Письма в ЖЭТФ, том 90, вып. 10, с. 753-755
© 2009 г. 25 ноября
Эффект Ааронова-Бома для плазмонов в квантовом кольце
конечной ширины
В. М. Ковалев, А. В. Чаплин
Институт физики полупроводников Сибирского отд. РАН, 630090 Новосибирск, Россия
Поступила в редакцию 21 октября 2009 г.
Найдены частоты магнитоплазменных колебаний 2В электронов в квантовом кольце при учете его конечной ширины. Последнее обстоятельство учтено в рамках модели, допускающей точное решение для одночастичного спектра. Показано, что вместо периодических осцилляций частоты плазмона ш, характерных для 1В кольца, в рассматриваемом случае возникает зависимость ш от магнитного потока с частотной и амплитудной модуляцией: период осцилляций по потоку и их амплитуда зависят от напряженности магнитного поля.
PACS: 73.20.Dx
Эффект Ааронова-Бома (АБ) был первоначально теоретически предсказан, а затем наблюден для заряженных частиц. Сравнительно недавно было показано, что аналогичные осциллирующие зависимости имеют место и для нейтральных возбуждений в твердом теле - экситонов [1-3] и плазмонов [4, 5]. Плазмонная задача рассматривалась для нанотрубок, в том числе и для двухстенных [4], причем считалось, что толщина стенок пренебрежимо мала. Поэтому магнитный поток сквозь нанотрубку был вполне определенной величиной, и частота плазмона зависела от него периодически. Применительно к квантовым кольцам аналогичное приближение означает нулевую ширину кольца. Целью настоящего письма является нахождение частоты плазмонов в квантовом кольце с учетом его конечной ширины, то есть с учетом радиальной степени свободы электронов. Конечная ширина кольца означает, что поток магнитного поля сквозь кольцо не фиксирован. Из общих соображений следует, что деструктивная интерференция вкладов различных электронных траекторий в фазу волновой функции должна привести к нарушению строгой периодичности АБ осцилляций. Такое нарушение действительно имеет место, но представляет интерес конкретная реализация этого сценария. Как мы покажем, в кольце конечной ширины возникает специфическая зависимость периода АБ осцилляций от магнитного поля, причем в области малых полей (оценки см. ниже) амплитуда АБ осцилляций медленно возрастает.
Поскольку движение частиц в кольце финитно по всем направлениям, одночастичный спектр дискретен, речь будет идти о коллективных колебаниях ти-
па межподзонных плазмонов. Спектр таких возбуждений в кольце также дискретен, а в достаточно узком кольце (ширина кольца много меньше среднего радиуса) роль продольного импульса плазмона играет его угловой момент £. При падении плоской волны перпендикулярно плоскости кольца возбуждаются, очевидно, только плазмоны с I = ±1 (это аналог правил отбора для дипольных переходов в однородном поле), а если электрическое поле волны модулировано в плоскости кольца, возможно возбуждение высших гармоник с Щ > 1. Легко видеть из разложения плоской волны по цилиндрическим гармоникам, что интенсивность плазмонного поглощения с моментом I пропорциональна ,Ц{кро), где - бесселева функция, ро - средний радиус кольца, к - импульс возбуждающего поля в плоскости кольца.
Для расчета плазменных частот мы воспользуемся моделью [6], допускающей аналитическое решение одночастичного уравнения Шрёдингера. Потенциальная энергия электронов в кольце записывается в виде
U(p) = А/р2 + Вр\
(1)
Вводя средний радиус кольца ро (такое значение р, при котором потенциальная энергия (1) имеет минимум) и частоту радиальных колебаний малой амплитуды шо, перепишем (1) в виде
U(p) =
Pl
Ро
(2)
где те - эффективная масса электрона. Тогда условие малой ширины кольца, которое нам понадобиться в дальнейшем, записывается в виде
Ч e-mail: chaplikeisp.nsc.ru
ß = mewop*0 ^ 1 2h
754
В. М. Ковалев, А. В. Чаплик
Далее полагаем Н = 1. Выражение (3) означает, что осцилляторная длина для частоты а>о много меньше радиуса окружности, где 11(р) минимально. Одночас-тичный спектр и волновые функции даются выражениями
Ф(г) = Смрме-Р /4Д М + 1; р2 ¡2Д2),
Егт = аш0 г
М = -s/m
См = ■
1 + М\ тшс 2^ß2, то = 0,±1,±2,..
