ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2015, том 461, № 1, с. 18-22
МАТЕМАТИКА
УДК 517.956
ЕДИНСТВЕННОСТЬ ВЕРОЯТНОСТНОГО РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ФОККЕРА-ПЛАНКА-КОЛМОГОРОВА © 2015 г. О. А. Манита, М. С. Романов, С. В. Шапошников
Представлено академиком РАН В.В. Козловым 30.06.2014 г. Поступило 04.07.2014 г.
БО1: 10.7868/80869565215070075
Цель настоящей работы — нахождение условий единственности вероятностных решений нелинейных уравнений Фоккера—Планка—Колмогорова в случае негладких и неограниченных коэффициентов.
Рассмотрим задачу Коши
д,ц = дхдх<(аУ(ц, х, ?)ц) - дх(Ь'(ц, х, 0 ц),
N
(1)
t = о
= V.
Московский государственный университет
им. М.В. Ломоносова
E-mail: oxana.manita@gmail.com
JVdjit = JV dv + JJL ф dNs
ds
(2)
Будем говорить, что мера ц на К х [0, 7] задана потоком вероятностных мер (ц,), е [0, 7] на К^, если ц, > 0, ц,(К) = 1, для всякого борелевского множества В функция , ^ Ц,(В) измерима и верно равенство
Т т
||ийц = ^ийцй У и е С" ( К* х ( 0, Т)).
0 0
Далее для краткости пишем ц(dxdt) = цt(dx)dt. Положим
й
и = ^ аУ(ц, х, ^)дх.дхы +
I,] = 1 й
+ ^Ь'(ц, х, г)дхи. 1= 1
Мера ц(dxdt) = ц^х^ является решением задачи Коши (1), если заданы борелевские функции (х, ,) ^ а^(ц, х, ,), (х, ,) ^ Ь1(ц, х, ,), ограничения которых на и х [0, 7] принадлежат Ь1(ц, и х [0, 7]) для всякого шара и с К^, причем для всякой
функции ф е С" (К) верно равенство
для почти всех , е [0, 7].
Здесь и далее мы предполагаем, что матрица диффузии А = (а$) симметрична и неотрицательно определена.
Такие уравнения называются уравнениями Фоккера—Планка—Колмогорова и обобщают сразу несколько важных для приложений уравнений: транспортное уравнение, уравнение Власова, уравнение Маккина—Власова, линейное уравнение Фоккера—Планка—Колмогорова (оно соответствует случаю, когда коэффициенты не зависят от решения ц). Рассматриваемые уравнения описывают эволюцию начальной меры V под действием потока, задаваемого системой обыкновенных дифференциальных уравнений или системой стохастических дифференциальных уравнений. Каждому из перечисленных видов уравнений посвящена обширная литература. Отметим классическую работу Колмогорова [1], в которой для переходных вероятностей диффузионных процессов выведены линейные уравнения Фок-кера—Планка—Колмогорова, и классическую работу Маккина [2], посвященную нелинейным параболическим уравнениям. В общем виде такие уравнения исследовались в работе Фунаки [3], в которой изучалась корректность соответствующей мартингальной задачи. В частности, в этой работе получен следующий результат о единственности. Рассматриваются коэффициенты вида а'1(х, ц,) и Ь'(х, ц,); если соответствующая мар-тингальная задача и соответствующее линейное уравнение имеют единственное решение, то задача Коши (1) имеет единственное решение. При этом единственность решения мартингальной задачи установлена для коэффициентов, липшице-вых по х и непрерывных по ц относительно метрики Канторовича, причем зависимость коэффициентов от ц фактически может выражаться лишь через свертки с ядрами, имеющими степенной
о
рост. Уравнения Власова с гладкими коэффициентами исследовали в работах Добрушина (см. [4]), в которых доказывались теоремы существования и единственности с помощью теоремы о сжимающем отображении и специального выбора метрики на пространстве вероятностных мер. Обзор современных результатов по уравнению Власова дан в работах [5, 6]. Транспортные уравнения и линейные уравнения Фоккера—Планка— Колмогорова с соболевскими коэффициентами исследовались в работах [7—9], в которых развивался метод перенормированных решений и изучалась проблема существования и единственности в классе Ь^-решений. Уравнения Фоккера— Планка—Колмогорова с коэффициентами специального вида изучаются так же, как уравнения, задающие градиентный поток на пространстве вероятностных мер (см. [10]).
