519.246:524
Эффективная оценка резонансной частоты интерферометра Фабри—Перо в схеме
Паунда—Дривера
А. В. ГУСЕВ, И. С. ЮДИН
Государственный астрономический институт им. П. К. Штернберга МГУ, Москва, Россия,
e-mail: avg@sai.msu.ru
Рассмотрено влияние дробовых шумов на точность измерения резонансной частоты интерферометра Фабри—Перо в схеме Паунда—Дривера. В качестве модели периодически нестационарного дробового шума использован пуассоновский случайный процесс с независимыми моментами возникновения отдельных импульсов (электронов).
Ключевые слова: лазерно-интерферометрические гравитационные антенны, схема Паунда—Дривера, периодически нестационарные и пуассоновские случайные процессы.
The influence of shot noises on the accuracy of measurement of resonant frequency of Fabry—Perot interferometer in Paund—Drever scheme is considered. As a model of periodically non-stationary shot noise the Poisson random process with independent moments of particular pulses (electrons) origin is used.
Key words: laser gravitational antennas, Paund—Drever scheme, periodically non-stationary Poisson random processes.
Основным элементом большебазовых лазерно-интерфе-рометрических гравитационных антенн LIGO (США) и VIRGO (Франция — Италия) [1, 2] является интерферометр Май-кельсона, в качестве его зеркал используют многоходовые резонаторы Фабри—Перо с базой L ~ 3 км (VIRGO) и L ~ 4 км (LIGO). Динамическую устойчивость работы таких установок обеспечивает система контроля, в состав которой входит схема Паунда—Дривера [3] (аналогичная схема используется на резонансной оптоакустической гравитационной антенне ОГРАН [4]). Применение схемы Паунда—Дривера позволяет минимизировать сигнал
v = юо - qm
где ю0 — частота накачки; QM = MAQ — резонансная частота М-й моды интерферометра Фабри—Перо; AQ = nc/L — меж-модовый интервал; с — скорость света.
Принцип действия схемы Паунда—Дривера (рисунок) состоит в следующем. Частотно-модулированная волна E(t) =
= Re[E(f)exp{j<Bof}], где E(t)=E0 expjcosQt) — комплексная огибающая; p, Q — индекс и частота модуляции, от генератора накачки 1 через светоделительную пластинку поступает на резонатор Фабри—Перо с импульсной характеристикой на отражение
{g((, v) = Re[g(f, v)exp{j<of}]G(со, v); [g((, v) ^ G(ю, v) = 2G(ю0 + ю), |ю| << ю0,
где G (ю, v) — передаточная функция.
Отраженная волна
Er(() = Re[[(()exp{jfflof}]; Er((, v) = E(f) * g(f, v) Измерительная техника № 8, 2013
поступает на фотодетектор 2. К его выходу подключен двух-канальный синхронный детектор 3 с опорными сигналами cos Qt, sin Qt, где Q = 2п ■ 107 рад/с — частота модуляции. В
блоке 4 формируется оценка v неизвестного параметра v, которая через систему обратной связи (показана пунктиром) служит для управления частотой генератора накачки 1.
Данная статья посвящена расчету дисперсии эффективной оценки резонансной частоты интерферометра Фабри— Перо в схеме Паунда—Дривера на фоне дробовых (вакуумных) шумов. С учетом того, что управление не сказывается на погрешности фильтрации [5], расчет проводится при разомкнутой цепи обратной связи. Для описания дробового шума i(t) используется класс нестационарных пуассоновс-ких процессов с независимыми моментами возникновения отдельных импульсов.
Структура отраженной волны. Используя выражение для передаточной функции G(< , v) интерферометра Фабри— Перо «на отражение» [1—3], имеем
G« v) = r 1-q(; q(< v) = exp{-
1 - r2 q (ю, v) L AQ
где r ~ 1 — коэффициент отражения входного зеркала, и, следовательно,
Er ((, v) = Eo
Jo (P)G(0, v) + XÍkG(KQ) Jk(P)exp{jjQf}
k / 0
где J0 (P), Jk (P) — функции Бесселя нулевого и k-го порядков.
