ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2008, том 422, № 1, с. 102-105
ГЕОГРАФИЯ
УДК 551.4
ДВУМЕРНАЯ КИНЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОБРАЗОВАНИЯ ПОДГОРНОЙ ЛЕСТНИЦЫ
© 2008 г. В. Вад. Бронгулеев
Представлено академиком В.М. Котляковым 24.07.2007 г. Поступило 26.07.2007 г.
Сущность кинематических моделей состоит в том, что свойства субстрата рельефа (почвогрун-тов или горных пород), его реакция на действующие силы и сами эти силы не рассматриваются, т.е. не составляются динамические уравнения движения. Вместо этого задается зависимость скорости снижения поверхности склона от морфологии самого склона - его высоты, уклона, профильной и плановой кривизны. К этому может быть добавлен эффект внешних, не связанных со склоновыми процессами факторов. Кинематические модели позволяют ответить на вопрос, как будет развиваться склон той или иной заданной в начальный момент времени конфигурации при той или иной зависимости скорости его снижения от формы самого склона, при заданных начальных и граничных условиях, а также при действии внешних факторов (например, тектонических движений). Такой подход оправдан тем, что законы деформации субстрата, необходимые при составлении динамических уравнений, плохо известны и, как правило, их приходится задавать с большой степенью условности. Вместе с тем кинематические модели позволяют довольно легко получить разнообразные и наглядные картины эволюции склонов при различных предположениях о скорости денудации. Некоторые простейшие случаи описаны в работах [1-4] и многих других.
В данной работе предлагается модель развития серии педиментов (подгорной лестницы), возникающих вследствие последовательных импульсов тектонических поднятий. Для простоты мы ограничились двумерным случаем, рассматривая склон, морфология которого по простиранию не меняется. Будем считать, что скорость перемещения поверхности склона в каждой точке зависит от его морфологических характеристик: уклона и профильной кривизны в каждой данной точке, а также от таких внешних факторов, как тектонические движения или накопление-снос материа-
Институт географии Российской Академии наук, Москва
ла. Влияние абсолютной высоты может возникать, вероятно, лишь на мегасклонах, когда начинает сказываться различие климатических условий в процессе выветривания пород, и здесь мы не будем принимать его во внимание.
Рассмотрим эти факторы по отдельности. Если z(x, t) - высота склона, где x - ось координат, направленная поперек склона, t - время, то скорость
снижения поверхности склона есть ^ • Угол наклона склона равен arctg |z'|. Здесь штрих означает производную по x, а знак модуля добавлен, поскольку направление склона не важно. Так как направленная вниз по склону сила, действующая на любую частицу, расположенную на склоне, пропорциональна синусу этого угла, то составляющую скорости снижения склона, обусловленную его крутизной, можно задать в виде -sin( arctg |z'|) или, что то же, -|z'|(1 + z'2)-1/2. Знак минус соответствует снижению склона при любом его направлении.
Кривизна склона в вертикальном сечении равна z"(1 + z'2)-3/2. Отрицательные значения кривизны соответствуют выпуклому склону, положительные - вогнутому. Естественно предположить, что за счет влияния кривизны выпуклые участки склона будут снижаться быстрее по сравнению с плоскими такой же крутизны, а вогнутые -медленнее или подниматься. Это можно трактовать как ускоренную денудацию выпуклых участков (даже в тех точках, где уклон равен нулю) и аккумуляцию на вогнутых, так что введение этого члена, безусловно, имеет смысл.
Наконец, вклад внешних факторов описывается функцией fx, t), конкретный вид которой должен быть задан на основе реальных данных или моделируемых условий.
При учете всех этих членов мы получим кинематическое уравнение развития склона для двумерного случая в следующем виде:
dz dt
Mz'\
Л
+
Bz"
+ z
(1+ z-2 )3/2
+ f ( x, t).
(1)
Уравнения подобного типа выводились ранее, в том числе и на основании учета действующих сил, а также баланса рыхлого материала на склоне (см. [1-8] и др.). Из этих и других работ известно, что в данном уравнении член, содержащий первую производную, описывает снижение склона под действием таких процессов как плоскостной снос, дефляция, температурный крип, причем рыхлый материал не накапливается вниз по склону. Член, содержащий вторую производную, описывает снижение под действием вязкого течения грунта с аккумуляцией на вогнутых участках. Коэффициенты А и В определяют соответственно вклад этих процессов.
Функцию /, описывающую действие тектонических движений, зададим в виде
/ = С ехр [-(г -15 )2 (г -30 )2 ].
(2)
г(х, 0) =
ехр(-х ) при х <-1.4,
ехр (-1.96) при -1.4 < х <-1,
ехр[-(х -0.4)2] при -1 < х < 0.4, 1 при 0.4 < х.
(3)
г (-2, г) = 0, г'(2, г) = 0.
(4)
Решение уравнения (1) с начальными и граничными условиями (3) и (4) было получено численным методом с помощью пакета МАТЬАБ.
