ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 78. Вып. 2, 2014
УДК 539.3
© 2014 г. М. А. Греков, А. А. Язовская
ЭФФЕКТ ПОВЕРХНОСТНОЙ УПРУГОСТИ И ОСТАТОЧНОГО ПОВЕРХНОСТНОГО НАПРЯЖЕНИЯ В УПРУГОМ ТЕЛЕ С ЭЛЛИПТИЧЕСКИМ НАНООТВЕРСТИЕМ
Рассматривается деформация упругой плоскости с эллиптическим отверстием в однородном поле напряжений при учете поверхностной упругости и остаточного поверхностного напряжения. Решение задачи, основанное на использовании линеаризованных соотношений поверхностной упругости Герти-на—Мердока и комплексных потенциалов Гурса—Колосова, сведено к сингулярному интегродифференциальному уравнению. На примере кругового отверстия, для которого получено точное решение уравнения в замкнутом виде, проведен анализ влияния остаточного поверхностного напряжения и поверхностной упругости на напряженное состояние вблизи и на границе наноотвер-стия при одноосном растяжении. Показано, что степень влияния остаточного поверхностного напряжения и поверхностных напряжений, вызванных деформацией тела, зависит от упругих свойств поверхности, величины растягивающей нагрузки и размера отверстия.
Поверхностные слои твердых тел на наноуровне проявляют особые физико-механические свойства, которые практически незаметны на макроуровне. Значительную роль в поведении на-номатериалов и наноприборов играют поверхностные эффекты из-за большого отношения количества частиц поверхности к количеству частиц объема (high surface/volume ratio) [1—3]. В частности, поверхностные эффекты отвечают за эффект размера — материальные свойства образца зависят от его размера [1—5]. Кроме многочисленных результатов теоретических исследований этот эффект наблюдался также в экспериментах с нанопроволоками и нанотрубками [3].
Поверхностные эффекты наноматериалов непосредственно связаны с поверхностными напряжениями, которые учитывались во многих исследованиях, основанных на использовании обобщенного уравнения Юнга—Лапласа и теории поверхностной упругости [6—10]. Так, на основе теории упругости с поверхностными напряжениями были разработаны двумерные теории наноразмерных пластин и оболочек [11—13].
С использованием модели поверхностной упругости [6—10] были рассмотрены [4, 14] двумерные задачи о круговом включении и эллиптическом отверстии в бесконечной плоскости под действием однородного поля напряжений. Решение для эллиптического отверстия построено в виде рядов, часть коэффициентов которых не определена, поэтому анализировать такое решение и, тем более, использовать его для получения численных результатов не представляется возможным. В связи с этим в настоящей работе выбран другой путь решения задачи об эллиптическом отверстии, приводящий к сингулярному интегродифференциальному уравнению относительно неизвестного поверхностного напряжения. В частном случае, когда отверстие круговое, это уравнение сведено к ги-персингуряному интегральному уравнению. Приводится его точное аналитическое решение, которое согласуется с решением, полученным для кругового отверстия другим способом [4].
1. Постановка задачи. Рассмотрим бесконечное линейно упругое тело или пластину с наноотверстием в форме цилиндрического цилиндра. Считаем, что поверхность отверстия обладает упругими свойствами, отличными от аналогичных свойств остального материала. В криволинейной системе координат поверхности а1, а2 компоненты тензора поверхностных напряжений тар связаны с компонентами тензора поверхностных деформаций г sa р (а, в = 1,2) равенством [9]
я
22
я
12
Фиг. 1
я
12
я
22
ди
Тар =У о8 ав (1-1)
д£ар
где и — энергия упругой деформации поверхности, у0 — остаточное поверхностное напряжение, отвечающее недеформированному состоянию, 8ар — символ Кронекера.
Предполагается, что выполнены условия плоской деформации или плоского напряженного состояния и тело нагружено напряжениями на бесконечности и дополнительными поверхностными напряжениями на граничной поверхности отверстия. Таким образом, приходим к двумерной формулировке краевой задачи для упругой плоскости П комплексного переменного z = х1 + ;х2 с эллиптическим наноотверстием (фиг. 1).