Так как G(±kQ, v)=1 при k ф 0 и (30(0, v) = 2nj х х (v / AQ) / (1 - r), получаем
Er((, v) = Eo ^Jo(P)<3(0, v) + exp(jp cos Qt) - Jo(P)j. (1)
Фотодетектирование отраженной волны. В схеме Паунда—Дривера отраженная волна Ег (t, V) поступает на фотодетектор 2 (см. рисунок). Падение напряжения V(t) =
RI(t) Ч Er((, V), где R — сопротивление нагрузки; I(t) :
=eES(t- tk)=(/(t))
k
i (t) — фототок; е — заряд электрона;
S() — дельта-функция; (■) — символическая форма записи
оператора статистического усреднения; i (t) — дробовый шум. Отраженная волна Er (t, v) модулирована по интенсивности (мощности), поэтому фототок I (t) представляет асимптотически гауссов периодически нестационарный случайный процесс.
В теории оптической связи [6] статистический анализ нестационарных вакуумных шумов на выходе фотоприемника при детектировании амплитудно-модулированных сигналов осуществляется на основе энергетического спектра (спектральной плотности). Аналогичная методика используется в [3] при анализе вакуумных шумов в схеме Паунда—Дривера. Энергетический спектр Nj (<в) дробового шума i(t) определяется выражением [6]:
T/2
Ni (<в) ^ B* (т) = lim T J B(T)(t, t + т) dt;
T -T/2
B(T)(t, t + т) = B, (t, т), 11, t + т| < T/2,
где T — продолжительность наблюдения; Bj (t, т) = (i(t) i (t + т)).
В общем случае периодически нестационарный случайный процесс с функцией корреляции Bi (t, t + т) и стационарный случайный процесс с функцией корреляции B* (т) статистически неэквивалентны. Сохранить тонкую структуру дробового шума удается, предположив, что I (t) — случайный нестационарный процесс пуассоновского типа с независимыми моментами возникновения отдельных электронов [7]. В такой постановке имеем
(I(t)) = ne j Wt (t-fl) S(fl)dfl=en 1 (t);
B, (t, t) = e2n jWt (t-fl)S(fl)S(т-fl)dfl=e2n1 (t)S(т),
(2)
где п = | п ) с№ — среднее число электронов на интервале
о
(0, 7); Wt ({) — плотность вероятности случайных независимых событий в момент времени tk на том же интервале;
п 1 (()=п Wt (() — среднее число импульсов в единицу времени. В квазиклассическом приближении [6]:
п 1 (() = п 1 ((, V) « \Er ((, v)|2 S/(2(toozo)),
(3)
где S — площадь поперечного сечения падающей волны;
сопротивление свободного пространства. Из (1)—(3), ограничиваясь мощной накачкой, находим
z0 = 120п Ом
Схема Паунда—Дривера измерения резонансной частоты
интерферометра Фабри—Перо: 1 — генератор накачки; 2 — фотоприемник; 3 — синхронный детектор; 4 — блок формирования оценки
Здесь
x(() « E2 [х(()-S(V, t)] + Eo^(f), ц(() = %();
S(V, t) = 2J0 (ß)А(v) Im [exp(jß cosQt)]; X (t) = 1 + Jo(ß)2 - 2Jo(ß)Re [exp (jß cos Qt)];
(4)
Д (V) = 1т <~ (0, V); £ ^) — стационарный гауссов дельта-коррелированный случайный процесс (белый шум) с функцией корреляции
B (т) = (%(t) %(t + т)) = N% S(t), N% = 2hVoZo/ S.
(5)
Тонкая структура дробового шума на выходе синхронного детектора. Реализация случайного процесса x(t) в соответствии с (4) поступает на вход синхронного двухканального детектора 3 (см. рисунок), выделяющего квадратурные составляющие. При дальнейшем анализе ограничимся квазигармоническим приближением
x(t) = xc(t) cos Qt - xs(t) sin Qt + неинформативные члены,
где xc(t), xs(t) — квадратурные компоненты основной гармоники.