(4)
|7Гдм+1^2мГ(М+ 1)
где г, то - радиальные и азимутальные квантовые числа, а = т/1 + а>2¡из\, а>с - циклотронная частота, Д = 1/у^Щ.
Возмущение электронной плотности в рамках теории линейного отклика имеет вид
6п( г) = £
Ei — Ej
■ ш
= 5>í(p)t
(5)
где ?/>?(г) - невозмущенные волновые функции од-ночастичной задачи, г = (р,<р), Уу - матричные элементы монохроматического возмущения, i = = (г', то'), ] = (г,т), /° - фермиевские числа заполнения. Подставив 5п(г) в уравнение Пуассона А(р = —4тге5п(г)5(г), запишем его формальное решение (при г = 0) через функцию точечного источника
V
ind
Hip
(6)
Здесь Vmd(r) - индуцированная возмущением плотности часть электростатического потенциала. Для 1-й компонентны имеем
/>оо
Vtd(p)= G¿(p,p')Sn¿(p')p'dp', (7) Jo
где
/>оо
Ge(p,p')= Jt(kp)Jt(kp')dk Jo
1 O P'
-/=f41-1/2 —
2 pp'
(8)
В (8) <Эп(ж) шаровая функция второго рода. Для замыкания системы находим матричные элементы индуцированного потенциала \ггп(1(г) и приходим к системе уравнений
V/i"* = е2 £
тrr',m+t(f _f, \Tps,n;s',n+l
vr,m \Jr,m J r' ,m+l)í r,m;r' ,m+l
Er
• Ert — и
в которой
jps,n;s' ,n+i _
r,m;r'
ЛОО ЛОО
/ pdp / p'dp'Rs,n(p)Rs',n+i(p)
Jo Jo
X
/0 J0
X Ge^P^RrMßlRr'^+dp1)- (10)
Здесь R(p) - радиальные волновые функции в потенциале (2). Условие нетривиальности решения системы (9) дает спектр плазмонов wr,t, где г нумерует радиальные моды.
Воспользуемся теперь условием узости кольца /3 1. Тогда в одночастичном спектре интервалы энергий между уровнями с разными радиальными числами много больше интервалов с различными I. Мы ограничимся в дальнейшем плазмонами нижайшей радиальной подзоны, т.е. положим в системе (9) г = г1 = 0. В том же приближении величины Gi(p,p') существенны только при р,р' близких к ро: \р ~ Pol ~ \р' ~ Ро| < Д = 1 /у/Щ), а радиальные волновые функции для г = 0 могут быть аппроксимированы следующим образом:
RoAp)
0---—т
pßlnp-p2/A2
-(р-р0)2/2А2
(11)
_ После этого интегралы в (10) легко вычисляются, и форм-факторы ^ооказываются зависящими
только
от / «Ä& = Ft):
Fe =-
irpo
In
еС/2Д
•1^+1/2)
(12)
где ф(х) - функция Эйлера. Заметим сразу, что при I 1 выполняется критерий квазиклассичности по азимутальной степени свободы, величина t/po переходит в импульс одномерного плазмона к, а поскольку ф(£ 1) ~ Ы£, возникает известная логарифмическая сингулярность закона дисперсии 1D плазмона в длинноволновом пределе ш kvp. Напомним также, что длинноволновая асимптотика дисперсии 1D плазмона из2 ~ fc2lnfc получается одинаковой как в используемом нами методе RPA, так и в модели лат-тинжеровской жидкости [7].
