АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2015, том 92, № 8, с. 646-649
УДК 523.92-46-337
ДВУХМЕРНАЯ МОДЕЛЬ о^-ДИНАМО С МЕРИДИОНАЛЬНОЙ ЦИРКУЛЯЦИЕЙ И УРАВНЕНИЕ ГАМИЛЬТОНА-ЯКОБИ
© 2015 г. Е. П. Попова*
Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, Москва, Россия Поступила в редакцию 16.01.2015 г.; принята в печать 13.03.2015 г.
Построена двухмерная модель аП-динамо с учетом меридиональных потоков. Для полученной системы уравнений генерации магнитного поля построено уравнение Гамильтона—Якоби с помощью асимптотического метода, аналогичного методу ВКБ. Это уравнение позволяет аналитически исследовать влияние меридиональных потоков на длительность цикла магнитной активности Солнца и эволюцию волн магнитного поля.
001: 10.7868/80004629915080071
1. ВВЕДЕНИЕ
Циклы солнечной магнитной активности представляют собой хорошо известное явление. Они связаны с распространением магнитогидродинами-ческой волны от средних широт к экватору, видимой прежде всего по широтно-временному распределению солнечных пятен. Магнитную активность Солнца принято связывать с действием механизма динамо, простейшая схема работы которого была предложена в [1].
Согласно такой схеме, магнитное поле звезды представимо в виде двух компонент: полои-дальной и тороидальной. Тороидальное магнитное поле получается из полоидального под действием дифференциального вращения. Обратный процесс превращения тороидального магнитного поля в полоидальное происходит под действием альфа-эффекта, связанного с нарушением зеркальной симметрии конвекции во вращающемся теле. Это приводит к генерации и распространению внутри солнечной конвективной зоны волны крупномасштабного квазистационарного магнитного поля (динамо-волны), с которой и связано образование солнечных пятен.
Согласно наблюдательным данным, в солнечной конвективной зоне существуют меридиональные потоки вещества, направленные от экватора к полюсам в верхних слоях конвективной зоны [2— 6]. Предполагается, что вещество возвращается к экватору в нижних слоях конвективной зоны, однако параметры таких потоков до сих пор остаются неизвестными.
E-mail: popovaelp@mail.ru
В [7] было показано, как учитывать меридиональную циркуляцию в одномерной модели Паркера. Такая задача возникла в связи с тем, что простейшая одномерная модель Паркера предсказывала длительность цикла солнечной активности на порядок меньше наблюдаемой [8]. В [7] было получено, что величина меридиональной циркуляции порядка нескольких м/с, направленная против движения динамо-волны, замедляет скорость ее распространения, и цикл солнечной активности становится равным наблюдаемому.
Одномерная модель не позволяет учитывать распределение скоростей вещества по глубине. В данной работе показано, как в двухмерной модели динамо Паркера учитывать меридиональные потоки. Мы покажем, как строить уравнение Гамильтона—Якоби для исследования полученной системы уравнений динамо асимптотическими методами. Полученное уравнение Гамильтона—Якоби дает возможность применить асимптотические методы для выявления влияния меридиональных потоков, зависящих от широты и глубины, на скорость распространения волны магнитного поля.
2. аП-ДИНАМО С МЕРИДИОНАЛЬНОЙ
циркуляцией
Уравнения динамо Паркера можно получить из общих уравнений динамо. В кинематическом приближении считается, что магнитное поле настолько мало, что можно пренебречь его влиянием на движения среды, т.е. нелинейными эффектами. В этом случае электродинамика средних полей дает следующее уравнение для среднего магнитного поля
ДВУХМЕРНАЯ МОДЕЛЬ а^-ДИНАМО
647
В [9]:
дВ
ж = го1
аВ) + rot
V х В
+ /ЗАВ. (1)
Здесь В = Bv(r, 9, t)ev + Vx (A(r, 9, t)ev) — магнитное поле в сферических координатах (Bv(r, 9, t)ev — тороидальная компонента, Vx(A(r,9, t)ev) — полоидальная компонента), V = ü(r, 9)r x x sin 9ev — скорость движения вещества, которая здесь описывает дифференциальное вращение, а — альфа-эффект, который в общем случае может зависеть от широты 9, радиуса r, магнитного поля и времени t.
Представим поток вещества в виде U(r, 9) = = Ur(r, 9)er + Uq(r, 9)ee + Q(r, 9)r cos 9ёф, где первое слагаемое описывает радиальную компоненту меридиональной циркуляции, второе слагаемое — компоненту по широте, третье — дифференциальное вращение. Подставляя его в уравнение для крупномасштабного магнитного поля (1), можно получить систему уравнений динамо с учетом меридиональных потоков в двухмерном случае для генерации осесимметричного магнитного поля в дифференциально-вращающемся сферическом слое:
дА ~dt
= аВ + р-
r2 09
1 д Í 1 д(cos 9A)\
cos 9 д9 J
+
(2)
r or*
1
d(cos 9A) 1 d(rA)
--Vr--^-:
r or
rcos 9 d9
— - f3— —
dt
1
r2 д9 \ cos 9 d9
+ в
d(cos OB)^ +
1 d(rVrB)
+
1 d2(rB) 1 d{VeB) r dr2 r d9 r dr 1 дП d(r cos 9A) 1 дП d(r cos 9A)
+
r d9
dr
r dr
d9
3. УРАВНЕНИЕ ГАМИЛЬТОНА-ЯКОБИ
Систему уравнений динамо (2)-(3) можно исследовать асимптотически с помощью метода, аналогичного методу ВКБ, [10] и построить аналитическую зависимость влияния меридиональных потоков на генерацию и эволюцию магнитного поля. Решения системы уравнений динамо Паркера как в одномерном, так и в двухмерном случаях предста-вимы в виде волн магнитного поля. В [11] было показано, как проводить асимптотическое исследование поведения решений системы уравнений динамо в двухмерном случае при отсутствии меридиональной циркуляции. Для системы уравнений динамо в [11] строилось уравнение Гамильтона-Якоби, в которое входят радиальная и угловая компоненты волнового вектора, а также период осцилляций и скорость роста магнитного поля. Аналитическое исследование такого уравнения позволило показать, как эволюционируют волны магнитного поля. В данной работе мы будем следовать методу построения уравнения Гамильтона-Якоби для системы (2)-(3), изложенному в [11].
Приведем систему (2)-(3) к безразмерному виду. Будем измерять радиальные расстояния в единицах радиуса конвективной зоны R (для определенности будем использовать внутренний радиус), время - в единицах диффузионного времени R2/в, а спиральность а, градиент угловой скорости gradQ и радиальную Vr и угловую V$ компоненты меридиональной циркуляции - в единицах их максимальных величин а*, Q0, Vr0 и Ve0, соответственно. В этом случае нормировка будет выглядеть следующим образом:
(3)
R2
ü = n0ñ, t = —t
в
В = R В,
а
* -а а,
r = Rr,
Vr = VroVr,
A = RA,
Ve = vqqvq .
Подставив эти выражения в систему уравнений динамо (2)—(3) и опуская тильды получим:
Здесь В(т,9,1) — тороидальное магнитное поле, компонента А(т, 9,1) — векторный потенциал, который определяет полоидальное магнитное поле, т и 9 — соответственно радиус и широта в сферической системе координат с центром в центре Солнца (звезды), а 9 = 0 соответствует экватору. Величины а и в являются функциями положения, причем а обозначает альфа-эффект (среднюю турбулентную спиральность), обеспечивающий образование полоидального поля из тороидального, в — коэффициент турбулентной диффузии, полагаемый здесь однородным, а О — угловая скорость. В системе (2)—(3) мы пренебрегли вкладом альфа-эффекта в генерацию тороидального магнитного поля, рассматривая только так называемое аО-приближение.
dA „ „ 1 д (rA) — = RaaB + —^ + ot r or2
r2 д9
(4)
— Rm& V&
+
1
1 d(Acos9) cos 9 d9 д(A cos 9)
r cos 9 dB ~dt
d9
Rmr Vr
1 d(Ar) r dr
1 d2{rB) r dr2
+
(5)
l_d_ ( 1 d(B cos 9) r2 89 V cos 9 89
^8{Ar cos 9) , ^djAr cos 9) - R.G - + КшG -
1 d(rVrB) p 1 d(VeB)
-Kmr M J^md
r or r 09
648
ПОПОВА
Здесь Ктв = К2С*
К'.
в
ДУео р _ НУго
/3 ' Ктг~ /3 '
с--— с'-- —
т дт' г дв'
к2а*
К
в ' а* и а'* -
дА | ЩгЛ) |
д1 т дт2
1_д_ ( 1 д(Асоъв)\ + г2 дв 1 соэ в дв )
1 д(А сов А) 1 д(Аг)
~ п-тд У в-Л---лтг Уг----.
т сов в дв т дт
дБ
1 д2(гВ) т дт2
+
+
1 д ( 1 д(В сов в)
т2 д^ сов в
дв
.,д(Ат сов в)
Дтг
дв
1 д (тУ В)
дт 1 д(Ув В)
дт
т дв
/
а4
В
\
= ехр(г |й|1/3 5 + ^г) х
\|й|2/3/
х (/с + ¡11П-1/3 + ...),
7
= |й|2/3 Гс + 1Б11/3 Г1 + ...
¡1 =
Ц1
ние (8) в нулевом приближении в следующей форме:
максимальные амплитуды а и а', соответственно.
В теории динамо принято работать с динамо-числом й = КаКш, которое характеризует амплитуду альфа-эффекта и дифференциального вращения. Будем полагать, что а* = а'*, а следовательно и Яш = К'ш. Подставив векторный потенциал
в виде А = КаА в уравнения (4)-(5), получим систему уравнений с управляющим параметром й:
А(т, в) в(г, в).
Кт, в)
^ (т,в )у
(9)
(6)
(7)
х ехр(|£)|зП + г|£)|з5,(г, в)),
полагая иг (т,в) = Ктг У (г, в) й^3 и ив (г, в) = = ЕтвУв(т,в) й1/3. Здесь 5(т,в), »(т,в) и V(т, в) — гладкие функции. Комплексное Г определяет собственное значение, при этом его действительная часть дает скорость роста, а мнимая дает
2
длительность цикла активности. Множители |_0|3
и |£>|з в комплексной скорости роста, действии и меридиональной циркуляции выбраны так, чтобы дифференциальное вращение, а-эффект, меридиональная циркуляция, собственное значение и диссипация оказались одного порядка и вошли в старший член асимптотического разложения.
При подстановке выбранного вида искомого решения в уравнения Паркера (6)—(7) получаем алгебраическую систему уравнений для к и V. Условием разрешимости для этой системы является дисперсионное соотношение для частоты динамо-
волны и ее волновых векторов кв =
кг —
дБ(г, в) дт
дБ(г, 9) дв
, т.е. уравнение Гамильтона—Якоби в
двухмерном случае:
1
Следуя [11], представим решение системы (6)— (7) в виде разложения в ряд по степеням динамо-числа, рассматривая й в уравнениях в качестве большого параметра, т.е. |D| > 1. Будем искать решение в виде
Г + к2в +к2 + г-ивкв + Шгкг = гта сов в(акв — а' кг).
(10)
(8)
где 5 и векторы /с, /1 — комплекснозначные вектор-функции. Свойства решения определяются функцией 5, которая является аналогом действия в квантовой механике.
Для построения уравнения Гамильтона—Якоби достаточно подставить в систему (6)—(7) реше-
4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В данной работе построена модель аП-динамо с учетом меридиональных потоков в двухмерном случае. Такая модель позволяет учитывать сложное поведение меридионал
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.