научная статья по теме ДВУХФАЗНАЯ СИСТЕМА С ПОВТОРНЫМИ ПОПЫТКАМИ И НЕТЕРПЕЛИВОСТЬЮ ЗАПРОСОВ Автоматика. Вычислительная техника

Текст научной статьи на тему «ДВУХФАЗНАЯ СИСТЕМА С ПОВТОРНЫМИ ПОПЫТКАМИ И НЕТЕРПЕЛИВОСТЬЮ ЗАПРОСОВ»

Автоматика и телемеханика, № 8, 2015

© 2015 г. В.И. КЛИМЕНОК, д-р физ.-мат. наук (vklimenok@yandex.ru), Р.Ч. САВКО (student.bsu@gmail.com) (Белорусский государственный университет, Минск)

ДВУХФАЗНАЯ СИСТЕМА С ПОВТОРНЫМИ ПОПЫТКАМИ И НЕТЕРПЕЛИВОСТЬЮ ЗАПРОСОВ

Исследована двухфазная система массового обслуживания с многолинейными фазами и стационарным пуассоновским потоком. Запрос из входного потока, заставший все приборы первой фазы занятыми, идет на орбиту бесконечного объема, откуда делает повторные попытки попасть на обслуживание. Между фазами имеется конечный буфер. Запросы, переходящие на вторую фазу, имеют разные приоритеты. Для запросов высшего приоритета предусмотрено резервирование приборов второй фазы. В случае, когда все доступные для данного запроса места на второй фазе заняты, этот запрос либо уходит из системы недообслуженным, либо возвращается на орбиту первой фазы, откуда делает повторные попытки попасть на прибор этой фазы. Аналогично ведут себя запросы, покинувшие промежуточный буфер из-за нетерпеливости. Найдены стационарные характеристики производительности системы, приведены численные примеры, включающие задачу оптимимального выбора числа резервируемых приборов.

1. Введение

В статье рассматривается двухфазная система массового обслуживания, которая учитывает такие важные особенности реальных телекоммуникационных систем, как повторные вызовы, приоритеты и нетерпеливость клиентов.

Системы массового обслуживания (СМО) с повторными вызовами отличаются от классических систем с ожиданием и систем с отказами тем, что запрос, поступивший в систему и заставший все обслуживающие устройства занятыми, не становится в очередь и не покидает систему навсегда, а идет на так называемую "орбиту" - виртуальное место для таких запросов, откуда делает попытки попасть на обслуживание через случайные моменты времени. Практическая значимость СМО с повторными вызовами состоит в возможности их использования для анализа многих реально существующих систем, в частности проводных и беспроводных сетей связи, контакт-центров и т.д.

Двухфазные системы массового обслуживания могут использоваться как для моделирования реальных систем, состоящих из двух последовательных узлов, так и для проверки алгоритмов декомпозиции сетей общей топологии (см., например, [1, 2]).

Поэтому исследования таких систем широко представлены в литературе. В то же время имеется сравнительно небольшое число публикаций, посвященных двухфазным системам с повторными вызовами. Двухфазные СМО с повторными вызовами рассматривались ранее в [3-12]. В [3, 4] рассматривается экспоненциальная система с повторными вы-

зовами, состоящая из двух однолинейных фаз без буферов. Для этой системы получены явные выражения для стационарных вероятностей ее состояний. Статья [5] посвящена СМО с однолинейными фазами, промежуточным буфером, MAP (Markovian Arrival Ргосв88)-потоком и фазовым распределением времен обслуживания. В [6] рассмотрена более общая модель с BMAP-пото-ком и произвольным распределением времени обслуживания на первой станции. В [7] исследована подобная система, но с MAP-потоком и многолинейной второй станцией. Время обслуживания на первой фазе распределено по произвольному закону, на второй фазе - по экспоненциальному закону. Статья [8] посвящена двухфазной СМО с MAP-потоком и дополнительным потоком транзитных запросов на многолинейную вторую станцию. Здесь предусмотрено резервирование каналов второй станции для запросов из дополнительного потока. В [9] исследована система с MAP-потоком и динамическим управлением стратегией повторных вызовов. В зависимости от числа запросов на орбите применяется либо классическая стратегия, при которой интенсивность повторных попыток равна ia, а > 0, если число запросов на орбите равно i, либо стратегия с постоянной суммарной интенсивностью повторов с орбиты. В [10] рассмотрена приоритетная двухфазная система со стационарным пуас-соновским потоком, нетерпеливостью запросов и резервированием приборов второй фазы для приоритетных запросов.

При моделировании современных систем обслуживания важно учитывать не только наличие повторных вызовов, но и явление нетерпеливости клиентов. Учет нетерпеливости клиентов, которая косвенно отражает их приоритетность, особенно важен при математическом моделировании сервисных и информационных центров, которые в последнее время приобретают все большее значение в торговле, банковской сфере, медицине, транспорте и телекоммуникационных областях. В настоящее время существует довольно обширная литература по моделям СМО с нетерпеливостью запросов. В частности, монография [11] посвящена математическим моделям колл-центров, представленных однофазными СМО с повторными попытками нетерпеливых запросов. Здесь же читатель найдет обширную библиографию по теме монографии.