После всех сделанных упрощений дисперсионное уравнение принимает вид
/(Дта) - f(Em+t)
1 =
Е„
Em+l
* из
(13)
В том же приближении узкого кольца (/3 1) для
уровней энергии получаем:
2
Е„
аВ то
Ф
аФг
В
аФ20
ашо
(14)
е
г,г ./п
Эффект Ааронова-Бома для плазмонов в квантовом кольце конечной ширины
755
тогда Ет+1~Ет = аВ£2 + 2аВ£ (то + Ф/аФ0). Длинноволновому пределу в плазмонном спектре теперь соответствует условие ш \Ет+( — Ет|. Во втором порядке по этому параметру получаем для частоты а>( выражение
ш2 + (/(£„
f(Em+i)) х
х [Е,
• Ет+е'
(Ет - Ет+(У wt
= 0.
(15)
В этом выражении величина химического потенциала, входящая в функцию распределения, определяется с помощью равенства
YJf(Em) = N,
(16)
где N - полное число электронов в кольце. Для вычисления суммы в (16) применяем формулу суммирования Пуассона. Уравнение для химического потенциала приобретает вид
1 ^ sin(27rky/(ß
TT ¿—t
ß0 )/aB)
к
cos I 27тк
Ф
аФг
= N,
(17)
ßo = ^B
ф2 аЩ
аш о ~2~
Из этого уравнения видно, что при N 1 основную роль в левой части уравнения (17) играет член с к = 0, который определяет плавную часть химического потенциала — /¿о = аВИ2 /4. Остальные члены дают малые осциллирующие добавки.
Применяя снова формулу суммирования Пуассона и решая (15) итерациями, получим:
w? = 2 e2FtaBN£2
Аь sin I 2жк
Ф
" аФ0
где амплитуды
Ак =
sm(irkN) — irkN cos(irkN) 4тг2Аг2 '
(18)
(19)
Первое слагаемое в (18) дает монотонную часть плазмонной дисперсии и соответствует длинноволновой асимптотике к2 1п к. В осциллирующей части с ростом магнитного поля увеличиваются как период, так и амплитуда, однако рост амплитуды имеет место только в области, соответствующей длинноволновому пределу, тогда как период возрастает во всей
области магнитных полей. Это видно на рисунке, где представлен результат численного решения дисперсионного уравнения (13).
160 140
* 120 £
g 100 О"
QJ
80-
60
40
4 6 8 10 Magnetic flux
Зависимость плазменной частоты для £ = 1 от магнитного потока сквозь срединную окружность кольца. Магнитный поток задан в единицах кванта Фо, плазменная частота - в единицах вращательного кванта В. Параметры кольца: ро = Ювд, а*в - эффективный боровский радиус, Д = а*в. Число электронов в кольце N = 50
Таким образом, в кольце конечной ширины зависимость частоты плазмонов от магнитного поля содержит как монотонную часть, так и АБ осцилляции, период и амплитуда которых также меняются с магнитным полем. Характерная напряженность поля определяется сравнением магнитной длины и ширины кольца.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант #08-02-0152), гранта Президента РФ (# МК-299.2008.2) и программ РАН.
1. A.B. Чаплик, Письма в ЖЭТФ 62, 885 (1995).
2. R. А. Römer, М. Е. Raikh, Phys. Rev. В 62, 7045 (2000); A.B. Чаплик, Письма в ЖЭТФ 75, 343 (2002).
3. S. Е. Ulloa, А. О. Govorov, А. V. Kalameitsev et al., Proc. 14th Int. Conf. EP2DS, Prague, 2001, p.1037.
4. А.И. Ведерников, А.О. Говоров, A.B. Чаплик, ЖЭТФ 120, 979 (2001).
5. Е. N. Bogachek, I. A. Romanovsky, and Uzi Lindman, Phys. Rev. В 78, 174515 (2008).
6. W.C. Tan and J.C. Inkson, Phys. Rev. В 53, 6947 (1996).
7. H. J. Schultz, Fermi liquids and Luttinger Iiqiuds, in Field theories for Low-Dimensional systems, Eds. G. Marandy et al., Springer, 2000.
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.