Для расчета спектральной плотности аддитивной помехи на выходе синхронного детектора воспользуемся известным в теории колебаний методом гармонического баланса. Сущность подобной методики состоит в следующем. Принимая во внимание, что ) = X ck ехР {jQkí}, имеем
k = -■»
№)^) = IскЫ)ехрда«} = Re[íí(f)ехрда?}] + .... (6)
к= -■»
При вычислении комплексной огибающей ) гауссов белый шум £,(0 представим в виде суперпозиции отдельных гармоник
£V) = I £тV); £тV) = [V)exp{jmQf}], (7)
т = 0
V(t) Ч x(t), 0 < t < T.
где (t) — комплексная огибающая.
Из (6), (7) находим ц (() = Re
1 С1 - т %т
(() ехр } + С1 - т %т(() ехР {-ДО}
т = 0
- т Ът (f) + С-1-т %т (f Л-I = 0 1 -1
Отсюда, принимая во внимание (5), получаем
вцс (т) = (цс()цс(+ 0) = 2n%fс8(0; вц5 (т) = (цв(() цв(( + т)) = 2^^8(т);
е,
Ц сЦ 5
(т) = цс () ц 5 (+ т)> = 0,
(8)
где ЦсV) = ); Ц5) = 1т ); 5 = I с^1 ±С-1-, —
I=о
коэффициент шума.
Дисперсия эффективной оценки резонансной частоты.
Поскольку квадратурные компоненты Цс(?), ц5(?) статистически независимы, дальнейшей обработке будет подвергаться реализация скалярного случайного процесса
хс(?) = Re~ (?) = 4Ло (в)^ (Р) Ео А(у) + ЕоЦс(?), 0 <? <Т,
представляющего суперпозицию (смесь) полезного сигнала 4Л0(Р) (Р) Е О А(у), зависящего от неизвестного параметра
V, и гауссова белого шума Цс(?) с функцией корреляции ВЦс (т)
(8). Это позволяет использовать при вычислении разрешающей способности схемы Паунда—Дривера известные методы оптимального оценивания параметров сигналов на фоне гауссовых помех [8]. В частности, при больших отношениях сигнал — шум максимально правдоподобная оценка V является несмещенной, а ее дисперсия определяется выражением
| ^ =
д2 S(v1, у2)
¿¡VI дv2
Е2
V! =V2 =v ( (в) Л, (в) Е2
2п
АП(1 - г)
(9)
где S(, v2) =
((в) ^1(0 е2 )2
е2 N ^
|А (VI) А(о) dt =
A(v1) А("^2)— сигнальная функция.
= (4^0 (в) 4 (в)Е2) Т = е2 N ^
Обсуждение полученных результатов. При некогерентном (прямом) фотодетектировании модулированной по интенсивности отраженной волны в схеме Паунда—Дривера дробовый шум /(?) необходимо рассматривать как нестационарный асимптотически гауссов дельта-коррелированный процесс. В подобной ситуации применение спектрального описания дробовых шумов [6] оказывается недостаточным.
Для преодоления подобных ограничений в работе использована нестационарная модель дробового шума в клас-
се пуассоновских случайных процессов с независимыми моментами возникновения отдельных электронов. Нестационарность такого процесса проявляется в том, что плотность вероятности Wt (?) (см. выше) зависит от времени (для стационарной пуассоновской помехи Wt (?) = 1/7" ). Аналогичный результат можно получить, если рассматривать процесс фотодетектирования как следствие вакуумных шумов на входе [9]. При таком подходе в предположении, что квантовый выход п = 1, представим фототок в виде
I (?) = dQ (?) / Л = еп(?),
где Q(?) = е|)— переносимый заряд; п(?) = Et^)
о
— число фотонов в момент времени ? в падающей волне Е(() = Ре [[(()ехр{^}] = Ег ((, v) + Ev ((),
Е^, (?) — нулевые флуктуации вакуума с функцией корреляции
Е (?) Ev (? + т)) = м%8(т) /2.
Нестационарность дробового шум
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.