ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2015, том 464, № 4, с. 411-413
ТЕОРИЯ УПРАВЛЕНИЯ
УДК 519.62
ДВИЖУЩИЙСЯ ОБЪЕКТ И НАБЛЮДАТЕЛИ
© 2015 г. Академик РАН В. И. Бердышев
Поступило 24.03.2015 г.
Рассматривается задача сопровождения движущегося объекта в пространстве К3 с фиксированным многогранным множеством наблюдателями, которые расположены в окрестности теневых множеств при вершинах многогранника. Характеризуется траектория из заданного класса Т, максимизирующая минимум расстояния объекта до теневых множеств. Задача максимизации интеграла от этого расстояния вдоль кусочно-линейных траекторий из Т с упорядоченным набором звеньев сводится к поиску оптимального пути на реберном направленном графе.
Б01: 10.7868/80869565215280038
ВВЕДЕНИЕ
Пусть X = N > 1), О — фиксированный ограниченный замкнутый (может быть, несвязный) многогранник из X, дополнение до которого линейно связно. В Хдвижутся объект I и наблюдатели /, I £ О, / £ О. Внутренность О множества О препятствует видимости и движению. Точки I и/
видны одна для другой, если [I, /] п О = ф.
Объект движется из начальной точки ^ в конечную точку I*, (^ Ф I*; I* £ О) внутри заданной окрестности ("коридора") У, У п О = ф, некоторой заранее рассчитанной "базовой" траектории Я0, Я0 п О = ф.
В сообщении используются обозначения:
v(t) = {х е X: [I, х] п О = ф}— множество точек, видимых из точки I;
s(t) = X\(v(t) и О) — множество затененных (множеством О) точек пространства, «(I) — его замыкание;
Т — совокупность непрерывных траекторий: Я = {1(т): 0 <т< 1}, 1(0) = /*,
1( 1) = Г*, Я с У; ¥р(у) = {х: \\х-у|| <р}; (1)
р(у, М) = т^ ||у - т||: т е М}; ®М(у) = {т е М: ||у - т\\ = р(у, М)}, Мс X;
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского
Уральского отделения Российской Академии наук,
Екатеринбург
E-mail: bvi@imm.uran.ru
ЪйМ — граница множества М с X.
В данной работе (в отличие от [1]) предполагается, что свобода передвижения наблюдателей ограничена. Объект способен поразить наблюдателя посредством миниобъекта, который может двигаться прямолинейно и равномерно с большой скоростью. Поэтому наблюдатель вынужден находиться в безопасной зоне — вблизи затененного множества s(t).
ОСНОВНАЯ ЗАДАЧА
Задача объекта состоит в поиске траектории
Я е Т (см. (1)), наиболее удаленной от затененных областей, т.е. такой, что
штр(I, ^(I)) = тах ттр(I, ^(I)). (2)
, е Я Я е Т I е Я
Простые примеры показывают, что функция р(!, s(t)) может быть разрывной.
Определение 1. Точка а е О называется вершиной, если существуют б > 0, гиперплоскость Ьа такие, что
Ьа п Уе (а) п О = а
и множество ¥е(а) п О расположено по одну сторону относительно Ьа.
Вершина является предпочтительным местоположением наблюдателя, поскольку она обеспечивает лучший обзор близлежащей местности и у наблюдателя больше возможностей укрыться в затененной области.
Обозначим через А множество всех вершин множества О. Для ае А будем обозначать
T( a) = {t е v( a): a e s (t)}, T( a) = {t e v(a): a e ^ r(0 (t)}
412
БЕРДЫШЕВ
множество точек из Т (а), для которых а — ближайшая точка из 5 (?). Кроме того, обозначимЛУ=
= {а е Л: Т(а) п Уф ф}.
Теорема 1. Если а, а' е Л, а ф а', то
Т(а )п Т(а') = ф, (4)
а в случае пространства X = К2 выполняется равенство
U T(a) = X\G.
(5)
a e A
Замечание. Для пространства X = К^ N > 2) второе утверждение теоремы может нарушаться. Так, из точек внутренней полости множества
О = |(л у, г): 2 < тах{ X, Ы }< 1, г < 1 |с К3
не видно ни одной вершины.
Установим выражение для Т(а), а е Л. Пусть а' е Л, а ф а' и ф = фа, а — линейный функционал такой, что ||ф||, ф((а — а')||а — а'||-1) = 1, тогда
a + a
Т(а) = Т(а)\ и | % еТ(а'): ф(0>Фу ?
а' е (А\а) I 2 ] (6)
Для вершины а е Л определим конус
Ка = а + п | и Ц(О - а) п ГЕ(0)]| (7)
Е>0 I Х> 1 )
и —Ка — симметричный относительно точки а конус.
Предложение. Справедливо соотношение
Х\[Ка и(-Ка)и Щ(а)]с Т(а).
Если конус Ка является несвязным, то
Т(а) = Х\[Ка и Щ(а)], т.е. -Ка с Т(а).
Если конус Ка выпуклый, то а £ 5 (?) V? е (—Ка), т.е.
(-Ка)п Т(а) = ф. Из представления (6) следует, что
Т( а), Т( а), Т = Х\ ( и Т{ а )и о)
а е А
суть многогранные множества. Установим характеристические свойства экстремальных траекторий в задаче (2) в случае X = К3.
