ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2011, том 438, № 5, с. 606-608
МАТЕМАТИКА
УДК 519.676
ДВОЙСТВЕННОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СРЕДНЕГО КВАДРАТА ВЕКТОРНОЙ ОЦЕНКИ МЕТОДА МОНТЕ-КАРЛО
© 2011 г. Член-корреспондент РАН Г. А. Михайлов, С. А. Ухинов
Поступило в редакцию 01.02.2011 г.
1. Рассмотрим систему интегральных уравнений второго рода:
m
фг(х) = kij(x, y)ф/y)dy + ht(x), (1)
j = 1X
или в векторном виде Ф = KФ + H, где HT = (hb Й2, ..., hm), ФТ = (ф1, ф2, ..., фт),
K е [Lœ ^ Lœ], II^L = vrai sup|h(x)|,
t, x
а интегрирование производится по мере Лебега в к-мерном евклидовом пространстве X, символ Т обозначает транспонирование.
Предполагается, что спектральный радиус
р( K ) = lim|| Г||1/n = inf|| Kn Отметим, что здесь
il/«
< 1.
||K|| = vrai supkij(x, y)| dy.
j = i
Рассмотрим цепь Маркова {х„}, п = 0, 1, ..., N с плотностью переходар(х, у), причем величина
Р (x ) = 1 - Jp (x, y ) dy > 0
рассматривается как вероятность обрыва (остановки) в точке х, N — случайный номер последнего состояния, х0 = х. Известно [1], что такая цепь обрывается с вероятностью 1 и, более того, Е(Ы) < < +да, если р(Вр) < 1, где Вр — интегральный оператор с ядромр(х, у) (в частности, еслир(х) > б > 0).
Стандартная векторная оценка метода Монте-Карло "по столкновениям" для величины Ф(х) строится на основе соотношений
N
Ф(х) = Е Ьх = Н(х) + £ 0„И(х„),
Институт вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения Российской Академии наук, Новосибирск
Новосибирский государственный университет
Qo = I, Qn +1 = Q
K(xm Xn + 1)
n = 0, 1,
Р(хя> хп + 1 )
где I — единичная матрица, а К(х, у) — матрица ядер {ку(х, у)}, I, ] = 1, ..., т. Заметим, что соотношение Ф(х) = Е^х справедливо при выполнении стандартного "условия несмещенности"
да
Р(х, у) > 0, если ^ \ку(х, у)| > 0,
и' = 1
и дополнительного условия р(^) < 1, где ^ — оператор, получаемый из оператора K заменой ядер на их модули [2].
В [2] приведено следующее уравнение для матрицы вторых моментов ¥(х) = Е(Ьх ):
¥(х) = [НФТ + ФНт- ННТ](х) +
+ ГК(* У ) * (У) КТ(x, У) ¿у, (2)
^ Р (х, V)
или
¥ = Нфт + ФНт- HHT + K„¥.
Это уравнение рассматривается в пространстве Lœ матричнозначных функций (иначе матриц-функций) с нормой
||¥|| = vrai sup 14t> j(x)|.
i,j, x
Оператор, получаемый из Kp заменой ядер на их модули, обозначим Kp1. Предполагается, что Kp1 е е [Lœ ^ Lœ] и, следовательно, Kp обладает тем же свойством.
В [2] доказано следующее
Ут верждение. Пусть ядра системы (1) интегрируемы в X x Y. Тогда
Ч 2
Il K
Lpll L„
I S lkj(x, y)l
Г/ = 1
vrai sup
i, x 1 Р (x, y )
-dy.
(3)
2. Перейдем теперь к построению двойственного представления среднего квадрата векторной оценки линейного функционала.
n
ДВОЙСТВЕННОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СРЕДНЕГО КВАДРАТА 607
Методом Монте-Карло обычно оценивают ли- Для ¥* е Ц введем линейный функционал нейные функционалы вида
1 =
(/;ф) = т(х )Ф(х) йх,
(¥*;¥) = |1г[¥ * (х )¥т(х)] йх =
X
где ¥т{х) = (/1(х),/2(х), ...,/т(х)), причем = | X ¥*(х)¥^(х)йх' ¥ е
ХЬ! = 1
||р| = X Г|/-(х)| йх <да. Определим также линейный оператор К*
формулой
! = 1 X
[ К* ¥ * ](х) = К (у; х ) ¥ * (у ) К(у; х) йу.
