научная статья по теме ДВУСТОРОННИЕ ОЦЕНКИ НАИБОЛЬШЕГО ПОКАЗАТЕЛЯ ЛЯПУНОВА И КРИТЕРИИ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ ЗАПАЗДЫВАНИЕМ Автоматика. Вычислительная техника

Текст научной статьи на тему «ДВУСТОРОННИЕ ОЦЕНКИ НАИБОЛЬШЕГО ПОКАЗАТЕЛЯ ЛЯПУНОВА И КРИТЕРИИ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ ЗАПАЗДЫВАНИЕМ»

Автоматика и телемеханика, № 1, 2012

Нелинейные системы

© 2012 г. А.А. ЗЕВИН, д-р физ.-мат. наук, С.Ю. ПОСЛАВСКИЙ

(Институт транспортных систем и технологий НАН Украины, Днепропетровск, Украина)

ДВУСТОРОННИЕ ОЦЕНКИ НАИБОЛЬШЕГО ПОКАЗАТЕЛЯ ЛЯПУНОВА И КРИТЕРИИ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

Рассмотрена система нелинейных дифференциальных уравнений с заданной линейной частью, ограниченным по норме нелинейным слагаемым и с переменным сосредоточенным и распределенным запаздываниями. Найдены двусторонние оценки наибольшего показателя Ляпунова, выраженные с помощью нормы нелинейного члена и максимумов функций запаздывания. Для некоторых систем найдено точное значение указанного показателя. Полученные результаты дают достаточные (а в некоторых случаях и необходимые) условия экспоненциальной устойчивости системы, инвариантные относительно запаздывания. Приведены примеры, иллюстрирующие применение разработанной методики.

1. Введение

Рассматривается система дифференциальных уравнений:

t

(1) x(t) + A(t)x(t) = B(t)x(t - tb(t)) + f (x(t - т(t)),t) + C(t) J x(s)ds,

t—^

x e Rn, т(t) e [0,h], tb(t) e [0, hB], x(t) = x0(t) при t e [-h*, 0], h* = max(h, hB),

где A(t), B(t) и C(t) -заданные матрицы. Функции т(t), tb(t), xo(t) и f (x,t) кусочно-непрерывны, причем ||xo(t)|| < M и

(2) |f(x,t)|| < k ||x|| ,

где ||-|| - любая норма вектора и согласованная норма матрицы. Наибольший показатель Ляпунова равен:

(3) А = A(k, h) = sup А(т, tb, f, x0),

где А(т, f, xo) - показатель Ляпунова решения x(t, tb, xo, f), а супремум вычисляется по всем функциям т(t), tb(t), xo(t) и f (x,t), удовлетворяющим указанным выше условиям.

Таким образом, начиная с некоторого N для любого решения системы (1), (2) имеем:

(4) ||x(t)|| < Nexp(At), t e (0, то).

Поэтому необходимым и достаточным условием экспоненциальной устойчивости системы служит неравенство Л < 0.

Исследованию уравнений рассматриваемого типа посвящено много публикаций. В большинстве исследований выводятся условия устойчивости, выраженные с помощью заданной нормы нелинейных членов и максимумов функций запаздывания; значительно меньшее число работ связано с вычислением верхней границы максимального показателя Ляпунова. Для решения таких задач разработаны различные методы, основанные, главным образом, на использовании функций или функционалов Ляпунова (см., например, [1-6]). Более явные результаты, выраженные непосредственно в параметрах системы, получены с использованием неравенств для решений соответствующих дифференциальных уравнений [7-9].

Для некоторых систем рассматриваемого типа найдены необходимые и достаточные условия устойчивости [9-12], однако подавляющее большинство условий являются лишь достаточными. Недостатком таких условий (равно как и известных оценок показателей Ляпунова) является то, что степень их консерватизма остается неизвестной.

В данной работе найдены двусторонние границы, позволяющие локализовывать максимальный показатель Ляпунова и тем самым оценивать возможный консерватизм их вычисления. Указаны случаи, для которых найденные границы совпадают и, следовательно, дают точное значение максимального показателя; соответствующие условия устойчивости являются необходимыми и достаточными. Заметим, что верхние границы получены с помощью методики, развитой в [9, 10], в то время как способ вычисления нижних границ предложен здесь впервые.

2. Верхняя оценка Л

Представим решение (1) в виде (5) ж(г) = Ш(¿, 0)х(0) +

г в

+ У Ш(М) /(х(в - т(в)),в) + В(в)ж(в - тв (в)) + С(в) У ж(м)Л

¿в,

где Ш(£, в) - матрицант уравнения ж(£) + А(£)ж(£) = 0. Пусть а - его наибольший показатель Ляпунова, тогда при некотором М > 0 и любых 0 < в < £ < то

(6) ||Ш(м)||< Мехр(а(£ - в)).

