Автоматика и телемеханика, Л- 9, 2006
PACS 02.30.Yy
© 2006 г. A.A. ЩЕГЛОВА, канд. физ.-мат. наук (Институт динамики систем и теории управления СО РАН, Иркутск)
ДВОЙСТВЕННОСТЬ ПОНЯТИЙ УПРАВЛЯЕМОСТИ И НАБЛЮДАЕМОСТИ ДЛЯ ВЫРОЖДЕННЫХ ЛИНЕЙНЫХ ГИБРИДНЫХ СИСТЕМ1
Рассматривается лилейная система уравнений с непрерывным и дискретным временем с постоянными матрицами коэффициентов, не разрешенная относительно производной непрерывной составляющей искомой вектор-фупкции. Введено понятие сопряженной системы и доказан аналог теоремы дуальности Кал-мапа, связывающий понятия полной управляемости и наблюдаемости.
1. Введение
Рассматривается система уравнений с непрерывно-дискретным временем
(1.1) Ах'(*) = Бх(*) + акук + икпк(г), * е гк = [гк, гк+1), к = о~т;
к-1
(1.2) Ук = Як-1*(*к-1 ) + °к-1,г Уг + Ук-1^к-1, к = 1,Ш +1.
¿=0
Здесь *о < tl < ... < 1т+1] (п х п)-матрицы А, Б и матрицы Ск ,Вк ,Ск}г, ик ,Ук размеров соответственно п х ц ц х п, ц х ц, п х I, ц х А известны и не зависят от Ц х(Ц) п-мериая функция непрерывной составляющей, ук е - дискретная составляющая вектора состояния системы; ик (Ц), ук - соответственно I- и А-мерные векторы управления.
Гибридная система (1.1). (1.2) названа вырожденной, поскольку предполагается, что определитель матрицы А равен нулю: det А = 0.
В предлагаемой работе для вырожденной гибридной системы введено понятие сопряженной системы и доказан аналог теоремы дуальности Калмана. связывающий понятия полной наблюдаемости и управляемости. Эти результаты являются продолжением исследований, начатых в работе [1]. посвященной вопросам разрешимости и наблюдаемости вырожденных линейных гибридных систем. В частности, в [1] приведена экономическая интерпретация задачи наблюдения.
Для управляемых линейных стационарных и нестационарных систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) с тождественно вырожденной матрицей при производной искомой вектор-функции алгебраические критерии полной управляемости и наблюдаемости, а также аналог теоремы дуальности Калмана были получены в [2. 3].
1 Работа выполнена ири финансовой поддержке программы Президиума РАН .N-" 19 (грант .N-" 2.5) и программы поддержки ведущих научных школ России (НШ 9508.2006.1).
4* 99
Следует сказать, что под гибридными системами в литературе (особенно зарубежной) понимается гораздо более широкий спектр систем, чем тот. который рассматривается в данной работе. Гибридными называются любые системы, поведение которых проявляет динамику как дискретного, так и непрерывного состояния. Причем в наиболее нетривиальных случаях эти аспекты динамики не могут быть эффективно разъединены и должны анализироваться одновременно. К гибридным относят логико-динамические системы, переключаемые (switched или jurnp) системы. кусочно-аффинные системы и др. Подсистемы непрерывного состояния могут описываться системами ОДУ. уравнениями в частных производных или интегро-дифференциальными уравнениями. Дискретные подсистемы могут быть весьма разнородными и подчиняются разнообразным формализмам, таким как машины конечного состояния, сети Петри, секвенциальные логические системы и др. Данная работа лежит в русле тематики гибридных систем, но существенным образом опирается на методику исследования вырожденных систем ОДУ.
Во всех предшествующих работах, касающихся вопросов наблюдаемости и управляемости гибридных систем, рассматриваются невырожденные случаи в различных постановках [4 14].
Насколько известно автору, первая попытка сформулировать определение наблюдаемости для гибридной системы была предпринята в [4]. В [5] рассматривается наблюдаемость и управляемость переключаемых линейных систем с известными моментами переключения. В [6] изучается наблюдаемость непрерывно-дискретных гибридных систем вида
x'(t) = B(kt)x(t), y(t) = D(kt)x(t),
динамика которых определяется совокупностью линейных систем ОДУ с непрерывным состоянием x(t); B(kt), D(kt) — некоторые матрицы; y(t) - выход. Эти системы связаны между собой механизмом переключения между несколькими значениями дискретного состояния kt G {1, 2,..., N}. Поведение kt может моделироваться как несократимая цепь Маркова, управляемая некоторым отображением перехода, или же как детерминированный, но неизвестный вход. С помощью вводимого понятия индекса наблюдаемости получены ранговые признаки, гарантирующие наблюдаемость гибридной системы или единственность восстановления траектории состояния, если система ненаблюдаема.
В статье [7] рассматривается линейная логико-динамическая система с постоянными коэффициентами и кусочно-аффинная система. На ряде примеров показано, что даже если линейные подсистемы наблюдаемы и управляемы, то эти свойства но наследуются гибридной системой, в состав которой эти подсистемы входят. Получены условия наблюдаемости и управляемости, проверка которых связана с решением задач линейного и целочисленного линейного программирования.
В [8] анализируется вычислительная сложность установления наблюдаемости и управляемости кусочно-аффинных систем. В статье [9] для некоторых простых классов нелинейных гибридных систем показано, что вопросы, связанные с их управляемостью, либо алгоритмически неразрешимы, либо являются NP-hard, т.е. для их решения невозможно использование эффективных (полиномиальных по времени) алгоритмов.