J В ( У; х)
Пусть точка х0 распределена с плотностью вероятностей п0(х), такой что п0(х) Ф 0, если р J р(у, х) ¥т(х)Ф(х) Ф 0. Тогда Х
Поскольку 1х(АВ) = 1х(ВА), то
/ = ВС = Е{^^ 1 = Е{ X ^апЩхп)! = *(¥*™ТкТ) = *(К-¥*™т).
[п0( х0) 0 ] [ п0( х0) ] Поэтому
, ^ П = , (¥*, Кр¥) = (Кр*¥*;¥). (4)
= Е| X Нт(х ){бтР(х0) 1 Кроме того, выполняется неравенство
1 „То п п п0 (х0 )Г |(¥ *;¥)|<||¥*|| Ь1|| ¥|| ь„.
Следовательно (см., например, [4, гл. IX]), к
числяются по формуле Отметим также, что оператор Кр* оставляет ин-
(Т) [ Кт(хп - 1; хп)] (Т) вариантным конус Ь+ с Ц симметричных неотри-
бп = р(х п- 1 , х„ ) бп -1. цательно определенных матриц-функций, так как
преобразование Кт¥*К сохраняет свойство неот-Так°й векторный aлгоритм, соответствующий рицательной определенности матриц ¥*.
представлению / = (ф*, Н), сформулирован в [3] из полученных соотношений вытекает следу-для решения задач теории переноса поляризован-
ющая
ного излучения. Заметим, что в [3] уравнение
ф* = К*ф* + ¥рассматривается как основное и Теорема. Пусть р(К,) < 1, ^ е Ьъ Не веса Оп^ преобразуются нетранспонированным п0
Случайные векторные веса 0(пт) = бГ^^) вы- ||К*||ч = ||Кр||^, р(К*) = р(Кр).
'п
матричным ядром
Отсюда получаем Е£2 = (¥ *; Н[2Ф - Н]т), (5)
,2 ^ | РТ(х00)Йр(х0)
Тогда
где
,т
В г2 = Е_у у / ^ о у у /1 = рр.
Е ^ Е1 п 2 (х0) I ¥* = Кр*¥ * + —, (6)
п,
= Е1 рт (х0)¥(х0)Р(х0)1 _ рт(х)¥(х)Р(хпРичем ¥* е ц .
= р (х ) ¥ (х ) х) йх 1 П0( х )
П0 (х0) ] X Яо(х) тт Н
Х Доказательство. Нетрудно показать, что
Таким образом, дисперсия Б^ определяется мат- т т
рицей ¥(х). В частности, Б^ < +о>, если Е= Гр (х) ¥ (х)р(х)йх = ( ¥] (7)
^ 1 п0(х) ^ п0 ' ^
(К ) < 1 и ' (х ) е Ь х
Р( р>1) п0 (х) 1. и для симметричной матриц-функции ¥*(х) вы-
0 полняются равенства
С целью построения требуемого двойственно- т т
го представления рассмотрим пространство Ь1 (¥*; НФт) = IН (х)¥*(х)Ф(х)йх =
матриц-функций ¥*(х) с нормой х
т
||¥* = |¥,*у(х)|йх. = |фт(х)¥*(х)Н(х)йх = (¥*; ФНт). (8)
= 1 X
т
т
608 МИХАЙЛС
Далее с использованием (8) получается (5) как двойственное представление функционала (7), которое непосредственно вытекает из (2), (6), (4). Теорема доказана.
Интересно отметить, что выражение (5) по форме совпадает с известным выражением величины Е^2 для случая т = 1 (см., например, [1]).
В заключение заметим, что полученное двойственное представление можно использовать для оптимизации оценки решения системы в целом, а также для оценки величины р(К^) на основе теории малых возмущений.
УХИНОВ
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 09-01—00035-а).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Михайлов Г.А, Войтишек А.В. Численное статистическое моделирование. Методы Монте-Карло. М.: Академия, 2006.
2. Михайлов Г.А. Оптимизация весовых методов Монте-Карло. М.: Наука, 1987.
3. Марчук Г.И., Михайлов Г.А., Назаралиев М.А. и др. Метод Монте-Карло в атмосферной оптике. Новосибирск: Наука, 1976.
4. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984.
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.