научная статья по теме ЭФФЕКТИВНАЯ ОЦЕНКА РЕЗОНАНСНОЙ ЧАСТОТЫ ИНТЕРФЕРОМЕТРА ФАБРИ–ПЕРО В СХЕМЕ ПАУНДА–ДРИВЕРА Метрология

Текст научной статьи на тему «ЭФФЕКТИВНАЯ ОЦЕНКА РЕЗОНАНСНОЙ ЧАСТОТЫ ИНТЕРФЕРОМЕТРА ФАБРИ–ПЕРО В СХЕМЕ ПАУНДА–ДРИВЕРА»

519.246:524

Эффективная оценка резонансной частоты интерферометра Фабри—Перо в схеме

Паунда—Дривера

А. В. ГУСЕВ, И. С. ЮДИН

Государственный астрономический институт им. П. К. Штернберга МГУ, Москва, Россия,

e-mail: avg@sai.msu.ru

Рассмотрено влияние дробовых шумов на точность измерения резонансной частоты интерферометра Фабри—Перо в схеме Паунда—Дривера. В качестве модели периодически нестационарного дробового шума использован пуассоновский случайный процесс с независимыми моментами возникновения отдельных импульсов (электронов).

Ключевые слова: лазерно-интерферометрические гравитационные антенны, схема Паунда—Дривера, периодически нестационарные и пуассоновские случайные процессы.

The influence of shot noises on the accuracy of measurement of resonant frequency of Fabry—Perot interferometer in Paund—Drever scheme is considered. As a model of periodically non-stationary shot noise the Poisson random process with independent moments of particular pulses (electrons) origin is used.

Key words: laser gravitational antennas, Paund—Drever scheme, periodically non-stationary Poisson random processes.

Основным элементом большебазовых лазерно-интерфе-рометрических гравитационных антенн LIGO (США) и VIRGO (Франция — Италия) [1, 2] является интерферометр Май-кельсона, в качестве его зеркал используют многоходовые резонаторы Фабри—Перо с базой L ~ 3 км (VIRGO) и L ~ 4 км (LIGO). Динамическую устойчивость работы таких установок обеспечивает система контроля, в состав которой входит схема Паунда—Дривера [3] (аналогичная схема используется на резонансной оптоакустической гравитационной антенне ОГРАН [4]). Применение схемы Паунда—Дривера позволяет минимизировать сигнал

v = юо - qm

где ю0 — частота накачки; QM = MAQ — резонансная частота М-й моды интерферометра Фабри—Перо; AQ = nc/L — меж-модовый интервал; с — скорость света.

Принцип действия схемы Паунда—Дривера (рисунок) состоит в следующем. Частотно-модулированная волна E(t) =

= Re[E(f)exp{j<Bof}], где E(t)=E0 expjcosQt) — комплексная огибающая; p, Q — индекс и частота модуляции, от генератора накачки 1 через светоделительную пластинку поступает на резонатор Фабри—Перо с импульсной характеристикой на отражение

{g((, v) = Re[g(f, v)exp{j<of}]G(со, v); [g((, v) ^ G(ю, v) = 2G(ю0 + ю), |ю| << ю0,

где G (ю, v) — передаточная функция.

Отраженная волна

Er(() = Re[[(()exp{jfflof}]; Er((, v) = E(f) * g(f, v) Измерительная техника № 8, 2013

поступает на фотодетектор 2. К его выходу подключен двух-канальный синхронный детектор 3 с опорными сигналами cos Qt, sin Qt, где Q = 2п ■ 107 рад/с — частота модуляции. В

блоке 4 формируется оценка v неизвестного параметра v, которая через систему обратной связи (показана пунктиром) служит для управления частотой генератора накачки 1.

Данная статья посвящена расчету дисперсии эффективной оценки резонансной частоты интерферометра Фабри— Перо в схеме Паунда—Дривера на фоне дробовых (вакуумных) шумов. С учетом того, что управление не сказывается на погрешности фильтрации [5], расчет проводится при разомкнутой цепи обратной связи. Для описания дробового шума i(t) используется класс нестационарных пуассоновс-ких процессов с независимыми моментами возникновения отдельных импульсов.

Структура отраженной волны. Используя выражение для передаточной функции G(< , v) интерферометра Фабри— Перо «на отражение» [1—3], имеем

G« v) = r 1-q(; q(< v) = exp{-

1 - r2 q (ю, v) L AQ

где r ~ 1 — коэффициент отражения входного зеркала, и, следовательно,

Er ((, v) = Eo

Jo (P)G(0, v) + XÍkG(KQ) Jk(P)exp{jjQf}

k / 0

где J0 (P), Jk (P) — функции Бесселя нулевого и k-го порядков.

