научная статья по теме ДВУМЕРНЫЙ АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ ТЕЧЕНИЙ ЭЛЕКТРОПРОВОДЯЩЕЙ СРЕДЫ МЕЖДУ ПРОНИЦАЕМЫМИ ПЛОСКИМИ ЭЛЕКТРОДАМИ, НАКЛОНЕННЫМИ К ГОРИЗОНТУ Физика

Текст научной статьи на тему «ДВУМЕРНЫЙ АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ ТЕЧЕНИЙ ЭЛЕКТРОПРОВОДЯЩЕЙ СРЕДЫ МЕЖДУ ПРОНИЦАЕМЫМИ ПЛОСКИМИ ЭЛЕКТРОДАМИ, НАКЛОНЕННЫМИ К ГОРИЗОНТУ»

МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 4 • 2015

УДК 532.5:533.9

ДВУМЕРНЫЙ АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ ТЕЧЕНИЙ ЭЛЕКТРОПРОВОДЯЩЕЙ СРЕДЫ МЕЖДУ ПРОНИЦАЕМЫМИ ПЛОСКИМИ ЭЛЕКТРОДАМИ, НАКЛОНЕННЫМИ К ГОРИЗОНТУ

© 2015 г. А. П. ГЛИНОВ

МГУ им. М.В. Ломоносова, Научно-исследовательский институт механики, Москва

e-mail: krestytroitsk@mail.ru

Поступила в редакцию 16.12.2014 г.

На основе уравнений Обербека—Буссинеска и тепловой модели разряда рассмотрены течения электропроводной сплошной среды, обусловленные джоулевым тепловыделением в наклонном плоском слое в поле силы тяжести. При модельной (линейно убывающей) зависимости удельного электрического сопротивления межэлектродной среды от температуры построены одномерные стационарные фоновые решения и изучены вольт-амперные характеристики (ВАХ). Исследование проведено с учетом проницаемости электродов для электропроводящей среды при наличии вдува через один электрод и отсоса через другой. Анализ устойчивости в электротехническом (одномерном) приближении показал, что при определенных условиях существуют решения, соответствующие участкам ВАХ с отрицательным дифференциальным сопротивлением. Соответствующие этим решениям течения сплошной среды в межэлектродном пространстве разряда могут быть неустойчивы. В электротермическом приближении, когда отсутствуют возмущения скорости, приведены результаты расчетов инкрементов неустойчивости горизонтального слоя.

Ключевые слова: электрическая дуга, вязкая жидкость, вдув, проницаемый электрод, вольт-амперная характеристика, устойчивость, конвекция.

Анализу неустойчивости (например, перегревной) электродугового разряда [1, 2] посвящено большое количество исследований (монографии [3, 4] и обзор [5]). Однако при наличии гравитационного поля в разряде могут возникать конвективные течения межэлектродной среды, как следствие развития конвекции из-за наличия объемного источника тепловыделения [6, 7], в частности, в виде джоулевой диссипации. В случае сплошных (непроницаемых для электропроводящей среды и окружающего газа) идеальных (изотермических и эквипотенциальных) электродов перегревно-конвективная неустойчивость горизонтального слоя изучалась в [8]. Принципиальное отличие решаемой задачи от задач [6—8] — произвольный угол наклона а электродных пластин, зависимость объемного источника тепла от температуры T и проницаемость электродов.

Важность учета наклона электродов по отношению к направлению силы тяжести и проницаемости, в частности, графитовых электродов с открытой пористостью показана ранее в экспериментальной работе [9]. В ней на частных примерах изначально вертикально и горизонтально направленного ствола разряда продемонстрировано, что его форма и динамика существенно зависят как от пространственной ориентации электродов, так и от наличия или отсутствия газоплазменных струй, выходящих с электродных поверхностей, достаточно удаленных от зон привязки опорных пятен.

Фиг. 1. Схема разрядной системы c проницаемыми электродами

В настоящей статье определяются и исследуются аналитические решения стационарной фоновой задачи с проницаемыми электродами, через один из которых проводится вдув, а через другой — отсос электропроводящей среды. При этом рассматривается случай произвольного наклона электродных пластин. Это может быть интересно, в частности, при анализе компактности плазменного поршня в электродинамических ускорителях макротел с электродуговым якорем [10, 11]. В подобных метательных устройствах угол ориентации канала характеризует направление полета метаемого тела.

1. Постановка задачи. Изучается протекание электрического тока I между параллельными плоскими электродами, к которым приложена разность потенциалов U (фиг. 1). Межэлектродный зазор заполнен электропроводящей жидкой или газообразной сплошной средой. Электроды твердотельные, но проницаемые для межэлектродной и окружающей среды. Рассматривается двумерная нестационарная задача в декартовой системе координат, в которой ось x направлена перпендикулярно к электродным пластинам, а z — параллельно им. Единичный вектор у направлен вертикально вверх против вектора ускорения свободного падения g. Электропроводящий слой наклонен по отношению к вертикали под углом а.

Предполагается, что на внешних поверхностях электродов осуществляется распределенный подвод тока, например, за счет их специального секционирования. Это обеспечивает в межэлектродном зазоре изначально однородное распределение тока

jx = -jo = const.

На электродах задаются постоянные температуры: T = Tw = const. Через поры или равномерно распределенные по объему электродных пластин тонкие поперечные отверстия осуществляется вдув или отсос электропроводящей жидкости (газа) со скоростью uxb, соответствующей среде в межэлектродном промежутке при температуре Tw. Пластины электродов параллельны, а расстояние между ними 2h. На фиг. 1 приведен также эскиз профиля фоновой температуры T0 (x). Возникающее из-за джоулева нагрева конвективное течение ограничивается наличием торцевых непроницаемых стенок при z = ±ю и имеет профиль скорости V0z (x). Его немонотонный характер обусловлен замкнутостью течения. Наличие непроницаемых торцевых стенок при z = ±ж приводит к необходимости обеспечения нулевого расхода

е = |V, {х)йх = 0 (1.1)

Удельное электрическое сопротивление задается линейно убывающей функцией температуры

f _ \

Н* = 1 -5

Т ■-1

T

V а* У

(1.2)

Здесь а — электропроводность, T — температура; 8, а*, Та* — параметры аппроксимации зависимости а (Т).

Предполагается, что магнитное число Рейнольдса, определенное как в зазоре, так и в электродах, мало, и можно пренебречь влиянием собственных магнитных полей протекающих токов на физико-механические процессы в зазоре и электродах.

Если пренебречь токами смещения и ввести электрический потенциал ф, электродинамические уравнения сведутся к эллиптическому уравнению, а плотность тока j определится из закона Ома

div (оУф) = 0, j = -<гУф (1.3)

Здесь а — электропроводность межэлектродной среды, определяемая по (1.2).

Тепловые и гидродинамические параметры конвективного течения в зазоре определяются по модели Обербека—Буссинеска [6, 7]

Р*Ср (dT + vVT) = кДТ + Q, Q = ¿ (1.4)

V dt / о

Р* (f + VVV) = + + Р*8в(Т - Тр*)у (1.5)

Y = (-sin a,0,cos a), v = (ux,uy ,uz) (1.6)

p = p*[1 - в(Т - Тр*)], div v = 0 (1.7)

где (1.4) — уравнение теплопроводности с учетом джоулева тепловыделения Q; (1.5) — уравнение Навье—Стокса несжимаемой жидкости в приближении Обербека—Буссинеска. Единичный вектор у (1.6) характеризует ориентацию сил плавучести. Соотношения (1.7) — уравнение состояния и условие несжимаемости.

В (1.4)—(1.7) Т — температура, v — скорость, p — давление, р*, Тр*, в — параметры аппроксимации зависимости р (р,Т): р* и Тр* — "средние" плотность и температура [7], Р — объемный коэффициент теплового расширения; cp — удельная теплоемкость, к — коэффициент теплопроводности, Q — объемный источник тепловыделения в виде джоулевой диссипации, t — время, ^ — динамическая вязкость, g — ускорение свободного падения.