В настоящей работе в случае негладких и неограниченных коэффициентов получены достаточные условия единственности вероятностного решения, допускающие зависимость коэффициентов от решения через свертки с ядрами, имеющими произвольный рост на бесконечности. В такой общей постановке существование решения исследовалось в [11]. Обзор результатов о существовании и единственности в линейном случае дан в [12-14].
Доказательство единственности основывается на методе Гольмгрена, основная идея которого схожа с альтернативой Фредгольма. Она состоит в том, что если для достаточно большого класса начальных условий задача Коши для сопряженного уравнения имеет решение, то решение исходной задачи единственно. Одна из основных трудностей при реализации этого подхода заключается в решении сопряженной задачи с нерегулярными и неограниченными коэффициентами. Чтобы обойти эту трудность, мы приближаем оператор Ь^ последовательностью операторов с гладкими коэффициентами и для них решаем сопряженные задачи. Другая трудность состоит в выборе метрики на пространстве мер. В настоящей работе мы рассматриваем следующие принципиально разные ситуации (причем различие двух из них хорошо известно даже в линейном случае):
матрица диффузии А невырождена и не зависит от решения,
матрица диффузии А вырождена и не зависит от решения,
матрица диффузии А зависит от решения.
Пусть V — борелевская функция на И?й, причем V > 1. Мы рассматриваем только решения из класса МТ( V) мер ц, заданных потоком вероятностных мер (ц), удовлетворяющих условию
Начнем со случая, когда а не зависят от ц и ё^А > 0. Итак, для А выполнено следующее условие:
(Н1) Существует такая непрерывная положительная функция X на И?й, что (А(х, ?)£,, £,) > Х(х)|£,|2 для всех (х, 1) е ? х [0, Т] и е И?й, и для всякого шара В найдутся такие числа у = у(В) > 0 и к = к(В) е е (0, 1], что
\а'] (х, 0 - а'(у, о1 < у|X - У к Ух, у е В, г е [0, Т].
Через ||ц|| обозначим полную вариацию меры ц. Заметим, что если мера задана плотностью р относительно меры Лебега, то полная вариация меры совпадает с Ь1-нормой ее плотности. Для всякой измеримой функции Ж> 0 положим ||ц||Ж = || Жц||.
В дополнение к (Н1) будем предполагать выполнение еще трех условий:
(Н2) Существует функция Же С2(?^), Ж> 0, Нш Ж(х) = +да такая, что Ж(х) Р—1/2(х) — ограни-
|х| ^ + ю
ченная функция и для всякого ц е МТ(У) найдется число а(ц) > 0 такое, что
Ь Щх, г) < а(ц) Ж(х) У(х, г) е ? х [0, Т];
(Н3) Существует такая непрерывная возрастающая функция О на [0, +да), что 0(0) = 0 и
Х(х)-1|Ь(ц, X, г) - Ь(а, X, г)| < УЩ- а| ж) для всех (х, 1) е ? х [0, Т] и ц, а е МТ(У);
(Н4) Существует такая функция и е С2(?^), что и> 0, Нш и(х) = +да и для всякой меры ц е Ж^Р)
|х| ^ ю
найдется число р(ц) > 0, для которого Ж(х)Х(х)-1|Ь(ц, х, г)|2
+1 Г) УЦ( х) | 2 +1 Ь , u(x, о I и2(х) и(х)
для всех (х, 1) е ? х [0, Т].
Теорема 1. Пусть выполняются условия (Н1), (Н2), (Н3), (Н4). Если
г йи
' +
<Р(ц) V( x)
G Uu)
= +да,
то задача Коши (1) имеет не более одного решения из класса Ж^Р).
Пример 1. Пусть т > к > 1 и для всякой меры ц = (ц() такой, что
J1
|x| 2md^t < да,
(4)
sup
t e [0, T]
J V( x) d^t
< да.
(3)
sup
t e [0, T]'
найдутся числа с1(ц) > 0, с2(ц) > 0, для которых верны неравенства
<b(v, x, t), x>< Су(ц)( 1 + |x|2), \b(Ц, x, t)|< с2(ц)( 1 + |x|m-*).
