному телу Б (например, Солнце) и возмущающего ускорения Р. Введем обычную в астрономии систему отсчета О с началом Б и с ортами осей 1, ^ к, направленными по радиус-вектору, трансверсали (перпендикуляру к радиус-вектору в плоскости оскулирующей орбиты в сторону движения) и бинормали (направленной по вектору площадей).

Пусть компоненты Б,Т, Ш вектора Р постоянны в системе О и малы по сравнению с основным ускорением к2/г2:

шах{|Р|г2/к2} = ц < 1.

Здесь г = БА, г = |г|, к2 — произведение постоянной тяготения на массу Б. Уравнения движения

типа Эйлера в оскулирующих элементах приводятся во всех учебниках небесной механики. Постоянство вектора Р позволяет легко выполнить осредняющее преобразование и получить уравнения движения в осредненных элементах. В первом порядке малости они выведены в [1, 2]:

* =

а 3er¡

2ша~

е = —

T,

г= — -

П = —

Зе 2шап 3e

cos gW,

(1)

E-mail: kvk@astro.spbu.ru

- sin gW, 2wan sin г

n „ 3ectg г .

wa 2wan 3

M = üj--

wa

За систему независимых элементов мы выбрали

среднее движение и, эксцентриситет е, наклон г, долготу восходящего узла О, аргумент перицентра д, среднюю аномалию М; а = к2/3и-2/3 — большая полуось, г] = л/1 — е2. Производная по времени £ обозначена точкой (для г — жирной точкой).

Во многих случаях первого приближения достаточно. Например, при движении космического аппарата с малой постоянной по модулю тягой или при движении астероида, на котором установлен реактивный двигатель, обеспечивающий малую постоянную по модулю тягу с целью, например, предотвращения столкновения с Землей.

Один частный случай интегрирования системы уравнений движения в осредненных элементах мы уже выполнили в [3]. В настоящей статье мы более подробно рассмотрим решение уравнений (1). Оказалось, что система интегрируется в квадратурах, если хотя бы одна из компонент Б, Т, Ш возмущающего ускорения равна нулю, а также если е = 0 в начальную эпоху.

2. ЭВОЛЮЦИЯ КРУГОВЫХ ОРБИТ

Пусть ео = 0, где индекс 0 указывает на значения переменных в начальную эпоху £ = 0. Очевидно, в этом случае уравнения (1) допускают решение

е = 0, г = г0, О = О0. Оставшиеся уравнения (1) упрощаются:

3,

3T

Со =--Т =

a к2/3

• 2 2 А = и--S = ш---rjT,—--¡¿в.

wa и1/3к2/3

(2)

При е = 0 средняя аномалия и аргумент перицентра теряют смысл. Угловое положение определяется единственной переменной — средней долготой А = Q+g + M.

Если T = 0, то w,a = const,

А = А0 + ( со - —S ) t.

wa

(3)

Решение определено на всей оси времени —то < < то.

Пусть Т = 0. В первом уравнении (2) переменные разделяются, и его решение элементарно. Подстановка решения во второе уравнение (2) позволяет легко найти А:

СО = Wo ( 1 - J-

(4)

а = а0 ( 1 - —

-2

А = Ао +

Wotl

1 - 1 -

tl

+

2S ( t H--In 1--

т V ti

где

tl

к

2/ 3,1/3 ' Wn

к

T

T^Ja^

то решение (4) пере-

Заметим, что при T — 0, t1 -ходит в (3) при w,a = const.

Определим интервал задания непродолжаемого решения, т.е. область определения t £ (t* , t*) решения (4). Не умаляя общности, считаем T > 0, ti > 0, поскольку в первом (не зависящем от второго) уравнении (2) подстановки T — —T, t — t и T — T, t — -1 эквивалентны. Очевидно, t* = -то, t* = ti.

При убывании t, т.е. при движении в прошлое, w возрастает до бесконечности, a убывает до нуля за бесконечное время. Точка A падает на S по спирали.

При возрастании t величина w убывает до нуля, a возрастает до бесконечности за конечное время ti. При нулевом эксцентриситете бесконечность a влечет бесконечность r. Этот бессмысленный результат означает лишь неприменимость метода осреднения при больших t. Действительно, мы предполагали малость функций замены переменных, найденных в [1, 2]. Между тем разности оску-

лирующих и средних элементов содержат делитель

/ t \ 4

2 2 t

w a = w0 a0

При t — t1 этот делитель стремится к нулю. Поэтому формулы (4) применимы лишь при не слишком больших t. Следует ограничиться временем t ^ ^ ti/10. Критическое время асимптотически велико, а именно пропорционально ц 1, как и должно быть по общей теории [4, 5].

Замечание: При T < 0 имеем t* = t1, t* = то.

Перейдем к некруговым орбитам. Осреднение по средней аномалии подразумевает эллиптичность оскулирующей орбиты. Поэтому считаем ниже 0 < ео < 1.

3. ЭВОЛЮЦИЯ НЕКРУГОВЫХ ОРБИТ ПРИ S = 0, T = W = 0

Если T = W = 0, то w,a,e,i, Q = const, и правые части двух последних уравнений (1) постоянны. Отсюда

g = go + V1t, м = Mo + V2t, А = Ао + v3t,

где

V1 =

rjo_

woao

■S, V2 = wo -

3

wo ao

S,

3

4

t

4

v3 = vi + v2 = wq -

35

WqÖq

1 -

Щ 3

Зг? Зг^з

w =--T =--——T,

a к2/3

(5)

3 er? 3 er? .

е =--i =---7-—tttJ, М=ш.

2wa 2X2/3W1/3 '

Как и в разделе 2, считаем Т > 0. Из(5) выводим

dw de

2w

e :

w =

WQ 2

(6)

Подставив (6) во второе уравнение (5), придем к уравнению с разделяющимися переменными:

A =

é = -АеУ3л/ 1-е2, о/3 =ЗТе^3у^

(7)

3Те

> 0.

Замена переменных ж = e2/3, e = x3/2 приводит к простому уравнению

dx

л/Т~

2A ,

= ~Tdt

(8)

Интеграл от левой части (8) в пределах от 1 до х равен -3-1/4^(в, к) [7, пункт 3.139]. Здесь F -неполный эллиптический интеграл первого рода,

к = cos 15° = + ^ = 0.965926,

ß = arccos

л/3 — 1 +

x

л/3 + 1 - ж"

Мы получили кинематическое (по терминологии аналитической механики) уравнение

Теперь t* = —œ, t* = œ. Углы M и Л равномерно возрастают со временем, а угол g равномерно возрастает или убывает в зависимости от знака S.

Замечание: При Т = W = 0 рассматриваемая динамическая система консервативна [1]. Уравнениям (1) можно придать форму уравнений Гамильтона (описывающих изменения канонических элементов) или Лагранжа (описывающих изменения кеплеровых оскулирующих элементов) [6] с гамильтонианом

H = -—-a(l + -)s.

2 а \ 2 J

Зависимость H только от a, e влечет постоянство w, a, e, i, Q и равномерную циркуляцию углов g, M.

4. ЭВОЛЮЦИЯ НЕКРУГОВЫХ ОРБИТ ПРИ T = 0, S = W = 0

Если S = W = 0, то i, Q,g = const, и правые части нетривиальных уравнений (1) принимают вид

2A

F(ß,k)=F(ßo,k) + ^t,

(9)

представляющее время явной функцией от эксцентриситета. Исследуем ее. Вычислим производные

> 0,

(1F_ _ 1

d/3 ~ л/1 - к2 sin2 ¡3

dfi _ 2л/3

dx ~ (д/з + 1 — х)2 sin /3 В начальную эпоху 0 < e0, x0 < 1, так что л/з — 1

-= 2 - л/3 = 0.267949 < cos (30 < 1,

Уз + i

0 <ро <01 = arccos(2 - у/г) = 74.4577°, F {fix ,k) = 1.845375.

Таким образом, с ростом e, x от нуля до единицы угол в убывает от до нуля, и в этом промежутке левая часть (9) возрастает с ростом в и убывает с ростом e, x. Поэтому уравнение (9) однозначно определяет e,x в функции времени.

С убыванием времени в прошлое правая часть (9) убывает, принимая нулевое значение при t = ¿2, где

33/4

t2 = —^jF(l3o,k)<0.

Отсюда получаем, что с убыванием времени от нуля до t = t2 угол в убывает от во до нуля, а эксцентриситет возрастает от e0 до единицы. Среднее движение возрастает от ш0 до ш0/e2, а большая полуось

уменьшается от a0 до a0e0/3. Траектория при t = = t2 становится прямолинейно-эллиптической и ее продолжение за t = t2 не имеет смысла, так как в момент выпрямления направление осей системы O меняется скачком. Таким образом, t* = t2.

С возрастанием времени правая часть (9) возрастает и принимает значение в1 при t = t3, где

t3 =

3З/4

2 А

[F(ßi,k) — F(ßQ,k)] > 0.

Отсюда получаем, что с возрастанием времени от нуля до ¿3 угол в растет от во до въ а эксцентриситет убывает от е0 до нуля. Среднее движение убывает от ш0 до нуля, а большая полуось возрастает до бесконечности, что при нулевом эксцентриситете влечет г -ж. Таким образом, = ¿3. Как и в разделе 2, уход траектории на бесконечность за конечное время говорит лишь о неприменимости метода осреднения при асимптотически больших ¿. Следует ограничиться промежутком 0 ^ £ ^ ¿3/10.

2

e

о

3

ш, 10-7 рад/с

1.0 -

0.8 -

>Л6 -

0.4 Ч

0.2 1 1

12 -

10 \ Q -

8 6 -

4 -

2 1 1

-4 -2 2 t, 1013 с -4 -2 2 t, 1013 с

a, 1012 м -4 -2 t, 1013 с 2

4 - 1 1

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Астрономия»