научная статья по теме ДВИЖУЩИЕСЯ И ОСЦИЛЛИРУЮЩИЕ ПОПЕРЕЧНО-ОДНОМЕРНЫЕ ЛАЗЕРНЫЕ СОЛИТОНЫ Физика

Текст научной статьи на тему «ДВИЖУЩИЕСЯ И ОСЦИЛЛИРУЮЩИЕ ПОПЕРЕЧНО-ОДНОМЕРНЫЕ ЛАЗЕРНЫЕ СОЛИТОНЫ»

ОПТИКА И СПЕКТРОСКОПИЯ, 2007, том 102, № 3, с. 504-508

НЕЛИНЕЙНАЯ И КВАНТОВАЯ ОПТИКА

УДК 535.2

ДВИЖУЩИЕСЯ И ОСЦИЛЛИРУЮЩИЕ ПОПЕРЕЧНО-ОДНОМЕРНЫЕ

ЛАЗЕРНЫЕ СОЛИТОНЫ

© 2007 г. Н. Н. Розанов*' **, С. В. Федоров**, А. Н. Шацев*

*Государственный оптический институт им. С И. Вавилова, Научно-исследовательский институт лазерной физики 199034 Санкт-Петербург, Россия **Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики,

197101 Санкт-Петербург, Россия E-mail: rosanov@NR3748.spb.edu Поступила в редакцию 24.07.2006 г.

Численным моделированием найдены поперечно-одномерные движущиеся и осциллирующие соли-тоны в широкоапертурном лазере с насыщающимся поглощением с быстрой (безынерционной) нелинейностью. Приведены области существования таких солитонов и их комплексов.

PACS: 42.65.Tg

ВВЕДЕНИЕ

Характер движения лазерных солитонов (ав-тосолитонов) принадлежит к числу их важнейших свойств по следующим причинам. Во-первых, для диссипативных структур он может быть весьма необычным, вплоть до криволинейного движения даже в однородных схемах или системах [1-4]. Поэтому анализ "механики" автосолитонов представляет заметный научный интерес. Во-вторых, для приложений к обработке информации, имея в виду ее запись посредством массива автосолитонов, важна возможность поперечного сдвига массива (регистр сдвига, оптический сумматор и т.д.). Такая возможность может быть реализована за счет поперечного движения солитонов [5-8]).

В невырожденной ситуации скорость поперечного движения лазерных солитонов не произвольна по абсолютной величине (но произвольна по направлению). Это связано с тем, что в реальных схемах потери в резонаторе минимальны для волн, распространяющихся вдоль оси схемы, и возрастают при отклонении направления распространения от оси. Поэтому обычно поперечное движение исходно симметричных или слабо асимметричных солитонов структур замедляется вплоть до их остановки. Однако интересной особенностью диссипативных структур является возможность поперечного движения асимметричных структур, известная как для схем с внешним поддерживающим излучением [6-10], так и для лазерных схем без внешнего сигнала [1-4, 11]. В различных схемах режимы неподвижных и движущихся солитонных структур сменяют друг друга при изменении параметров посредством различного типа бифуркаций. Задачей настоящего

сообщения служит более детальный численный анализ режимов поперечно-одномерных солитонных структур в лазерной схеме с насыщающимся поглощением, включая смену этих режимов при изменении параметров и сосуществования различных режимов.

МОДЕЛЬ И ИСХОДНЫЕ СООТНОШЕНИЯ

Мы рассматриваем широкоапертурный лазер класса А (времена релаксации среды много меньше времени установления поля в резонаторе) с фиксированной поляризацией в приближении среднего поля (усреднение огибающей электрического поля Е по продольному направлению, оправданное при относительно малых изменениях огибающей поля за один проход через резонатор). Управляющее уравнение имеет следующий безразмерный вид [8]:

Щ = ( i + d) —-E + f(\E\2 )E. dx

(1)

Здесь d - коэффициент эффективной диффузии (0 < d < 1), a вещественная в пренебрежении частотными расстройками функция f (I) интенсивности излучения I = |E |2 включает линейные (нерезонансные) потери, а также усиление и поглощение, характеризующиеся безынерционным насыщением:

f(|E\2) = -1+ g0/( 1 + \E\2) - a0/( 1+ b\E\2). (2)

В (2) член -1 представляет нормированные нерезонансные потери, g0 и a0 - линейные коэффициенты усиления и поглощения, b - отношение ин-тенсивностей насыщения для усиления и погло-

щения. В расчетах использовались следующие значения параметров: d = 0.06, а0 = 2, b = 10. Основным изменяемым (контрольным) параметром служит линейный коэффициент усиления g0.

РЕЖИМЫ ГЕНЕРАЦИИ

Ввиду отсутствия внешнего сигнала имеется нулевое решение уравнений (1) и (2) E = 0, отвечающее безгенерационному режиму. Оно устойчиво при условии

f(0) = -1+ g0- a0 < 0. (3)

Это условие заведомо выполняется во всем диапазоне принятых при расчетах значениях параметров, что необходимо для устойчивости периферийной части ("хвостов") солитонных структур.

Другим простым решением служит стационарная поперечно-однородная генерация, интенсивность которой I определяется условием энергетического баланса

f (I) = -1 + go/(1 +1) - ао/(1 + bI) = 0. (4)

Уравнение (2) сводится к квадратному и имеет два решения с положительными значениями интенсивности в интервале:

gmin < g0 < gmax, gmax = 1 + a0. (5)

При указанных выше значениях параметров gmin = 1.948, gmax = 3. При этом решения с меньшей интенсивностью описываются неустойчивой промежуточной ветвью бистабильной зависимости I(g0). В условиях представленных ниже расчетов верхняя ветвь (интенсивность I1) отвечает устойчивому режиму генерации (модуляционная неустойчивость отсутствует). Фаза поля произвольна ввиду инвариантности исходного уравнения (1) к сдвигу фазы.

Существенно, что при g0 < gmin безгенерационный режим глобально устойчив, т.е. с возрастанием времени любые начальные распределения поля эволюционируют к безгенерационному режиму [7]. Это вызвано тем, что при таком условии и произвольных интенсивностях I баланс нелинейного усиления и поглощения отрицателен, f (I) < 0. Поэтому необходимым условием установления поперечно-неоднородных распределений поля является условие g0 > gmin. Простейшим поперечно-неоднородным режимом служат волны переключения (фронты), существующие и устойчивые в диапазоне бистабильности (5) [7, 8, 12]. Для них профиль поля имеет вид

E = E(х - vt) (6)

с асимптотикой, отвечающей пространственному переходу между безгенерационным (E = 0) режимом и режимом поперечно-однородной генера-

ции. Для определенности запишем асимптотику в виде

lim E = 0, lim E = JTl. (7)

x ^ x ^ + ^

Скорость движения фронта зависит от параметров схемы и обращается в нуль при "максвеллов-ском" значении линейного коэффициента усиления g0M, причем для принятых параметров g0M = = 2.117. Ввиду симметрии уравнения по отношению к инверсии знака координаты x —► -x при перестановке значений пределов в (7) профиль волны переключения инвертируется, но максвел-ловское значение коэффициента усиления сохраняется. Отметим, что в режиме волны переключения при g0 < g0M фронт волны переключения движется так, что со временем расширяется область апертуры, отвечающая безгенерационному режиму.

При условии g0 > gmin возможными становятся не только волны переключения, но и различные локализованные (солитоноподобные) структуры, которые можно интерпретировать как связанные состояния волн переключения [13]. Подчеркнем, что такая интерпретация солитонов является только качественной, поскольку в действительности для локализованных структур пространственная область с отличной от фоновой (нулевой в данном случае) интенсивностью конечна и потому, строго говоря, не может быть сопоставлена полубесконечным по протяженности волнам переключения; в частности, солитоны существуют и в условиях модуляционной неустойчивости пространственно-однородных состояний, когда волны переключения неустойчивы [14]. Тем не менее в ряде случаев такая интерпретация локализованных структур при определенных оговорках оказывается полезной и продуктивной [7, 8, 11].

Ниже мы укажем диапазоны устойчивости различных локализованных структур на шкале линейного коэффициента усиления g0 схематически (без некоторых деталей, отвечающих особенно узким интервалам g0). При g0 < 2.032 единственным устойчивым режимом является безгенерационный. Проследим за сменой режимов при увеличении коэффициента усиления g0. Наименьшим порогом по коэффициенту усиления среди локализованных режимов обладает "фундаментальный" симметричный (и соответственно неподвижный) солитон, который характеризуется ко-локолообразным профилем интенсивности и, при принятых параметрах, профилем фазы с центральным максимумом и двумя боковыми минимумами (рис. 1). Такой солитон, впервые найденный в [12], устойчив в диапазоне 2.032 < g0 < 2.105. При уменьшении коэффициента усиления поле убывает вплоть до нулевого значения, а при уве-

/, Ф

8 г

-4

-50

I

50

х

Рис. 1. Профили интенсивности (1) и фазы (2) фундаментального неподвижного солитона.

-40

-20

0

20

Рис. 2. Профили интенсивности движущегося пульсирующего ("шагающего") солитона в моменты времени ^ = 0 (1), 35 (2) и 70 (3). На этом и всех остальных рисунках солитоны движутся направо.

8

4

2

4

0

0

х

0

личении £0 вследствие бифуркации Андронова-Хопфа солитон превращается в также симметричный (и потому неподвижный) осциллирующий солитон [7], существующий в диапазоне 2.105 < g0 < 2.1055. Вообще говоря, в определенных диапазонах параметров существуют и более сложные режимы осцилляций, включая режим "ведущего центра" (полученный в [15] для С = 0), по-видимому, родственный режиму "взрывающихся солитонов" [16], а также хаотические режимы, но мы не будем здесь их рассматривать, сосредоточивая основное внимание на характере поперечного движения солитонных структур.

При дальнейшем увеличении g0 в диапазоне 2.1055 < g0 < 2.111 устанавливается своеобразный асимметричный движущийся с периодическим изменением профиля солитон (рис. 2). В этом диапазоне средняя скорость такого "шагающего солитона" V возрастает от 0 до 0.23. Переход к этому режиму естественно связать с суперкритической (без скачкообразного изменения) бифуркацией, возможной при ненулевом коэффициенте диффузии С > 0.

При еще больших значениях коэффициента усиления в диапазоне 2.111 < g0 < 2.1139 в результате, по-видимому, субкритической (со скачком) бифуркации формируется солитон, движущийся с неизменной формой и постоянной скоростью. На рис. 3 изображены интенсивность и модифицированная фаза этого солитона. Модификация состоит в том, что из фазы вычтен вызванный движением "клин" с наклоном v/2 (что отвечает переходу к движущейся вместе с солитоном системе координат). Профиль модифицированной фазы, как и профиль фазы неподвижного солитона

(рис. 1), имеет "центральный" максимум, два расположенных по разные стороны от него минимума и приблизительно лин

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком