ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН
№ 2, 2014
УДК 539.3
© 2014 г. Тарлаковский Д.В., Федотенков Г.В.
ДВУМЕРНЫЙ НЕСТАЦИОНАРНЫЙ КОНТАКТ УПРУГИХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ
ИЛИ СФЕРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК
Рассмотрены нестационарные контактные задачи с подвижными границами для двух упругих цилиндрических или сферических оболочек типа С.П. Тимошенко. С помощью принципа суперпозиции получена система разрешающих уравнений. Найдены функции влияния для оболочек в виде разложений в ряды Фурье. Построен и реализован численно-аналитический алгоритм решения.
Исследования процессов нестационарного контактного взаимодействия имеют важное значение для развития современной промышленности и технологий. Задачи о нестационарном контакте упругих оболочек являются особенно актуальными в практическом отношении при создании и расчете современных объектов авиационной и ракетно-космической техники. Это проблемы, связанные с ударными взаимодействиями при транспортировке, при стыковке космических аппаратов, проблема контакта спутников и орбитальных станций с космическим мусором.
Постановка задачи. Рассматриваются нестационарные контактные задачи с подвижными границами для двух тонких однородных упругих круговых цилиндрических или сферических оболочек одинаковых радиусов Я и толщин к. В начальный момент времени одна из оболочек (основание) неподвижна, а другая (ударник) движется с некоторой начальной скоростью ¥0, вектор которой сонаправлен с осью г, соединяющей центры оболочек (рис. 1). В случае двух цилиндрических оболочек первоначально контакт происходит вдоль образующей граничных поверхностей, а сами оболочки предполагаются бесконечно длинными, что приводит к плоской постановке задачи. Для варианта сферических оболочек область контакта первоначально совпадает с точкой касания полюсов оболочек и соответствующая задача является осесиммет-ричной. В обоих вариантах предполагается, что контакт происходит в условиях свободного проскальзывания. Область контакта изменяется во времени и положение ее границы определяется в процессе решения задачи.
Далее используем систему безразмерных параметров (штрихом обозначены размерные величины)
2
и - "-лив У - Утв, т - у2 - п2 - С1 с2 - ^ + 2 Ц
ит,в - р , - р , Т - К, У - -2, П - 2, С1 - -,
К К К ПК1 с22 р
2 _ Ц _ Рт,в _ 9т, в
С п - — п - - " - -
2
Р 2л/3(А, + 2ц)у 2Т3(А. + 2ц)у
тв 24Ь урК1
¥° тв
¥° - , тв - -2-,
° с в о /5..„с1 + в
где ит р, р — касательные и нормальные перемещения оболочек; рт р, дт р — внешние касательное и нормальное давления; индекс в = 1 соответствует случаю круговой цилиндрической, а в = 2 — сферической оболочке; величины с индексом т = 0 относятся к основанию, а с индексом т = 1 — к ударнику; 1, в и р — упругие постоянные Ламе и плотность материала оболочек; ех и с2 — скорости распространения волн растяжения—сжатия и сдвига; тр — масса оболочки.
Движение оболочек описывается уравнениями в форме С.П. Тимошенко, учитывающими сдвиг и инерцию материальных волокон, нормальных к срединной поверхности [1]. В безразмерном виде с учетом двумерности задач они имеют следующий вид (точками обозначено дифференцирование по т; нормальные перемещения направлены в сторону внешней поверхности):
^т,в = ^Р+ Чт, р, = (Ыш,в' ™т,в'1т,в) , (1)
Ц = ()3 х 3, Чт,в = (рт,в Ут,в> 0) ,
где Хт в — угол поворота нормального к срединной поверхности до деформации волокна за счет сдвиговых деформаций.
Искомые функции зависят только от угла ат и времени т, где в случае цилиндрических оболочек ат — полярный угол (ат е [—я, я]), а в случае сферических оболочек это угол сферических систем координат (ат е [0, п]). В обоих вариантах углы отсчитыва-ются по часовой стрелке от оси, соединяющей центры оболочек (рис. 1). Дифференциальные операторы Ь, р с учетом малости у (у2 1) имеют следующий вид [2, 3] (ат = а):
цилиндрическая оболочка
2 2 Т д 2 2 2 2 д т 2 д ,22
¿11,1 = —2- П к , Х12,1 = -Х21,1 = (1 + П к ) ■—, ¿13,1 = - у —2 + П к ,
да2 да да2
г' Рис. 2
2,2 д
2,2 д
,2 5
Ь22,1 - п к 2 - ^, Ь23,1 - п к Н-, к - -,
да
да
Т Т 2 Т Т 2 * 2 2 д .
ь31,1 - -ьзз, 1 - У ь13,1, ь32,1 - -п к У да'
сферическая оболочка
ь
"11, 2
/2--1- + П2 (2 - к2), Ь12,2 - [ 2 (1-п2) + П 2к2 ]да,
зт а да
2
г 2, , 2 2 . д , д . Ь13, 2 - -У 12 + П к , 12 - -2 + Т- а,
' да2 да
22
22
Ь21, 2 - -[2(П -1) + П к ]/1, Ь22, 2 - П к/2-4( 1 -П ), 11 - Т" + а,
да
22
2 2,2 д
Ь23,2 - п к 11, Ь31,2 - У Ь13, 2, Ь32,2 - -У п к , Ь33,2 - -Ь
да
31, 2
Область контакта П в линейной постановке задачи [4] заменяется частями неде-формированных срединных поверхностей, сдвинувшихся в момент времени т > 0 вдоль оси г на величины р(т) — перемещения ударника и основания как абсолютно
твердых тел. Границы этих частей определяются углом ат (т), который находится из
условия их пересечения (рис. 2)
соеа*(т) - 1-1[уир(т)-у^р(т)], а* - а* - -а*.
(2)
При этом в области контакта а0 = —а1 = а.
Линеаризованные граничные условия с учетом свободного проскальзывания записываются так (рис. 2)
w
w
2
+ ™1,в = 0, ?0,р = 91, р при а е [0, а*], ?0,р = 91,в = 0 при ат й [0, а*], р{)>р = Р\,р = 0 при ат е[0, п].
Здесь в случае цилиндрических оболочек учитывается симметрия задачи по углам ат.
Перемещения ударника и основания как абсолютно твердых тел определяются из решения следующих начальных задач
трwms, р(т) = бт,р(т), 0) = 0, ^т*, р(0) = ^Ат- (4)
Здесь 81т — символ Кронекера; Qm р(т) — результирующие силы контактного давления, которые вычисляются по формулам
а*(т)
Qm, i(t) = 2 (-1 )m + 1 J qm i(a, т) cos a da,
0
а*(т)
Qm, 2(т) = П(-1 )m + 1 J qm, 2(a> T) sin2ada•
0
Замыкают постановку задачи начальные условия
М0,р|т = 0 = W0,p|T = 0 = Х0,р|т = 0 = М1,р|х = 0 = W1,p|x = 0 = Х1,р|т = 0 = 0,
u0,p|x = 0 = w0,p|x = 0 = X0,p|T = 0 = Х1,р|т = 0 = 0,
«1,р|т = 0 = -V0sin a1, ^1,р|т = 0 = V0c0s a1.
Сведем поставленные задачи к задачам с нулевыми начальными условиями. Для этого перемещения ударника u1 р и w^ р представляем так u1 р = u1 ^ — V0t sin a1,
w1 р = wv1 p + V0t cos a1. При этом остаются в силе уравнения движения (1) с заменой
u1 в и w1 р на u1 р и w1 р , а первое граничное условие в (3) принимает вид
w1; р + w0, р = -V0t cosa при ae[ 0, a * ] • (5)
В дальнейшем знак "~" в обозначениях для перемещений опускаем. Система разрешающих уравнений. Основываясь на принципе суперпозиции [1, 4], нормальные перемещения ударника и основания связаны с контактным давлением посредством интегральных операторов (здесь и далее, учитывая выполнение граничных условий, нижний индекс "m" в обозначении для контактного давления опускаем:
qm, р = ^р)
т a*(t)
wm p(a,T) = Zp(a,T; qp), 71(a, т; q1) = J J G2, 1 (a - 9, т - t)q1(9, t)d9dt,
0 -a*(t)
т a*(t)
J2(a, т; q2) = 2nJ J G2 2(a, 9, т - t)q2(9, t)sin9d9dt,
0 -а*« (6)
та'(( )
о,
00
где 02 р — функции влияния оболочек, которые представляют собой нормальные перемещения как решения следующих задач:
2 2 T
д Gp/дт = LpGp + qp, Gp = (G1;P, ^p, G3>p) , (7)
= [0,5(а)5(т), 0]T, i2 = [0,5(а-Э)5(т), 0]T, Gp|T = 0 = <5p|T = „ = (0, 0, 0)T.
Здесь 8(-) — дельта-функция Дирака.
Подстановка интегральных представлений (6) в граничное условие (5) приводит к интегральному уравнению
2/р(а, т; gp) = -V0t cos а. (8)
До замкнутой системы разрешающих уравнений оно дополняется уравнением (2), определяющим угловой размер области контакта и интегральными уравнениями
w
is,
р(х) = V0 т + -i-/í>p(x), W0s,p(x) = -/,,р(т), /,>р(т) = f(x- t)Qe(t)dt, (9) mp mp J
которые эквивалентны задачам (4).
Функции влияния оболочек. Для построения функций влияния 02 р как решений задач (7) применим метод разделения переменных. Представим функции Ох р, 02 р, С3 р и контактное давление в виде рядов Фурье по тригонометрической системе функций (цилиндрические оболочки) или по полиномам Лежандра и Гегенбауэра (сферические оболочки)
С \ ™ С ! 1 V-! от
\
G,
У í Gnl'e Vp(a), í 1 = - í Go2>P 1 + У í Gn2>e l^p (а), з,в j n = l^ Gn\e) ^ ч ) 2^ qo,e) n = l^ qn,e)
GnK i = Gnk i(т), GnK i = GnK i(3, т) (k = 1, 2, 3), (10)
qn, i = 18(т), qn, 2 = 2nr--Pn(cos9)5(т), 9n, i(а) = Sinnа, у i(a) = cosnа, п 2
3/2
Фп, 2(а) = Cn-1 ( coSа), Vn, 2(а) = Pn(coSа) • Здесь Pn(x), C^ti (x) — полиномы Лежандра и Гегенбауэра, связанные между собой
3/2
Cn-1 (x) = dPn(x)/dx• Функции фп 1 (а), yn 1(а) образуют полные ортогональные системы функций в пространстве L2([0, я]), а фп 2 (а), yn 2(а) — в L2([0, п]; sin а) и L2([0, п]; sin3a), соответственно, и имеют нормы
п п
||фп, 1 (а)||2 = Jsin2 n а da = ||yn, 1 (а)||2 = Jcos2 на da = п,
00 п
2 Г 2 2
IK,2(а)|| = J[Pn(cosа)] sinada = 2n-¡r~[,
0
п
llVn, 2(а)|2 = J[ Cn3/21 (cos a)] 2sin3 a da = 2 ( n + 1 +( 3 + 2 ) •
0
Подстановка разложений (10) в уравнения (7) и применение интегрального преобразования Лапласа по времени приводит к системам алгебраических уравнений отно-
Т
0
сительно образов О^1 р , О^2 р , О^3 р коэффициентов рядов (10) (5 — параметр преобразования Лапласа, п > 0)
ABGB, r - -4«, В , Gl В - (Gb1,B, Gn2, в, G«3, в) , Ae - (Aj, В)
i/',^ 3 X 3'
П T П T
qn, 1 - (0,1/n, 0) , qn 2 - [0, P„(cos3)(2« + i)/2,0] ,
(11)
Ai -
, 2 2,2. 2 .. 2,2. 2 2 2,2
- (n + n л ) - s -n(1 + n к ) y n + n к
-n(1 + n2k2) - (1 + «2n2к2) - s2 «n2k2
2 2,2 -2 n + n к y
-nn2k2y 2 - (n2 + n2k2y 2) - s2 У
A2 -
,2 2 2 k1 - n1 - s
2 - к
,2 2 2 к2 + n1 Y
2,^ ,24 2 2 2. 2 2 2 2,2 n1 (2 - k1) - a - n1 n к - s -n1 n к
22 n1 + к3
- к3 - 2
2,2 2 - n1 - к3 - s у
Здесь введены обозначения n1 = n(n + 1), к2 = n2(2 — к2), к^ = n2(k2 — 2y2),
2
к32 = n2(k2Y-2 - 2), а2 = 4(1 - n2).
Заметим, что при n = 0 в первой и во второй задаче получаем по одному нетривиальному уравнению
•• 1 •• 2 1
G02, 1 - - G02,1 + -8(т), °02, 2 - - a G02, 2 + -8(т), П 2
решения которых имеют вид G02 : = 1 sin т, G02 2 = - sin ат.
' п ' а
При n > 0 рещения уравнений (11) в пространстве изображений имеют вид
2
X 's2, n2)
G
n2, 1 2
' П 3
2 2 2 2 -, P1 (s, n) - n к [«(y - 1) -s(y + 1)],
(12)
X 's1, «2)
j -1
2 2 2 2 2 2 2 P2(s, n) - y [«(y - 1) - s][n(y + 1) + s], R1(s, n) - n к [n(2n к + y ) - s(y + 1)],
2222 2 222 4
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.