Граничные условия на электродных поверхностях определены как

x = h: Т = Та„, ф = 0

x = -h: Т = Тс„, ф = —U

x = ±h: и z = и y = 0, Ux = и xb (1.9)

h

а

где х = -Н — граница катод-слой межэлектродной среды, х = Н — граница слой-анод.

Первые два условия (1.8) задают граничные значения температуры и потенциала на поверхности анода, а вторые — катода. Предполагается, что Taw « Tcw = Tw = const. Соотношения (1.9) — гидродинамические и представляют собой условие прилипания частиц электропроводящей среды к твердым поверхностям катода и анода и условие непрерывности нормальной поверхности электродов скорости.

Наконец, условие замкнутости конвективных течений в зазоре дается соотношением (1.1).

2. Основное решение. Задача (1.1)—(1.9) допускает одномерное стационарное решение. Оно помечено далее индексом "0" и зависит только от одной (нормальной пластинам электродов) координаты x и удовлетворяет следующим уравнениям:

о(То) ^ = jo = \jx\ = const (2.1)

dx

,2™ .2 к d-To + dx a*

1 -8|T^ -1 Ta*

= 0 (2.2)

dpo dx

= -p*gP(To - Tp*)sina (2.3)

8-p° = uyo = Uxo = о (2.4)

dy

^ = fp = const (2.5)

dz

d 2

ц—^ + P*gP(T - Tp*)cosa = fp (2.6) dx

U0x = fux = const (2.7)

Граничные условия для фоновой задачи остаются прежними: (1.1), (1.8), (1.9).

Закон Ома (2.1) и баланс тепла (2.2) с учетом граничных условий позволят в дальнейшем построить вольт-амперные характеристики разряда. После определения температурного фона T0 (2.2) и поля скоростей u0z,u0x (2.6), (2.7) из уравнений (2.3)—(2.5) устанавливаются градиенты давления. Константа продольного градиента давления f в (2.5), (2.6) находится из условия замкнутости течения (1.1). Константа поперечной скорости fux в (2.7) определяется по третьему условию в (1.9).

Далее вводятся следующие масштабы переменных для проведения обезразмерива-

2 2 2 2 ния: x* = h — расстояние, t* = h /v — время, Q* = j*/a* = а*ф*/h — джоулево тепловыделение, и* = gP Q*h4 /(2vk) — скорость, T* = Q*h2/(2к) — температура, Ф* = U * = (2kT* / ст*)1/2 — электрический потенциал, j* = о*ф* / h — плотность электрического тока, у * = uh — гидродинамическая функция тока, p* = р*gP Q*h3/(2к) — давление.

Система дифференциальных уравнений для определения фона (2.1)—(2.7) с граничными условиями (1.1), (1.8), (1.9) имеет решение

Uoz = B + Bfc- cos a- F (5) + -1) u* 2

(2.8)

В = cos а

(X 0 ) В1 = cos а ■ Г(1)

/1 = 3 \В - cos а

C^-2ch(X0 ) + -—ch(X0 )

(X 0 + X

(х 0 - х1)

——^ (X0 +Х1) +-——з^ (X0 -Х1

(X0 - Х1

г ^ % с\ ^6хр (0 + а) )) + л ,2ехр (( 0 - а )

(а0 + л1) (л0 - л1)

= А + ехр (X 0$ [С1 ехр (Х£) + С2 ехр (-Х£)]

(2.9)

А = ■

X 0 = —, Х1 = ^Х 2 + Ъ, Ъ = 25

]*А

и = - [С1 (X0 + ) sh ( + ) + С2 (0 - ) sh (X0 - Я.1 )]

и

]0

(2.10)

бш а

1 др1 Т - Тр Р* д^

НдР° = /„, /Р = /1 +1 А|соба р* д,

(2.11)

Ц)х

Ре

и* GrPr

(2.12)

X =-

Рг = У, Gr = ^ е*Н

р*Ср

X

2у 2К

Ре = ихЪН, У=А

X

Р*

Здесь х — коэффициент температуропроводности; Рг, Ре, Gr — числа Прандтля, Пекле и Грасгофа; V — кинематическая вязкость.

Остальные константы в (2.8)—(2.11) имеют следующий вид:

— = Т _ А

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Физика»