В общем случае граничные условия описываются обобщенным законом Юнга-Лапласа [6-8] и имеют вид
п-V,-т = р (1.2)
где п — вектор нормали к поверхности тела, £ — тензор объемных напряжений, т — тензор поверхностных напряжений, р — вектор внешних поверхностных сил.
Уравнение (1.1) означает, что действие поверхностных напряжений заменяется действием соответствующих усилий 1 = (V - пд/дп) т, определяемых действием оператора поверхностного градиента [1]:
1 = _Гш + Ш1 ^Ш) + 5^121) + Т12 т22V
У Я1 Я2) Н1Н2 у 5а1 да2 да2 да1 )
+ (д^ти) , д(Н2ХП) +дк2 ^ .д^ Тп] (13)
Н1Н2 У да2 да1 да1 да2 )
Здесь e1 и e2 — орты криволинейной системы координат аь а2; h1 и h2 — соответствующие метрические коэффициенты, R1 и R2 — главные радиусы кривизны координатных линий.
Введем локальную декартову прямоугольную систему координат n, t в произвольной точке z е П вне отверстия. Если z — точка на границе отверстия Г = {z : а2 = const}, свободной от внешней нагрузки, то в двумерном случае уравнение (1.2) при учете равенства (1.3) сводится к следующему граничному условию в комплексной форме:
а nn + ia nt = ^ - i f ^ - q(z), z еГ (1.4)
R1 h1 öai
где ann, ant — компоненты тензора E в системе координат n, t, с« =Тц. Если X = Xj(ai), X2 = X2(ai) — параметрическая форма задания границы Г в декартовой прямоугольной системе координат xb x2, то
hi2(ai) = x12 + x22, Ri-1(ai) = x1x2' -3x2x1' (1.5)
hi3
Уравнение (1.4) можно получить непосредственно путем составления баланса сил, действующих на элемент плоской дуги [15].
Условия на бесконечности для напряжений Оц в системе координат xb x2 записываются в виде
lim aij = sij, lim ю = 0 (1.6)
r ^да r ^да
где ю — поворот материальной частицы.
Определяющие соотношения поверхностной линейной упругости (1.1) [1, 6] сводятся соответственно к следующим: при плоской деформации
astt =у о + Mssstt, 03 з = у о + (X s +Y o)s«> Ms = ^ s + s (1.7)
при обобщенном плоском напряженном состоянии
as _ 2Цs - Y0 Y + (2^s + 2Цs +Y0)(2Цs - Y0) * _s _ 0 (1S)
®tt _—--Y0 +-—-О33 _ 0 (1.ö)
Ms Ms
Закон Гука для основного материала в плоской задаче теории упругости может быть записан в виде
о tt = ((ж + 1)е tt - (ж - 3)£ nn ) о nn = -^т ((ж + 1)е nn - (ж - 3)£ tt) о nt = 2Ц£ nt
ж - 1 ж - 1
5Х + 6ц- ж(3Х + 2ц), .
^33 =-^—г1-— (о tt + о nn) (1.9)
4К
езз = * „, . [ + Ц)^зз - Ц(оnn + о«)] 2ц(3Ц + 2ц)
X + 3ц = 3 - 4v при плоской деформации
X +ц
ж =
5X + 6ц 3 - V г г
-- =- при обобщенном плоском напряженном состоянии
3X + 2ц 1 + V
В равенствах (1.7)—(1.9) величина е« — окружная поверхностная деформация, Х5 и ц — модули поверхностной упругости, аналогичные постоянным Ламе X и ц; е«, е„„, £„, Е33 — компоненты тензора деформации в классической теории упругости, V — коэффициент Пуассона.
В качестве дополнительного условия для нахождения неизвестного поверхностного
5
напряжения ап примем условие идеального сцепления поверхности с основным материалом, выраженное в равенстве окружных деформаций на границе Г
£ и = £ г е Г (1.10)
2. Основные соотношения. Воспользуемся конформным отображением внешности эллипса на внешность круга единичного радиуса
г = и© = + А 1; С= гЛ Я = а+Ь, т = (2.1)
\ 2 а + Ь
где a и Ь — полуоси эллипса (фиг. 1).
