ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА, 2011, том 74, № 1, с. 158-165
= ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ И ПОЛЯ
ДВУХПАРТОННЫЕ ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ В КХД
©2011г. А. М. Снигирев*
Научно-исследовательский институт ядерной физики Московского государственного университета, Россия Поступила в редакцию 10.02.2010 г.; после доработки 14.05.2010 г.
Показано, что факторизационная гипотеза, часто используемая для двухпартонных функций распределения при анализе экспериментальных данных по двойным партонным рассеяниям, явно противоречит уравнениям эволюции КХД. Обсуждаются основные свойства двухпартонных функций распределения, которые можно извлечь из КХД.
1. ВВЕДЕНИЕ
Обычно инклюзивное сечение жесткого процесса в адрон-адронных столкновениях вычисляется в предположении, что наряду со множеством мягких взаимодействий в столкновении происходит только одно жесткое взаимодействие ввиду его относительно малой вероятности. Тем не менее возможны адрон-адронные столкновения, в которых рассеиваются жестко две (или больше) различные пары партонов. Теоретически эти двойные партонные рассеяния изучаются уже на протяжении многих лет [1—23]. Экспериментально они наблюдались сначала Коллаборациями AFS [24] и UA2 [25] в ЦЕРНе, затем Коллаборациями CDF [26, 27] и D0 [28] на Тэватроне со статистикой, уже достаточной для первичного анализа и изучения, а также на ускорителе в Протвино [29]. Ожидается, что при энергии и светимости Большого адронного коллай-дера (БАК) будет наблюдаться значительно большее количество событий с жесткими многократными взаимодействиями по сравнению с упомянутыми экспериментами. Более того в ряде работ [17, 30— 32] продемонстрировано, что продукты от многократных взаимодействий будут представлять значительный и важный фон для сигнала от продуктов распада бозонов Хиггса и других интересных процессов. В работах [20, 23, 33, 34] обращено внимание на те процессы, в которых систематическое изучение двойных партонных рассеяний наиболее перспективно на БАКе.
В предположении факторизации только двух жестких подпроцессов A и B сечение названного процесса в столкновении двух протонов может быть представлено в виде [22]
а(А,в) = J /rij(x1,x2,b;QlQl) х (1)
i,j,k,l
E-mail: snigirev@lav01.sinp.msu.ru
х crfk(xi, x'i)aB(X2,x'2) x x rkl(x/i,x/2, b; Qi, Q2)dxidx2dx'idx'2d2b.
В этом выражении aAk(x^xi) и j(x2,x'2) — хорошо известные партонные сечения, используемые при вычислении инклюзивного сечения одиночного жесткого процесса. Фактор m, учитывающий свойства симметрии, равен 1 в случае двух тождественных подпроцессов (A = B) и равен 2 во всех остальных случаях; rij(xi,x2, b; Qi, Q2) — обобщенные двухпартонные функции распределения, которые интерпретируются как инклюзивные вероятности найти в протоне один партон i с долей продольного импульса xi на масштабе жесткого подпроцесса Qi и другой партон j с долей продольного импульса x2 на масштабе жесткого подпроцесса Q2 с относительным расстоянием b между ними в поперечной плоскости. Отметим, что Кол-лаборации CDF и D0 измеряли двойные партонные рассеяния в процессах с тремя струями и одним фотоном в конечном состоянии, что соответствует рождению фотона и струи в подпроцессе A и двух струй в подпроцессе B.
Часто предполагают, что обобщенные функции распределения rij(xi,x2, b; Qi, Q^) могут быть представлены в виде произведения продольных и поперечных компонент:
rij (xi ,x2 ,b; Q2,Q2) = (2)
= Dh (xi,x2; Qi ,Q2)Fij (b).
При этом двухпартонные функции Dh(xi,x2; Qi, Q2) имеют вполне определенную интерпретацию в рамках главного логарифмического приближения теории возмущений КХД: инклюзивные вероятности найти в протоне (адроне h) один партон i с долей продольного импульса xi на масштабе жесткого подпроцесса Qi и другой партон j с долей
продольного импульса х2 на масштабе жесткого подпроцесса О2,. Корреляции между партонами в поперечной плоскости (плоскости прицельного параметра) Р^ (Ь) значительны и связаны с силами, ответственными за связь партонов в адроне, и не могут быть вычислены в рамках теории возмущений. В существующих моделях преполагают гаус-совское или экспоненциальное либо сумму гаус-совского и экспоненциального распределений по Ь, чтобы описать (Ь) [18, 35].
Продольные импульсные корреляции практически игнорировались, поскольку хотя бы в области малых хг ожидается, что они малы, и можно использовать факторизационную гипотезу для
ПЦ(Х1 ,Х2; Я1Я2)= (Х1,Я21)01 (х2,О2). (3)
В рамках этой гипотезы при дополнительном предположении, что Р^(Ь) не зависят от сортов парто-нов г и j, выражение для сечения двойного партон-ного рассеяния аВ) сильно упрощается:
п
a(A,B)
m a(A)a(B)
aeff
(4)
aeff =
т -1
d2b(F (b))2
F (b) = Fij (b),
где aX) — одиночное инклюзивное сечение для
жесткого процесса X. Фактор aeff в знаменателе имеет размерность сечения, что можно объяснить следующим образом: при условии, что одно жесткое столкновение уже имеет место, вероятность второго жесткого рассеяния пропорциональна потоку сопровождающих партонов, а так как эти партоны связаны внутри адрона, то их поток обратно пропорционален поперечной площади (сечению) протона. Интересно отметить, что измеренное Коллаборациями CDF и D0 aeff ~ 15 мбн составляет приблизительно 20% от полного (упругое + неупругое) pp-сечения при энергии Тэватро-на.