Ясно, что верхнюю границу величины Л следует искать в интервале

(7) Л > а. Положим:

Л, т) = J ехр[-Л(£ - в + т(в)] ||Ш(£, в)|| ¿в,

о

г

^(¿,Л,тв) = I ||Ш(М)В(в)|| ехр[-Л(£ - в + тв(в))]^ +

о

г

+ 1~ехР(~Лм) I \\\У(г,з)С(з)\\ехр(-Х(г~з^з.

о

о

В силу (6) и (7) функции v(t, Л) и vi(t, Л) ограничены на [0, то); положим:

(8) v(Л, т) = sup v(t, Л, т), vi(Л, тв) = sup vi(t, А, тв) при t > 0. t t

Заметим, что если матрицы A, B и C постоянны, то

W(t,s) = W(t - s), t

v(t, Л, т) = J exp[-A(t - s) + т (s)] ||W (t - s)|| ds =

0

t

(9)

= |exp[-Л(* + t(s))] ||W(s)|| ds,

0

t

vi(t, Л, tb) = У ||W(s)B|| exp[-Л(s + tb(s))]ds +

0 t

+ 1"eXP("V) J ||W(s)C|| exp(—As)ds. 0

Очевидно, что здесь v(t, А, т) и vi(t, А, тв) монотонно возрастают по t, поэтому v(А, т) = lim v(t, А, т), v1(А, тв) = lim v1(t, А, тв) при t ^ то.

Учитывая, что lim[1 — exp(-А^)]А-1 = ^ при А ^ 0, получим

t t v1(0) = J ||W(t,s)B(s)|| ||W(t,s)C(s)|| ds.

00

Обозначим А+ = А+(к) - наибольший по т(t) и тв (t) корень уравнения

(10) kv( А, т)+ vi( А,тв) = 1.

Соответствующие функции т(t) и тв (t) определяются из следующих соображений. Как видно из (9), v(t, А, т) и vi(t, А, тв) убывают по А. Поэтому А+ < 0 и А+ > 0 при kv(0)+ v1(0) < 1 и kv(0)+ v1(0) > 1 соответственно. С другой стороны, при возрастании т(t) и тв (t) функции v(t, А, т) и V1(t, А, тв) убывают при А > 0 и возрастают при А < 0. Поэтому при вычислении v(А, т) и v1(А, тв) в (10) следует положить т = h, тв = Л.в в случае kv(0) + v1(0) < 1 и т = 0, тв =0 в случае kv(0) + v1(0) > 1 (при kv(0) + V1(0) = 1 левая часть (10) не зависит от т(t) и тв(t)). Следующая теорема дает верхнюю границу показателя А.

Теорема 1. В системе (1), (2)

(11) А < А+.

Доказательство. Пусть ж(г) - решение (1) при некоторых жо(г), т (г), тв (г) и /(ж, г). Положив в (5) ж(г) = у(г)ехр(Лг), получим

у(г) = ехр(-Лг)Ш(г, 0)х(0) +

г

+ ехр(-Лг^У Ш (г, в)/(ехр[Л(в - т (в))]у(в - т (в)), + о

г

+ ехр(-Лг) У Ш(г,в)В(в)ехр[Л(в - тв (в))]у(в - тв(в))^ + о

г я

+ ехр(-Лг) У Ш(г, в)С(в) У у(и) ехр(Лм)ймйв.

0 я—^

Используя условия (1) и (2), найдем

||у(г)|| < ехр(-Лг) ||Ш(г, 0)х(0)|| + г

+ Ау ехр(-Л(г - в + т(в))) ||Ш(М)|| ||у(в - т(в))|| ^ +

о г

(12) + У ||Ш (г, в)В(в)|| ехр[-Л(г - в + тв (в))] ||у(в - тв (в))|| +

о

г я

+ ехр(-Лг)У ||Ш(г,в)С(в)|| У ||у(и)|| ехр(Ли)^в.

0 в—^

Пусть

(13) ||у(г*)и =тах ||у(г)|| при г е [0, г+],

где г* = г*(г+). Положив в (12) г = г* и учитывая (13) и (8), получим

(14) ||у(г*)|| < ехр(-Лг*) ||Ш(г*, 0)х(0)|| + ||у(г*)|| [Ь(Л,т)+ «1(Л,тв)].