Параметрическое уравнение границы Г можно записать в виде
= асс^О = а(^о +Со1), х2 = ЫпО = Ь(^о -С-1) (2.2)
2 21
ю
где = е — точка на окружности единичного радиуса. Тогда из соотношений (1.5) находим
,2 1
hi =:;
2,2
2 , ,2 a - b tr2 , Г-2Ч
a + b---— (Z о + Z о )
R-1 = ab (2.3)
hi3
Вектор напряжений а„ = а„„ + ¡а„( и вектор перемещений и = и1 + щ, где щ и и2 — перемещения вдоль осей Х1 и %2, связаны с комплексными потенциалами Гурса—Колосова Ф и голоморфными вне эллиптического отверстия, общим соотношением [16, 17]
_ _ __Г о „(г), П = 1
О(г) = пФ(г) + Ф(г) + 5 [гФ'(г) + ¥(г)]; О(г) = \ du (2.4)
йг |"2Ц—, п = -ж
Здесь йг = |йг\е,а, а — угол между осями x¡ и ^ отсчитываемый от оси x1 против часовой стрелки.
Подставив выражение (2.1) в равенство (2.4), получим
G(Z) = пФ(0 + Ф(0 + ^ dZ и (Z) d Z
u(Z)
Lu '(Z)
Ф '(Z) + ^(Z)
, IZI> 1 (2.5)
Приняты обозначения
G(Z) = G(z(Z)), Ф(0 = Ф(*(0), Y(Q = Y(z(Q)
Если ось t совпадает с касательной к линией r = const, то равенство (2.5) совпадает с формулой Н.И. Мусхелишвили [16], и ann + iant = arr + iarg. При этом
d Z = rei(0+n/2), d Z/ d Z = -e "2i'9 = -Z/ Z
Распространим функцию Ф(0 на область Z < 1, полагая [16]
u'(Z) ф(0 = ^Щ-1) + Z -2и(С)Ф '(Z-1) + Z-2u'(Z-1) ^(Z-1)
Отсюда, заменив С на ^ и перейдя к комплексно-сопряженному выражению, получим
и'(СМО = С-2и(С-1)[Ф(9 + Ф(С-1)] - -1)Ф'(о, !£! > 1 (2.6)
После подстановки выражения для ¥(0 (2.6) в соотношение (2.5) приходим к основному равенству, связывающему вектор напряжений сти и вектор перемещений u с функцией Ф(0:
и'(0С(0 = и'(С)[пФ(0 +Ф(ё)] + $ К-2и'(С-1)[Ф(0 + Ф(С-1)] +
йС,
+ [и© - u(Z-1)]Ф'(0), IZI> 1 (2.7)
Перейдем в равенстве (2.7) к пределу при Z ^ Zо, полагая а = 9 + 3п/2 и п = 1. Тогда,
имея в виду, что dZ = —KIе'в, при учете граничных условий (1.4) получим задачу Рима-на—Гильберта относительно функции Y(0 = и '(0Ф(0
[Y(Zo)]+ - [Y(Z о)]- =-и '(Zo)q(Z о), IZ о1 = 1 (2.8)
где Y±(Z0) = lim Y(Z) — предельное значение функции Y(0 на окружности единично-
!С1^1+о
го радиуса q(Zо) = q(u(Zо)).
Функция Ф, удовлетворяющая условию (2.8) и условиям на бесконечности (1.6), а также имеющая полюс второго порядка в нуле, определяется равенством [16]
и '(0Ф(0 = -ДО + U '(Z)S (О, IZI* 1 (2.9)
где
I(Z) =-L Г и'^)q(^d£, S(Z) = С + С1 + % (2.10)
vs; 2n'^=i i-Z s Z Z2
С = lim Ф(г) = (5U + ^22) /4, С1 = о, С2 = (522 - ^11 - 2^12) /2
Функция д(0 зависит от неизвестного поверхностного напряжения а^ = ад д. Для его нахождения воспользуемся равенством (1.10) и соотношениями (1.7)—(1.9). Получим
М *
Одд = К у 0 +—^ [(ж + 1)о0д + (ж - У)огг ], г еГ (2.11)
8ц
К, = 1, М* = М, при плоской деформации
К, = , м* = (2Л., + 2ц, + у 0)К, при обобщенном плоском наряженном со-
М,
стоянии
На
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.