В работе [10] исследуется класс гибридных механических систем, важными представителями которого являются модели передвигающихся и захватывающих устройств, изменения в динамике которых происходят из-за переключений режимов движения (например, скольжения, хождения и качения) в зависимости от ограничений, описывающих взаимодействие устройства с окружающей средой. Получены конструктивные алгебраические критерии кинематической управляемости таких систем. Кинематическая управляемость подразумевает возможность планирования
движения механической системы на основе использования каскадного соединения интегральных кривых. Движение, соответствующее каждому отдельному сегменту этой кривой, начинается и заканчивается с нулевой скоростью. Составленная из этих сегментов кривая гарантированно является управляемой траекторией для механической системы. Локальная управляемость малого времени гибридных механических систем изучается в [11].
Некоторые вычислительные аспекты теории управляемости для кусочно-аффинных гибридных систем рассматриваются в [12]. Строится аппроксимация множества начальных точек, для которых гибридная система допускает решение, затем вычисляется достижимое из нулевого состояния множество и обосновываются условия, гарантирующие управляемость заданных начальных точек.
В [13] достаточное условие управляемости для гибридных систем формулируется в терминах так называемых "множеств прибытия" (arrival sets). Основным инструментом анализа управляемости в работе [14] является понятие "hybrifold". Получены достаточные условия глобальной управляемости в терминах так называемых гибридных источников (fountains).
В обзоре [15]. посвященном моделированию и оптимизации гибридных систем, хорошо представлен прикладной аспект таких исследований. В частности, указывается. что подсистема непрерывного состояния может быть описана с помощью системы ОДУ. не разрешенной относительно производной. Приведен физический пример, иллюстрирующий полезность постановки задачи в виде (1). (2). В такой форме может быть представлена модель двух вращающихся на одной оси твердых тел. которые в процессе вращения переключаются из режима скользящего соединения на режим жесткого сцепления между собой.
2. Постановка задачи
Далее предполагается, что в уравнении (1.1) пучок матриц AA — B регулярен. Это означает, что det(AA — B) ф 0. Известно [16, с. 394; 17], что в этом случае существуют неособенные (n х п)-матрицы P и Q такие, что
(2.1) pAQ = ( ° PBQ = ( ° E°nd) ,
где J - иекоторая (d х ¿)-матрица, N - верхнетреугольная (n — d) х (n — ¿)-матрпца с r (0 ^ r ^ n) квадратными нулевыми блоками на диагонали, так что Nr = E
PQ AB
ОДУ
Ax'(t)= Bx(t) + f (t), t e [а, в),
dr неразрешенности.
Определение 1. Решением системы (1.1), (1.2) будем называть набор векторов yo,Vu ■■■,Vm+i e R^ и n-мерную вектор-функцию x(t) e Сх(Тк), k = 0,m, при подстановке которых равенства (1.1), (1.2) обращаются в тождества.
В системе (1.1), (1.2) осуществим замену переменной
(2.2) x(t) = Q colon |x1(t),x2(t)},
( Xl(t) \
где colon {x1(t),x2(t)} := ( x ) > и умножим уравнение (1.1) слева на матрицу P, в результате (1.1). (1.2) преобразуется в каноническую форму (2.3) x'k 1(t) = JxkA(t) + Cktiyk + UkAuk(t),
(2.4) Nx'kt2(t)= xk,2(t) + Ckt2Vk + Uk,2uk(t), t e Tk, k = 0,m;
(2.5) yk = Dk-i,ixk-i,i(tk-i) + Dk-i,2xk-i,2(tk-i) +
k-l
+ 53 Gk-i,i yi + Vk-ivk-i, k = l,m +1,
i=0
записанную с использованием обозначений
( x^b ^ t e Tk.
um A =
(2.6) (C^'a) = PCk, (Й'2) = PUk, (Dfc,i Dkfl)= Dk Q, к = 0,m.
Из уравнений (2.4) функция xk}2(t) определится единственным образом при заданных yk и uk(t):
Xk,2(t) = Ck22'yk + Uk,2dr-i[uk(t)], t e Tk, k = 0,m,
где
(2.7) Uk,2 = {Uk,2 NUk,2 ■■■ Nr-iUk,2).
Здесь и далее для достаточно гладкой на Tk функции f (t)
ds[f (t)]
ds[f (t*)]
( f(t*) f'(t*)
V f (s)(t*
t* e Tk, s > 1.
Это обстоятельство является причиной того, что:
1) решение системы (1.1). (1.2) существует не при любых заданных значениях
Уо = ь, х(гк +0) = ак, к = 0,т,
Ь £ ак £ И" - некоторые векторы;
2) для выделения единственного решения системы (1.1). (1.2) необходимо задание краевых условий вида
Уо = Ь, (Еа Ои-а) Я х(Ьк +0) = а^ь к = 0,т,
где акд некоторый вектор из ИЛ В терминах системы (2.3)—(2.5) эти условия записываются как
Xk,i(tk
ak i, k = 0, m.
Для того чтобы система (1.1). (1.2) имела не более одного решения при заданных начальных данных:
Уо = b, x(to) = ao,
на функцию х(Ь) необходимо наложить дополнительные ограничения (2.8) (Е* Оп-а) д-1х(Ьк — 0) = (Е* Оп-Л) Я-1х(1к +0), к = 1"т, что для системы (2.3) (2.5) выглядит следующим образом:
Хк-1,1^к - 0) = Хк^к), к = 1,
т.
Условия (2.8) означают, что в представлении (2.2) требуется, чтобы ¿-мерная вектор-функция х1(Ь) была непрерывна на отрезке Т = \Ь0,Ьт+\
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.