г 1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
Такая функция показывает, что в моменты времени, соответствующие 15 и 30 условным единицам, происходит кратковременное поднятие всего рассматриваемого профиля со скоростью С.
Для решения уравнения (1) необходимо задать начальные и граничные условия. В качестве начального профиля возьмем склон, подножие которого опирается на базис эрозии, а вершина выходит на плато. Пусть также на склоне существует терраса ограниченной ширины (рис. 1). Функция, описывающая такой профиль, будет выглядеть следующим образом:
Наибольшая крутизна такого склона составляет 41° (на рис. 1 вертикальный масштаб увеличен).
Граничные условия. Допустим, что базис эрозии, на который опирается склон в точке х = -2, сохраняется на постоянном уровне, т.е. кратковременные импульсы тектонических поднятий за короткое по сравнению с промежутками между импульсами время компенсируются, например, врезом реки. Условие на правой границе в точке х = 2 можно задать как равенство уклона нулю, т.е. существование горизонтального участка либо на плато, либо на вершине хребта. Тогда граничные условия должны быть записаны следующим образом:
0_I_I_I_I_I_I_I_I
-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0 0.5 1.0 1.5 2.0
Рис. 1. Начальный профиль склона.
Рассмотрим два важных случая: преобладание снижения склона за счет его крутизны, когда вклад кривизны мал и когда этот вклад в несколько раз больше. Коэффициенты А, В и С в первом случае равны соответственно 0.072, 0.001 и 0.52, во втором коэффициент В = 0.04, А и С те же.
На рис. 2 приведено решение данной задачи для первого случая в координатах: расстояние поперек склона-время. В течение промежутка времени до первого импульса поднятия у подножия склона вырабатывается плоская поверхность, ширина которой пропорциональна этому временному интервалу. После поднятия, произошедшего в момент г = 15, эта поверхность оказывается поднятой и продолжает свое развитие, продвигаясь "в глубь" склона. Ее тыловой уступ и бровка постепенно скругляются за счет фактора кривизны, но, тем не менее, и после второго импульса поднятия, по прошествии 40 условных единиц времени, эта горизонтальная ступень еще вполне четко выражена. Между двумя импульсами формируется еще одна, более узкая, соответствующая меньшему интервалу времени ступень, время сохранности которой значительно меньше, чем первой. Горизонтальная площадка, существовавшая в начальном профиле склона, к моменту второго тектонического импульса почти полностью исчезает.
Пространственные и временные единицы в этом решении условны, но если принять, что единица времени соответствует 10 тыс. лет, а единица расстояния 100 м, то в наиболее крутой своей части склон отступает со скоростью примерно 1.2 мм/год, что соответствует многим оценкам реального процесса [9]. Таким образом, при сделанных предположениях первая ступень шириной около 100 м сформируется у подножия склона за 150 тыс. лет.
X
104
БРОНГУЛЕЕВ
Рис. 2. Формирование и сохранение педиментов при относительно малой роли вязкопластического течения грунта. Ось х, направлена поперек склона, г - ось времени. Кратковременные тектонические поднятия происходят в моменты г = 15 и г = 25 условных единиц.
Рис. 3. Формирование и быстрое "спрямление" педиментов при значительной роли вязкопластического течения грунта. Обозначения те же, что и на рис. 2.
На рис. 3 показан второй вариант, в котором вклад кривизны склона в скорость его денудации существенно повышен. Легко заметить, что спрямление ступеней предгорной лестницы происходит гораздо быстрее и время их существования меньше. Во время формирования очередной
ступени ширина горизонтальной поверхности за счет аккумуляции у тылового уступа оказывается меньшей, чем в первом случае, а после ее поднятия она быстрее сужается за счет ускоренной денудации выпуклой бровки. Изначально существовавшая на исходном склоне ступень практически
не прослеживается уже к моменту г = 10. Почти так же быстро разглаживается и широкая ступень, образовавшаяся к моменту г = 15. Однако, слившись вместе, несколько этих ступеней образуют единую поверхность с наклоном, меньшим, чем у верхней части склона, причем выделить в ней следы отдельных пульсаций можно только в течение относительно непродолжительного времени после тектонического поднятия.
С другой стороны, сохранность предгорных ступеней зависит и от ширины ступени: чем она больше, тем дольше ступень прослеживается в профиле склона. Поэтому ступени, сформировавшиеся во время коротких интервалов тектонического покоя, могут быть полностью уничтожены, не оставив никаких следов, в то время как более широкие поверхности, соответствующие длительным интервалам, будут еще хранить память об этих тектонических эпизодах.
Хотя рассмотренная модель относится лишь к довольно специфическим условиям рельефооб-разования (быстрые, почти мгновенные импульсы поднятий, сохранение базиса эрозии на постоянном уровне), она подчеркивает весьма важное и довольно общее свойство рельефа: сохранность характеристических черт склона зависит от соотношения процессов, обеспечивающих снижение поверхности, пропорциональное уклону и пропорциональное кривизне, т.е. в сущности, пропорциональное первой или второй производной
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.