20
МАНИТА и др.
Предположим, что существует число с3 > 0 такое, что
Ь(ц, х, 0 - Ь(ц, х, 01 <
< Сз(1 + |хП) |( 1 + Ык)й|цI -
для всех ц, а, удовлетворяющих условию (4).
Тогда задача Коши д,ц = Дц — ёгу(Ь(ц, х, ,)ц), ц|, = о = V, имеет не более одного решения, удовлетворяющего условию (4).
В частности, все условия выполняются для
Ь (ц, х, Г) = -|х - У (х - у )ц (йу),
если положить т = 2п + 2 и к = п + 1.
В случае вырожденной матрицы диффузии непрерывность коэффициентов относительно вариационной нормы на пространстве мер недостаточна для единственности вероятностного решения. Следовательно, надо предполагать непрерывность относительно другой метрики на пространстве вероятностных мер.
Пусть Ж е С(Кй) и Ж > 1. Положим Ж(х) =
1
й,. На пространстве вероятностных
0
мер ц, удовлетворяющих условию |х| Ж (х) е Х1(ц), определим метрику
а) = 8ир{ |Тй(ц - а):
Г е С"(Кй), |У/(х)\<4Щх)}.
Если Ж = 1, то данная метрика совпадает с классической 1-метрикой Канторовича Ж^ц, а), см. [15]. Заметим, что коэффициент сноса
b(x, t, p) = JK(x, y, t)dpt
удовлетворяет неравенству |Ь(х, ,, ц) — Ь(х, ,, а)| <
< С(х, О^ц,, а,), если |УК(х, У, 0| < С(х, 0 л/Ж(у). Таким образом, мы можем рассматривать свертки с ядрами, имеющими не только степенной рост, но и произвольный рост, определяемый функцией Ж.
Сформулируем наши предположения о коэффициентах в случае вырождающейся матрицы А.
(DH1) Матрица А = (а';) симметрична и неотрицательно определена, а■ е С(Кй х [0, 7]) и для каждого , е [0, 7] функция х ^ а(х, ,) дважды непрерывно дифференцируема. Далее через а обозначаем элементы матрицы а = 4л.
^Н2) Для некоторой функции Же С2(Кй) такой, что Ж > 1, функция |х| Ж (х)У(х)-1 ограничена и для всякой меры ц е Ж^Р) существуют функ-
ции 0,, Л, е C([d) и числа С,, 5, > 0 такие, что для всяких х, y е [ и t е [0, 7] верны неравенства
<b(x + y, t, ц) - b(x, t, ц)y) < 0,(x)|y|2, L,W(x, t)<(С,-Л,(x))W(x), 20,(x) + 5,(1 + |x|2)-1 |Ь(ц, x, t)|2 + + 5,(1 + |x|2)-2|trA(x, t)|2 +
+ 4 £ \dXtaJ(x, t)|2 < Л,(x).
i, j, k < d
(DH3) Для всякого шара B с [ функции b' непрерывны по переменной х равномерно по t на B х [0, 7] и существует непрерывная возрастающая функция G на [0, +да) такая, что G(0) = 0 и
|b(ц, x, t) - b(a, x, t)| < V(x) W~1/2(x)G(Ww(^, а)) для всех (х, t) е [ х [0, 7] и ц, а е M7(V).
(DH4) Для некоторой функции U е C2([d), удовлетворяющей условиям U> 0 и lim U(х) = +да, и
x ^+^
всякой меры ц е Mj{V) существует такое число ß(^, что
A (x, t) V U(x ) | Wx) + | JAÜJ) VU (x) | 2 + U(x)
U (x )
I L n U(x, t) |
■ ^-^<Р(ц) У(х) и(х)
для всех (х, 0 е К х [0, 7].
Теорема 2. Пусть выполняются условия фН1), фН2), (DH3), (DH4). Если
г du
J вы
= + да,
О ( и)
0
то задача Коши (1) имеет не более одного решения из класса Ж7{У).
Пример 2. Пусть т > 1 и для всякой меры ц = (ц,) такой, что
[exp(|x|2m)dpt << 1 j
(5)
sup
t e [0, T]
най
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.