Определение 2. Пусть плоскость (прямая, в случае К2) Нсодержит точку у е 2Г0 (у ф ^, у ф ?*) и Ну — максимальная связная часть множества Н п У, содержащая точку у. Плоскость Н назовем разделяющей (точки ^, ?*), если любая траектория из Т пересекается с Ну.
Пусть Н — разделяющая плоскость, аН е ЛУ п Н,
уН е Т(а) п Нп (bdY), [аУ, уН] п У ф ф, и точка уН
является решением следующей задачи на локальный минимакс. Определим локальную систему координат (x, y, z) с началом в точке yHтакую, что ось абсцисс ортогональна плоскости H, ось ординат содержится в H, ось аппликат направлена от yH к aH. Поверхность bdY в окрестности точки yH представима непрерывной функцией f(x, y). Точка yH — решение задачи:
Зб> 0: || a^ - yH| = minmax|| aH - (x, y, f(x, y))||. (8)
|x| < E |y| < E
В случае X = [R2 условие (8) означает, что yH является точкой локального минимума уклонения ||aH — x||, x e bdY.
Обозначим через H2 множество всех разделяющих плоскостей H, в каждой из которых существуют точки aH e AY, yH e bdY такие, что yH e e T(t) n bdY и yH является точкой локального ми-нимакса в (8). Обозначим rH = ||aH — yH||.
Обозначим через Hn (n = 3, 4) множество всех разделяющих плоскостей H, в каждой из которых
существует набор вершин a' = aH e AY(i = 1, ..., n; n = 3, 4), лежащих на окружности (при n = 4 набор состоит из двух пар диаметрально противоположных точек), центр которой yH принадлежит множеству
Y n (conv {a }") n (n" T(a )),
где conv — внутренность выпуклой оболочки множества. Пусть rH — радиус этой окружности. Обозначим
M = min {rH: H e u42H"}. (9)
Те орема 2. Если траектория 2Г e Т является оптимальной в задаче (2), то
р(t, s(t))> M Vi e 2Г, (10)
и yH e 2Г для всех плоскостей H e И2 u H3 u H4, доставляющих минимум в (9).
Итак, оптимальная в задаче (2) траектория обязана пересечь в точках yH плоскости Hиз u42 Hn, доставляющие минимум (9). Но она имеет свободу вне этих плоскостей. Естественно желание объекта, насколько возможно, отдалить траекторию от вершин a e Ay вне указанных плоскостей.
В связи с этим рассмотрим задачу
max
у
|р(t, s(t))dt
(11)
при естественных ограничениях на класс траекторий Т* с Т. Без них величина (11) бесконечна.
Изложим схему решения задачи (10). Из теоремы 1 следует, что "коридор" У заполнен связными компонентами В(а) множеств вида Т(а) п У. Множество Т0 не влияет на величину интеграла в
ДВИЖУЩИЙСЯ ОБЪЕКТ И НАБЛЮДАТЕЛИ
413
(11). Ради простоты будем считать, что Т0 = ф, У— многогранник, а точки I,!., I* — его вершины. Каждое множество В = В(а), а е АУ, является многогранником и содержится (см. (3), (6)) в усеченном конусе с вершиной а и основанием ¿гВ. Множество ¿гВ есть совокупность наиболее удаленных от а точек на лучах этого конуса. Потребуем, чтобы [Я п В(а)] с ¿гВ(а). Если х е ¿гВ(а) п ¿гВ(а') (а, а' е АУ), то х принадлежит плоскости (см. (6)), ортогональной отрезку [а, а'] и содержащей точку
а + а . Заметим, что условие [Я п В(а)] с ¿гВ(а)
У а е АУ влечет включения ун е Я для всех плоскостей Н, доставляющих минимум (9).
Основание ¿гВ(а) — связная кусочно-линейная поверхность. Множество ^ В (а) связно. Множе-
а е Ау
ство ^ ¿гВ (а) может быть несвязным. Однако его
а е Ау
можно дополнить отрезками А так, что оно будет связным. В самом деле, пусть а, а' е АУ, В(а) п
п В(а') Ф ф, но ¿гВ(а) п ¿гВ(а') = ф. Любая точка х из пересечения В(а) п В(а') лежит на конической границе каждого из подмножеств В(а), В(а'). Точки а, а' и х лежат на одной прямой I. Тогда А — минимальный отрезок, содержащий множество I п (¿гВ(а) и ЕгВ(а')).
Пусть Ж = {А} — совокупность всех ребер поверхности ^¿гВ(а), пополненная указанными
а
выше отрезками А. Первое ограничение на класс Т* траекторий Я задачи (11), как отмечалось, состоит в том, что [Я п В(а)] с ¿гВ(а) для любой а е АУ. Второе — траектория Я формируется как связная цепочка ребер из '
Я = {А, е Ж}т= 1, I* е Аь I* е Ат,
А, фа; (,Ф ]),
выбираемых в соответствии с условием
й(I*,А, +1 )< й(I*, А,),
где х) — минимум длин кривых, соединяющих точки I, х и содержащихся в У.
Вес ^ |р (I, s(t))dt выбранной кусочно-линейной траектории Я равен сумме площадей треугольников с основанием А = А,- и соответствующей вершиной а.
Таким образом, задача (11) при указанных ограничениях сводится к поиску максимального по весу пути на реберном направленном графе Ж.
Работа выполнена за счет гранта Российского научного фонда (проект 14—11—00702).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бердышев В.И. // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2011. Т. 17. № 2. С. 7-19.
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.