В отличие от экспериментально измеряемого или феноменологически задаваемого эффективного сечения aeff (по причине нерешенной до сих пор проблемы конфайнмента), очень много мы можем узнать о свойствах двухпартонных функций Dfj(x1,x2; Qi,Q2) в рамках теории возмущений КХД, что и является основной целью настоящей работы. В разд. 2 приводятся результаты вычислений этих функций в главном логарифмическом приближении теории возмущений КХД на партон-ном уровне. Обобщение на случай функций распределения в адронах дано в разд. 3. Результаты численных расчетов приведены в разд. 4. Возможное проявление эволюции двухпартонных функций
распределения обсуждается в разд. 5. В разд. 6 сформулированы основные результаты.
2. ДВУХПАРТОННЫЕ ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ В ГЛАВНОМ ЛОГАРИФМИЧЕСКОМ ПРИБЛИЖЕНИИ
Анализ [36—38] жестких процессов, глубоко-неупругого рассеяния электронов на протонах и электрон-позитронной аннигиляции в адроны по теории возмущений в КХД приводит к их описанию в главном логарифмическом приближении на языке партонной модели с переменным параметром обрезания по поперечным импульсам партонов. Зависимость многопартонных функций распределения и фрагментации от величины этого параметра обрезания определяется эволюционными уравнениями, изящный способ получения которых сформулировал Липатов [37] для любых перенормируемых полевых теорий. В литературе в качестве эволюционной переменной используются как сама величина масштаба жесткости процесса О2 (чаще всего квадрат переданного импульса), так и ее логарифм £ = 1п(О2//2) или двойной логарифм (учитывающий в явном виде поведение эффективной константы связи в главном логарифмическом приближении)
1
t =
2пв
ln
2пв
ln
4п
QCD
1п(л|
QCD
где в = (33 - 2щ)/12п в КХД; д(/2) - константа связи на некотором характерном масштабе /л2, начиная с которого применима теория возмущений; nf — число активных ароматов; ЛQCD — размерный параметр КХД.
Уравнения эволюции, известные чаще всего как уравнения ДГЛАП (Докшицера—Грибова-Липатова— Алтарелли—Паризи) [36—39], имеют наиболее простой вид при использовании естественной безразмерной эволюционной переменной
1
dDl(x,t)
Jt
(5)
Они описывают изменение одиночных функций распределения голых кварков и глюонов в одетых партонах (кварках и глюонах) с изменением эволюционной переменной 1 Ядра этих уравнений Р в методе Липатова автоматически включают
2
2
1
2
j
X
регуляризацию при х — х , в то время как в работе [39] регуляризация была введена фактически "руками", исходя из требования выполнения закона сохранения импульса. Более того, метод Липатова позволяет получить уравнения эволюции и для многопартонных функций распределения (и фрагментации).
Впервые эти уравнения были выведены в работах [40-42]:
(хъх2, ¿)
(М
(6)
1 — Х2
Х\
31 XI
1—Х1
+Е I +
32 Х2
+ Е (Х1 + Х2,г)
1
Х1 + Х2
-Рз
Х1
при этом ядро
-Рз'
3 —3132
Х1
7 —^ 7179 I
Х1 + Х2 \ Х1 + Х2
Х1 + Х2 '
(7)
входящее в неоднородную часть уравнений, не содержит ¿-образного регуляризационного члена. Уравнения описывают изменение двойных функций распределения голых кварков и глюонов в одетых партонах (кварках и глюонах) с изменением эволюционной переменной Ь, т.е. когда масштабы обоих жестких процессов сравнимы (О ~ О2) и нет еще одного большого логарифма | !п(О\/О2)\, требующего выхода за рамки главного логарифмического приближения, в котором, напомним, используемая чаще другая эволюционная переменная £ определена с точностью до константы ввиду неоднозначности выбора нормировочного масштаба /л2. Решения уравнений (6) можно представить в виде свертки одиночных функций распределения и ядер уравнений [40-42]:
3 (Х1,Х2,Ь) =
(8)
I 1—х2 1—z1
я*
3 3132 0 XI Х2
гг + г2Рз'^3'13'2
¿1 + ¿2 31 -
г1
32 V ¿2
Эта свертка совпадает с правилами исчисления струй [43], сформулированными для многопар-тонных функций фрагментации. Она есть обобщение хорошо известного соотношения Грибова-Липатова, установленного для одиночных функций [36-38]: распределение голых партонов в одетых идентично фрагментации голых партонов в одетые в главном логарифмическом приближении. Приведенные решения (8) показывают, что в главном логарифмическом приближении двухпартонные функции распределения сильно скоррелированы:
32 (Х1,Х2,г) = ю? (хъг)ю32 (Х2,ь). (9)
3. ДВУХПАРТОННЫЕ функции РАСПРЕДЕЛЕНИЯ В АДРОНАХ
В феноменологических применениях более интересны функции распределения голых кварков и глюонов в адронах, уравнения для которых могут быть получены в рамках широко используемой и феноменологически оправданной гипотезы — факторизации [44] физики малых и больших расстояний. В этом случае эволюция функций распределения голых кварков и глюонов в адронах описывается теми же уравнениями, которые обсуждались в предыдущем разделе, с заменой индекса одетого партона г на индекс
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.