Что касается многофазных и, в частности, двухфазных систем с повторными вызовами и нетерпеливостью запросов, то, по сведениям авторов, кроме [10], исследования таких систем не проводились.

В настоящей статье рассматривается двухфазная система обслуживания, которая может рассматриваться как математическая модель колл-центра. Первая фаза системы может рассматриваться как фаза дозвона либо как фаза, на которой абонент получает интерактивный голосовой ответ (IVR -Interactive Voice Response). Она моделируется многолинейной системой с повторными вызовами. Если клиент центра получает нужный ему ответ, то он уходит из системы обслуженным. В противном случае он запрашивает соединение с оператором центра, чтобы получить нужную ему консультацию. Клиенты, требующие второй фазы обслуживания, разделяются на два класса в зависимости от их приоритета. Для приоритетных клиентов может быть зарезервировано определенное число каналов (операторов) на второй фазе. Запрос от клиента, не попавший на обслуживание сразу, становится в буфер конечного объема. Запросы, стоящие в буфере, проявляют нетерпели-

вость. Степень нетерпеливости зависит от приоритета клиента. По истечении времени нетерпеливости запрос либо покидает систему, либо возвращается на орбиту первой фазы. В некоторых ситуациях возможен доступ неприоритетных запросов, находящихся в буфере, к зарезервированным каналам. Разрешение на такой доступ дается в зависимости от текущей очереди в буфере. Ранее подобная система без дифференциации времен нетерпеливости по приоритетам и без динамического управления доступом неприоритетных заявок к зарезервированным приборам рассматривалась в [10].

В статье рассматривается стационарный режим функционирования системы. Получено условие существования такого режима, вычислено стационарное распределение и стационарные характеристики производительности системы, поставлена и численно исследована задача оптимального выбора числа зарезервированных каналов.

2. Математическая модель

Рассматривается двухфазная система массового обслуживания, состоящая из двух многолинейных фаз с конечным промежуточным буфером размерности М и бесконечной орбитой для повторных вызовов на первой фазе. На первой фазе запросы обслуживаются N приборами, на второй — К + Я приборами. В систему поступает стационарный пуассоновский поток запросов с параметром Л. Поступающие запросы делятся на три типа. С вероятностью ро запрос позиционируется как запрос нулевого типа, с вероятностью р1 - как запрос первого типа и с вероятностью р2 - как запрос второго типа. Тип запроса определяется после обслуживания на первой фазе. Запросы нулевого типа требуют обслуживания только на первой фазе. Запросы первого и второго типов должны обслужиться на двух фазах. При этом запросы первого типа обладают приоритетом по сравнению с запросами второго типа. Для приоритетных запросов зарезервировано Я приборов второй фазы, вообще говоря, недоступных для неприоритетных запросов. Запросы, переходящие на вторую фазу и не заставшие доступного свободного прибора, становятся в буфер, если в нем есть свободные места. При наличии приоритетных запросов в буфере они обладают относительным приоритетом при выборе на обслуживание. Если запрос (как приоритетный, так и неприоритетный) не застает доступного ему свободного прибора, и все места в буфере заняты, то вне зависимости от его типа он с вероятностью ql покидает систему и с вероятностью 1 — q1 возвращается на орбиту первой фазы.

Понятно, что при таком алгоритме занятия приборов могут возникать ситуации, когда в системе есть от одного до Я свободных приборов, а в буфере ждут обслуживания от одного до М неприоритетных запросов. С одной стороны, это дает возможность лучше обслуживать приоритетные запросы, а с другой - создает очереди в системе при наличии простаивающих приборов. Чтобы поднять производительность системы, в ситуациях, когда в буфере стоят только неприоритетные запросы и есть свободные приборы, зарезервированные для приоритетных запросов, можно подключать их для обслуживания неприоритетных запросов из буфера, если число последних превысит некоторый порог ], ] = 0,М. Варьируя этот порог, можно определить, стоит

ли использовать таким образом резервные приборы и если да, то при каком уровне заполненности буфера.

Все запросы, стоящие в очереди, проявляют нетерпеливость: если в течение экспоненциально распределенного времени с параметром 71 (72) приоритетный (неприоритетный) запрос, находящийся в буфере, не попадает на обслуживание, то он уходит из системы. В случае ухода из очереди по причине нетерпеливости любой запрос с вероятностью д2 уходит из системы и с вероятностью 1 — д2 идет на орбиту. Запросы, находящиеся на орбите, образуют источники повторных вызовов, которые независимо друг от друга генерируют повторные попытки попасть на обслуживание прибором первой фазы через случайные интервалы времени, распределенные по экспоненциальному закону с параметром а.

3. Цепь Маркова, описывающая поведение системы

Процесс функционирования системы описывается цепью Маркова Ь ^ 0, с пространством состояний

X = {(-г, п, г, т), г ^ 0, п = (Щ, г = 0, К - 1, т = 0} У

[]{(г, п, г, т), г ^ 0, п = (Щ, г = К, К + Я - 1, т = 0, М} У

У{(г, п, г, т., т(2)), г ^ 0, п = 0,ЛГ, г = К

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Автоматика. Вычислительная техника»