Покажем, что при Л > Л+ функция ||у(г)|| ограничена на (0, то). Действительно, в противном случае г* ^ то при ^ то ив силу (6) и (7) ехр(-Лг*) || Ш (г, 0)х(0)|| ^ 0. Так как «(г, Л, т) и VI(г, Л, тв) убывают по Л, то А«(Л, т) + VI(Л, тв) < 1 при Л > Л+ и любых допустимых т(г), тв (г) (как показано выше, Л+ определяется при тех значениях т(г) и тв (г), при которых левая часть (10) максимальна). Но при этом неравенство (14) не выполняется для достаточно больших г*. Полученное противоречие доказывает, что ||у(г)|| = ||х(г)|| ехр(-Лг) < то при Л > Л+ и г > 0; следовательно, Л < Л+. Теорема 1 доказана.

3. Нижняя оценка Л

Для вычисления нижней границы максимального показателя Ляпунова воспользуемся следующим приемом. Рассмотрим уравнение

г

(15) х(г) + Ах(г) = - тв) + АО(у>)ж(г - т0) + с ф)^,

1-1.1

где тв е [0, Нв] и т0 е [0,Н] - постоянные, у = ), ||Д(у)|| = 1. В силу

последнего равенства функция /(ж) = АД(у)ж удовлетворяет условию (2), поэтому уравнение (15) принадлежит к рассмотренному выше классу. Следовательно, Л1 < Л, где Л1 и Л - наибольшие показатели Ляпунова систем (15) и (1).

Представив решение (15) в виде ж(г) = ехр(Лг)у, получим уравнение относительно Л:

(16) det

ехр(—АтЦ )В + к exp(—AT°)D(ip) + -—ехр(Л^ С - А - XI

Л

о,

где I - единичная матрица.

Пусть Ap = ap±6pi, p = 1,...,n, ap > ap+i - корни уравнения (16), тогда Ai = ai. Поэтому нижнюю оценку A_ величины А можно определять по формуле

(17) A- = sup [ai(r0,т0 .

Заметим, что в случае эвклидовой нормы в качестве .О (у) можно принять любую ортогональную матрицу (как известно, для такой матрицы ||Д(у)|| = 1).

4. Точные значения Л для некоторых систем

Если в некоторой системе найденные оценки Л—, Л+ совпадают, то очевидно, что точное значение наибольшего показателя Ляпунова Л = Л— = Л+. Укажем системы, для которых это равенство имеет место; при этом полагаем, что в (2) используется евклидова норма.

Рассмотрим уравнение

г

(18) ж(() + Аж(() =/«'- т (())) + °/*<"*•

г—^

где с - константа, А - постоянная симметрическая положительно определенная матрица. Как известно, собственные значения такой матрицы действительны и положительны; обозначим их г = 1,..., п - 1 (Л^ < Л^).

Теорема 2. В системе (18), (2) наибольший показатель Ляпунова Л = Л+, где Л+ определяется из уравнения (10) при

где т* = Н при А«(0) + «1(0) < 1, т* =0 при А«(0) + «1(0) > 1.

Доказательство. В рассматриваемом случае Ш(г, в) = ехр[-(г - в)А], поэтому собственные значения матрицы Ш(г, в) равны ехр[-(г - в)Л$], г = 1,..., п. В силу симметрии А матрица Ш(г, в) также симметрична, поэтому ее евклидова норма равна максимальному собственному значению, т.е. ||Ш(г, в)|| = ехр[-Л1 (г - в)]. Подставив это выражение в (8) и (9), получим (19).

В соответствии с теоремой 1 Л < Л+; покажем, что на самом деле имеет место равенство Л = Л+.

Положим в (18) /(ж) = Аж и ж(г) = ехр(Л+г)а1, где а1 - собственный вектор матрицы А, отвечающий собственному значению Л1. Учитывая, что Аа1 = Л^1 и что по определению Л+

(20) А А+ + А1 + А+(А+ + А1) -

найдем, что х(г) = ехр(А+г)а1 является решением уравнения (18) с показателем А+. По определению показатель любого решения не превышает А; с другой стороны, в силу теоремы 1 А < А+. Таким образом, А = А+. Теорема 2 доказана. Рассмотрим уравнение

(21) ¿(¿) + Ах(г) = /(х(г - т(г)),г),

(22) А = К + ш/,

где К - кососимметрическая матрица (Кт = —К), а f (х, г) удовлетворяет условию (2).

Теорема 3. В системе (21), (22), (2) наибольший показатель Ляпунова А = = А+, где при к — ш > 0

(23) А+ = к — ш,

а при к — ш < 0 А+ - корень уравнения

(24) А + ш — к ехр(—АН) = 0.

Доказательство. Дифференцируя X(г) = ||х(г)|| = (х(г),х(г))1/2, с учетом (2), (21) и (22) получим

(25) = ((А + Ат).г^),.г-(^)) +(.г-(^),/(.г-(^-г(^)),^)) <

<

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком