ФИЗИКА ЗЕМЛИ, 2007, № 8, с. 3-6
УДК 550.31
ДВУМЕРНЫЕ МОДЕЛИ УПРУГИХ ПРИЛИВОВ В ГОРИЗОНТАЛЬНО НЕОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ
© 2007 г. С. М. Молоденский, М. С. Молоденская
Институт физики Земли им. О.Ю. Шмидта РАН, г. Москва Поступила в редакцию 25.12.2006 г.
Рассмотрен вопрос о возможности определения локальных горизонтальных неоднородностей модулей сдвига и всестороннего сжатия среды по данным об амплитудах и фазах приливных наклонов и деформаций в окрестностях исследуемой области. Методом возмущений получены простые аналитические формулы, определяющие искомые эффекты; для простейших двумерных моделей получены их численные оценки. Показано, что при изменении отношений вариаций модулей сдвига и всестороннего сжатия изменяются не только амплитуды и фазы вариаций приливных параметров, но и вид кривых, определяющих зависимости аномалий приливных амплитуд от горизонтальной координаты. При достаточном пространственном разрешении это может существенно облегчить решение обратной задачи определения пространственных вариаций модулей упругости по приливным данным.
РАС8: 91.10.Tq
ВВЕДЕНИЕ
Как известно, изучение локальных неоднородностей коры и верхней мантии традиционными сейсмическими методами существенно осложняется из-за неопределенностей, связанных с параметрами очагов землетрясений. Метод искусственного вибропросвечивания свободен от этого недостатка, однако его использование связано с дорогостоящими источниками сейсмических сигналов, эффективное применение которых не всегда целесообразно. Лунно-солнечные приливы возбуждаются естественными источниками приливных сил, величины которых во все моменты времени известны весьма точно, поэтому использование данных об отклике среды на воздействие приливных сил с целью изучения механических свойств этой среды во многих случаях представляется весьма привлекательным. Следует также отметить, что приливные данные не дублируют сейсмические данные, так как позволяют зондировать свойства среды в существенно более низкочастотном диапазоне периодов (сутки и половина суток). Благодаря этому различию, сопоставление сейсмических и приливных данных позволяет оценивать не только модули упругости среды в окрестностях пунктов наблюдений, но и ее реологические свойства.
В последние годы наиболее существенные аномалии приливных наклономерных и экстензомет-рических факторов были обнаружены в окрестностях Оренбургского газоконденсатного месторождения и в окрестностях подножья Эльбруса, в Баксанском ущелье. В обоих случаях это связано, по-видимому, с наличием полости (возможно, содержащей некий жесткий каркас), средние моду-
ли сдвига которой существенно отличаются от модулей сдвига окружающей среды. Анализ отклика этой полости на воздействие приливных сил позволяет оценить (1) размеры этой полости и механические свойства ее верхнего купола и (2) на основании данных о толщине купола и о его эффективной жесткости оценить критерии его устойчивости (эта проблема весьма существенна в связи с опасностью обрушения купола, возникающей в результате откачки газа).
Наряду с проблемой обнаружения локальных неоднородностей среды, существует также проблема выявления глобальных горизонтальных неоднородностей мантии, которая должна проявляться, прежде всего, в аномалиях приливного гравиметрического фактора 5 (значения этого фактора зависят, в основном, от механических свойств нижней мантии и почти не зависят от локальных неоднородностей среды в окрестностях пунктов наблюдений).
Ниже приводятся общие соотношения, позволяющие определить величины радиальной и тангенциальных компонент смещений, а также изменений гравитационного потенциала на поверхности Земли с горизонтально неоднородными распределениями модулей упругости. Приводятся результаты численных расчетов влияния локальных неоднородностей упругих модулей на приливные наклоны и деформации.
1. ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
При рассмотрении локальных эффектов неоднородности среды на приливные наклоны и деформации можно ограничиться рассмотрением простейшей модели упругого и негравитирующего
4
МОЛОДЕНСКИИ, МОЛОДЕНСКАЯ
полупространства в соответствии с общим подходом, изложенным в работе [Молоденский, 1977].
