МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 5 • 2013
УДК 532.22:537.634
© 2013 г. С. А. КАЛМЫКОВ, В. А. НАЛЕТОВА, Д. А. ПЕЛЕВИНА, В. А. ТУРКОВ ДВУХСЛОЙНОЕ ТЕЧЕНИЕ НАМАГНИЧИВАЮЩИХСЯ ЖИДКОСТЕЙ
Исследуется плоское двухслойное течение вязких несжимаемых жидкостей, имеющих разные магнитные свойства, между двумя горизонтальными твердыми плоскостями в неоднородном бегущем магнитном поле. Произвольное неоднородное периодическое бегущее магнитное поле вызывает волнообразные изменения поверхности раздела двух сред и течения жидкостей с ненулевыми средними расходами. По заданному магнитному полю вычисляются форма поверхности раздела жидкостей, скорости, давления и средние расходы жидкостей. Рассматриваются случай косинусоидальной магнитной силы и случай, когда магнитное поле создается движущимися цилиндрами из ферромагнитного материала в однородном магнитном поле. Исследуется влияние различных параметров на средние расходы жидкостей.
Ключевые слова: магнитная жидкость, бегущее магнитное поле, свободная поверхность.
Возможность создания расходного течения жидкостей при помощи деформации свободной поверхности магнитной жидкости в бегущем магнитном поле исследовалась теоретически и экспериментально. Экспериментально течение одного слоя магнитной жидкости в переменных периодических и в бегущих магнитных полях исследовалось в работах [1, 2]. В [1] при теоретическом описании течения слоя жидкости не учитывалась ее вязкость. В [3] аналитически рассчитано возбуждение гравитационных волн малой амплитуды на поверхности несжимаемой магнитной жидкости в бегущем магнитном поле при линейной зависимости намагниченности от магнитного поля без учета поверхностного натяжения для слоя идеальной магнитной жидкости конечной глубины. Течение тонких слоев намагничивающихся вязких жидкостей в бегущих магнитных полях теоретически исследовано в [4], где решена задача о нахождении приложенного бегущего магнитного поля, создающего заданную форму границы раздела между двумя тонкими слоями вязких несжимаемых жидкостей с разными магнитными свойствами (обратная задача).
В данной работе рассмотрена прямая задача нахождения формы поверхности раздела между тонкими слоями двух жидкостей с различными магнитными свойствами в известном приложенном периодическом бегущем магнитном поле. Жидкости считаются вязкими и несжимаемыми. Задача решена с учетом поверхностного натяжения, силы тяжести и нелинейной зависимости намагниченности магнитной жидкости от напряженности магнитного поля. Основная цель работы — исследование возможности создания перекачивающих устройств на основе магнитной жидкости и вычисление средних расходов перекачиваемой немагнитной жидкости и магнитной жидкости в таком устройстве.
1. Постановка задачи о бегущих волнах на поверхности раздела двух жидкостей с разной намагниченностью в бегущем магнитном поле. Рассматривается плоское изотермическое двухслойное течение вязких тяжелых несжимаемых жидкостей между горизонтальными неподвижными плоскостями (фиг. 1). Расстояние между плоскостями Ь = = + й2, здесь й,, , = 1, 2 — толщины слоев в невозмущенном состоянии. Ось х декартовой системы координат (х, z) лежит в нижней неподвижной плоскости, ось z направлена вертикально вверх. К системе в произвольном направлении приложено не-
z1
d2 2
y/d^ У//Л V///////// WM ////// .
Фиг. 1. Двухслойное течение магнитной (1) и не намагничивающейся (2) жидкости
однородное переменное во времени магнитное поле Н = Н(г, х, ?). Жидкости считаются несмешиваемыми и имеют разные магнитные свойства. Индексы 1 и 2 обозначают параметры нижнего и верхнего слоя жидкости соответственно. Намагниченность верхней, более легкой жидкости М2 = 0. Намагниченность нижней, более тяжелой магнитной жидкости М1 зависит от величины напряженности магнитного поля Н = = |Н| по формуле Ланжевена
M(Z) = MSL (Z),
ДО = cth(Z) - Z,
г mH Ms
Z = —, m = —' kT n
Здесь Т = const — температура жидкости, k — константа Больцмана, Ms — намагниченность насыщения магнитной жидкости, m — магнитный момент одной ферромагнитной частицы, n — численная концентрация ферромагнитных частиц. При решении задачи учитываются силы тяжести и поверхностного натяжения, температура считается постоянной. Считается, что выполнено безындукционное приближение (Н 4пМ), и магнитное поле равно приложенному, не искаженному магнитной жидкостью полю H.
Рассматривается система уравнений, состоящая из уравнения неразрывности и уравнения Навье—Стокса для каждого слоя (i = 1, 2)
divu, = 0, р;- ^ = - Vp' + пД U at
н
Pt = Pi + Pgz - ¡MldH
(1.1)
Здесь = (иw¡) — векторы скоростей жидкостей, рр;, — давление, плотности и динамические вязкости жидкостей, g — величина ускорения свободного падения. На неподвижных плоскостях ставится условие прилипания
z = 0: u, = w, = 0, z = L: u2 = w2 = 0
(1.2)
На поверхности раздела жидкостей z = Ь(х, ?) в безындукционном приближении задаются следующие граничные условия ([А ]2 = А1 — А2):
u, = u2
w, = w2
dh dh --+ u — = w
dt dx
(1.3)
[ -p ]\n + [ТцпП]\е = 2a Kn
x
0
Здесь ст — коэффициент поверхностного натяжения, K = h"/(1 + h'2)3/2 — средняя кривизна поверхности раздела двух сред, Ту = 2ve,y — компоненты тензора вязких напряжений, ву = (duj/dxj + ди/дху)/2.
Приложенное поле Н считается "бегущим" вдоль оси х: H = Н^, £), £ = kx — at. Будем считать, что слои жидкостей тонкие, т.е. параметр б = d1k мал: б 1, d1 ~ d2.
Введем безразмерные переменные и параметры: x* = xk, z* = z/dl, h* = h/db u* = = u/Uc, w* = w/zUc, Uc = ю/k, t* = to, p* = p/P, H* = £ = rnH/kr, Z* = (d1 + d2)d
Re = pUA/m, W = CTdik2/P, Ж = (p: - P2WP, M* = MM S = HMs/P, P = щв/б2, =1, и2 = П2/П1. Здесь H0 характерное значение приложенного магнитного поля (H0k ~ dH/dx). Далее звездочки (*) для обозначения безразмерных параметров будем опускать. Предположим, что б 1, W = 0(1), Re < 1, Rep2n2/(p1n1) < 1, Rep2/p1 < 1. Тогда в нулевом приближении по параметру б система уравнений (1.1) и граничных условий (1.2), (1.3) в безразмерном виде запишется следующим образом:
д-и + Iw = 0, М + = 0, д-Р- = 0
дх дz дx -zt -z
z = h: u1 = u2, w1 = w2
дh дh n -ux дщ — + u--w = 0, —1 = n2—2
дt дx дz дz (1.4)
2 H( z = h,Q
Ap = - W^-h + Nh - S [ M1( H) dH
x 2
0
Ap = p1(x, t) -p2(x, t)
z = 0: u1 = w1 = 0, z = L: u2 = w2 = 0
2. Уравнение для формы поверхности раздела в виде бегущей волны. Будем искать решение для формы поверхности раздела жидкостей в виде бегущей волны h = h(£), £ = x — t. При этом все параметры зависят от z и £. Заметим d/dx = d/d£, d/dt = —d/d£. Перепишем уравнения движения (второе равенство системы (1.4) при i = 1, 2) в виде
= -F($), = -n2 (F(£,) + ОД) (2.1)
dz2 dz2
Здесь F = дp1 /д£, G = — дЛр/д£. Интегрируя (2.1) с учетом граничных условий на твердых стенках и условий на свободной поверхности для компонент скоростей ui, получим
ui = Az + Biz + Ci
A1 = -F/2, A 2 = (F + G)/2 n2
B1 = B2n2 - hG, B2 = ((F + 2G)hn2 + (L2 - h2)(F + G))D- (2.2)
C1 = 0, C2 = (Lh((F + G)(L - h)(n2 - 1) - Ghn2))D-D = 2n2 (hn2 - h + L)
Используя выражения для объемных расходов жидкостей, рассчитанных на единицу
h L
длины вдоль оси у, Qi(Q = J*w1 dz, Q2© = Ju2 dz, с учетом несжимаемости жидкостей
0 h
из кинематического соотношения на поверхности раздела жидкостей получим следующие уравнения:
dh = dQi d(L - h) = dQ 3)
d p dp ' d p d p
Интегрируя уравнения (2.3) и учитывая выражения для горизонтальных составляющих скоростей (2.2), получим
h (E) + qi = fiF(E) + ЛСД
L - h(p) + q2 = f3F(E) + /G(p)
3 (2.4)
G = wd-hP) - N^P + Fm, Fm = бЩМ,(H(E))\z = h dE3 dE dE
Здесь q1 и q2 — константы интегрирования;f1, f2, f3, f4 — функции от h, n2 и L / = h2n2(h\n2 - 1) + L(3L - 2h))/6D
/2 = h2n2(h - L)2/2D
/3 = hn2(h - 6h2L + 9hL2 - 4L3) - (L - h)4/6D /4 = 4hn2(h - L)3 - (h - L)4/6D
Таким образом, получена система обыкновенных дифференциальных уравнений (2.4) для определения h(^) и F(^). По параметру h это уравнение третьего порядка. Движение полностью определяется видом магнитной силы Fm. Следует заметить, что верны равенства Q1 = h(^) + q1, Q2 = L — h(^) + q2.
При n2 = 0, p2 = const получим F = —G. Уравнение для h имеет вид: h + q1 = (f — f,)F= = h3F/3. Задача сводится к задаче об одном слое магнитной жидкости, решение которой приведено в [5].
3. Решение задачи о бегущих волнах на поверхности раздела в случае периодической магнитной силы малой амплитуды. Рассмотрим периодическое бегущее приложенное магнитное поле на невозмущенной поверхности магнитной жидкости H = H(z = d1,
j = » tp/2
H = Hs + ^ ( Hycosdkl) + H2jsin(/X^)) с периодом Tp, X = 2n/Tp, Hs = <H> = J H
j = 1 -Tp/2
Будем рассматривать магнитную силу Fm, среднее значение которой равно нулю
выполняется
(Дт) = I1 Fm = 0. В периодических магнитных полях такое условие
-Тр/2
при малых значениях магнитных полей (М: = %/Н) и в больших магнитных полях (М = М,), а также в других частных случаях. Разложим безразмерную магнитную силу в ряд Фурье
Fm = S Y (Acos(jX%) + Bjsin(jX%))
j = i
Здесь введены коэффициенты ряда Фурье, которые определяются следующими формулами:
Tp/2 Tp/2
A' = T J Fm cos (jX%)d%, Bj = T J Fm sin(jX%)d%
-Tp/2
Пусть 5 = max =i...«>( Aj|, |В/|) ^ 1, j e N, 5S ^ 1. Тогда Aj = A' /5 ~ 1, B¡ = Bj/5 ~ 1 и
магнитная сила
Гт = 5Б/т, /т = £ (Асов + В,ЯП НЮ)
1= 1
В случае периодической магнитной силы возникает течение с ненулевым средним
Тр/2
расходом. Так как жидкости несжимаемые, то (к) = — I hdЪ¡ = 1. Используя (2.4),
-Тр/2
Тр/2 Тр/2
можно показать, что средние расходы = — I Q1 dЪ¡ и (02) = — I Q2dЪ¡ опреде-
Тр ^ Тр
-Тр/2 -Тр/2
ляются константами q1 и q2
<Ql) = 1 + , <Q2) = Ь - 1 + Я2
Будем искать решение системы (2.4) в виде ряда по параметру 8
h = 1 + 5 h1 + 52 h2 + ..., В = 5В1 + 52В2 + ... Я1 = Яю + 5 Ян + 52я12 + ...
Из (2.4) в нулевом приближении по 8 получим q10 = —1, q20 = 1 — Ь. В первом приближении получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений для к1 и с постоянными коэффициентами
3
dhl dhl
К + а1~Г7 - а2—- - а-+ Я11 = а^т а Е d Е
3 (3.1)
К - Ъ1~-^Г + Ъ2 - + Ъ 3+ Я21 = -Ъ^т
а1 = Ыа, а2 = Жа, а3 = п2(3Ь - 2Ь + п2 - 1 )/6Б1,
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.