Для построения функции Грина задачи о приливных деформациях неоднородной среды будем использовать теорему взаимности Бетти, для чего рассмотрим систему из двух вспомогательных решений (соответствующих значениям у = 1 и j = 2) однородных уравнений
Ь(иШ, V1') = 0; АУи) = 4 п аУ(р иш),
(1) (2)
скЩ = Со8(х - Хо)8(у -уо)8(г)ех при у = 1;
скЩ = Со6(х - Хо)8(у - Уо)8(г)ег при у = 2.
(3)
(4)
Со«Х1)(хо, о) = |((и(1), Е(г))йт
(5а)
|8Я[(У • иш)(У • ио) + 28^вт]йт (у = 1),
Сои^(Хо, о) = |(((и(1),(Ег)))йт =
т (56)
= - |8Х[(У • и(у))(У • ио) + 28^е\'кем]йт (1 = 2).
т
Определяемые граничными условиями (3, 4) векторы смещений и( = Х) и и( = 2) приведены, например, в книге [Ландау, Лифшиц, 1963]. Для вычисления интегралов (5 а) и (56) соответствующие
этим смещениям компоненты тензора напряжений удобно представить в виде
(1)
С Со
хх 3гх + [1 ЭГ_у_
2 п Я5 2 п(Х + [)ду {Я (Я + г)/
Суу 3 гу + [ д Г_
2 пЯ5 2 п(Х + [)дх {Я (Я + г)У
при 8-образных граничных условиях на внешней поверхности (соответствующих случаям воздействия точечных тангенциальных и нормальных нагрузок, имеющих 8-образную особенность в точке (хо, уо, 0):
ху
Со
с£ = _ 2 3хг
Со =- 2п Я5'
С(2) ^ XX _ 3 3 х
Со = 2пЯ
2 п Я5 дх ду
(1п (г + Я));
2 (1)
+
1_Г х , д Г х
(6)
2п Я5 2п(Х + [){Я3 д х2 {Я + г)У
- _ з ^.у2 + [ Г х д. д- Г _х_
Здесь (х, у, г) - локальная декартова система координат, ориентированная таким образом, что ось г ориентирована по нормали к элементу поверхности, а ось х ориентирована в направлении действия нагрузки для решения с у = 1, где Ь (и*1), У)) - /-компонента дифференциального оператора, определяющего /-компоненту суммарной силы, действующей на элемент объема среды, и^), У) - вектор приливных смещений и изменение приливного потенциала, соответственно.
Последовательная подстановка этих решений в соотношения взаимности Бетти дает:
2п Я5 2п(Х + [){я3 ду2 {Я +
С ху _ _ 3 х у + [1 д_Г х
2п я5 2п(Х + [)дхду {Я + г)'
С^у _ 3 х2г^ су2) _ 3 хуг _ Су! _ 3 х2г Со 2п Я5' Со 2 п Я5' Со 2 п Я5'
В случае двумерной задачи (когда неоднородности упругих модулей не зависят от у) из формул (5а,б) можно получить простые выражения для приливных наклонов и деформаций. Интегрируя компоненты (5а, 56) по у в пределах от до ^ и учитывая, что
(йу = 2- [йу = _4_- Г у "У = _£_
I п3 2; I п5 4; I п5 2'
* Я г ■'Я 3г ■'Я 3 г
—^ —^ —^
получим
Со
схх = Со = 2 х2г - 4 пг С(2) Со _ 2 х3. = 4; пг
= ГёС 1 ° 21. - 4 ; пг С(2) ^ гг _ Со = 2г2 х 4 ; пг
сг = _ Со =- 2г2 х 4 ; пг С(2) г Со = 2 х2г^ 4 ; пг
X г С(2) _ Хх
п(Х +1) г2' Со п(Х + [)г2
о
2
3
о
о
о
и
ДВУМЕРНЫЕ МОДЕЛИ УПРУГИХ ПРИЛИВОВ 5
Рис. 1. Относительные поправки к приливным деформациям (кривые 1, ..., 5 соответствуют моделям 1, ... , 5, соответственно).
символом || обозначен результат двойной подстановки от х1 до х2 по х и от до по г. Для вычисления входящих в соотношение величин V • и0, ехх0 для невозмущенных приливных смещений используем известную формулу Лява, определяющую вектор приливных смещений в упругой сфере, обладающей сферической симметрией:
и0 = £(к(г)егГп (д, Ф) + I(г)VГп (д, ф)), (10)
где £ - константа, равная отношению амплитуды приливного потенциала к среднему гравитационному потенциалу Земли на ее поверхности, У^ (д, ф) -сферическая функция (для основных компонент приливов п = 2; т = 0, 1, 2 для длиннопериодных, суточных и полусуточных приливных компонент, соответственно); к(г) и I (г) - извесные функции радиуса г, определяемые как решения известных обыкновенных дифференциальных уравнений шестого порядка, задающих условия упруго-гравитационного статического равновесия Земли под действием приливных сил (на поверхности Земли значения, к(г) и I (г) определяют числа Лява и Шида, соответственно). Из формулы (10) в сферической системе координат нетрудно получить следующие выражения для дивергенции смещений:
V. и0 = СУт(д,ф)(к'(г) + 2к(г) _п(п_+_1)I(г)).
Подстановка этого выражения в (8) и (9) полностью определяет искомые эффекты влияния локальных неоднородностей на амплитуды и фазы приливных наклонов и деформаций.
Используя эти выражения, нетрудно получить сравнительно простые аналитические решения задачи о приливных деформациях упругого полупространства с протяженными вдоль оси у неоднородностя-ми. Так, например, в случае неоднородностей упругих модулей величиной (5А,, 5ц) в бесконечно длинном по оси у прямоугольном параллелепипеде х1 < < х < х2; < у < < г < решение имеет вид:
Э ^ А, 2
-г-— = А 1п г
д х о
= С аг^ Г
+В
(х - х о )
х х о
+В
(х - х о ) Г
(8а) (86)
где
г2 = (х - х 0)2 + г2,
А =
1
2 пц(А, + ц)
х
х^. и 0 [ ц5А, - 2ц 5ц - А,5ц ) - А,5ц е
хх0 (•>
(9)
В = -5Ц и о^ + е
пц I
2ц
"хх0 Г ?
С = -7Г1—чIV- и0{А5ц-5^1 -5ц п(Х + ц)| 0 [ 2 ц ^ ^ ^
ехх0 = и0 )х/д ^
хх0 Г?
МОЛОДЕНСКИИ, МОЛОДЕНСКАЯ 2.0
-10
-2.0
III
Рис. 2. Относительные поправки к приливным наклонам (кривые 1, .. ственно).
5 соответствуют моделям 1, ..., 5, соответ-
2. ПРОСТЕИШИЕ МОДЕЛИ
Для оценки зависимости описываемых этими формулами решений от параметров нами были рассчитаны пять моделей с отношениями вариаций модулей сдвига и всестороннего сжатия, изменяющимися в широких пределах. Были рассмотрены следующие пять моделей:
Модель 1 - йХ/Х = 0; ф/[ = -1;
Модель 2 - йХ/Х = -0.25; ф/[ = -0.75;
Модель 3 - йХ/Х = -0.5; ф/[ = -0.5;
Модель 4 - йХ/Х = -0.75; ф/[ = -0.25;
Модель 5 - йХ/Х = -1; ф/[ = 0. На рис. 1 и рис. 2 представлены графики зависимостей относительных изменений приливных наклонов и деформаций в точке на поверхности Земли в точке Ф = 45°; для чисел Лява и Шида приняты значения к = 0.60; I = 0.08.
Как видно из рисунков, при изменении отношений "Х/Х, ф/[ изменяются не только амплитуды вариаций приливных параметров, но и вид кривых, определяющих зависимости аномалий приливных амплитуд от горизонтальной координаты. При достаточном пространственном разрешении (т.е. при достаточно частой уста
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.