Так как G(±kQ, v)=1 при k ф 0 и (30(0, v) = 2nj х х (v / AQ) / (1 - r), получаем

Er((, v) = Eo ^Jo(P)<3(0, v) + exp(jp cos Qt) - Jo(P)j. (1)

Фотодетектирование отраженной волны. В схеме Паунда—Дривера отраженная волна Ег (t, V) поступает на фотодетектор 2 (см. рисунок). Падение напряжения V(t) =

RI(t) Ч Er((, V), где R — сопротивление нагрузки; I(t) :

=eES(t- tk)=(/(t))

k

i (t) — фототок; е — заряд электрона;

S() — дельта-функция; (■) — символическая форма записи

оператора статистического усреднения; i (t) — дробовый шум. Отраженная волна Er (t, v) модулирована по интенсивности (мощности), поэтому фототок I (t) представляет асимптотически гауссов периодически нестационарный случайный процесс.

В теории оптической связи [6] статистический анализ нестационарных вакуумных шумов на выходе фотоприемника при детектировании амплитудно-модулированных сигналов осуществляется на основе энергетического спектра (спектральной плотности). Аналогичная методика используется в [3] при анализе вакуумных шумов в схеме Паунда—Дривера. Энергетический спектр Nj (<в) дробового шума i(t) определяется выражением [6]:

T/2

Ni (<в) ^ B* (т) = lim T J B(T)(t, t + т) dt;

T -T/2

B(T)(t, t + т) = B, (t, т), 11, t + т| < T/2,

где T — продолжительность наблюдения; Bj (t, т) = (i(t) i (t + т)).

В общем случае периодически нестационарный случайный процесс с функцией корреляции Bi (t, t + т) и стационарный случайный процесс с функцией корреляции B* (т) статистически неэквивалентны. Сохранить тонкую структуру дробового шума удается, предположив, что I (t) — случайный нестационарный процесс пуассоновского типа с независимыми моментами возникновения отдельных электронов [7]. В такой постановке имеем

(I(t)) = ne j Wt (t-fl) S(fl)dfl=en 1 (t);

B, (t, t) = e2n jWt (t-fl)S(fl)S(т-fl)dfl=e2n1 (t)S(т),

(2)

где п = | п ) с№ — среднее число электронов на интервале

о

(0, 7); Wt ({) — плотность вероятности случайных независимых событий в момент времени tk на том же интервале;

п 1 (()=п Wt (() — среднее число импульсов в единицу времени. В квазиклассическом приближении [6]:

п 1 (() = п 1 ((, V) « \Er ((, v)|2 S/(2(toozo)),

(3)

где S — площадь поперечного сечения падающей волны;

сопротивление свободного пространства. Из (1)—(3), ограничиваясь мощной накачкой, находим

z0 = 120п Ом

Схема Паунда—Дривера измерения резонансной частоты

интерферометра Фабри—Перо: 1 — генератор накачки; 2 — фотоприемник; 3 — синхронный детектор; 4 — блок формирования оценки

Здесь

x(() « E2 [х(()-S(V, t)] + Eo^(f), ц(() = %();

S(V, t) = 2J0 (ß)А(v) Im [exp(jß cosQt)]; X (t) = 1 + Jo(ß)2 - 2Jo(ß)Re [exp (jß cos Qt)];

(4)

Д (V) = 1т <~ (0, V); £ ^) — стационарный гауссов дельта-коррелированный случайный процесс (белый шум) с функцией корреляции

B (т) = (%(t) %(t + т)) = N% S(t), N% = 2hVoZo/ S.

(5)

Тонкая структура дробового шума на выходе синхронного детектора. Реализация случайного процесса x(t) в соответствии с (4) поступает на вход синхронного двухканального детектора 3 (см. рисунок), выделяющего квадратурные составляющие. При дальнейшем анализе ограничимся квазигармоническим приближением

x(t) = xc(t) cos Qt - xs(t) sin Qt + неинформативные члены,

где xc(t), xs(t) — квадратурные компоненты основной гармоники.

Для расчета спектральной плотности аддитивной помехи на выходе синхронного детектора воспользуемся известным в теории колебаний методом гармонического баланса. Сущность подобной методики состоит в следующем. Принимая во внимание, что ) = X ck ехР {jQkí}, имеем

k = -■»

№)^) = IскЫ)ехрда«} = Re[íí(f)ехрда?}] + .... (6)

к= -■»

При вычислении комплексной огибающей ) гауссов белый шум £,(0 представим в виде суперпозиции отдельных гармоник

£V) = I £тV); £тV) = [V)exp{jmQf}], (7)

т = 0

V(t) Ч x(t), 0 < t < T.

где (t) — комплексная огибающая.

Из (6), (7) находим ц (() = Re

1 С1 - т %т

(() ехр } + С1 - т %т(() ехР {-ДО}

т = 0

- т Ът (f) + С-1-т %т (f Л-I = 0 1 -1

Отсюда, принимая во внимание (5), получаем

вцс (т) = (цс()цс(+ 0) = 2n%fс8(0; вц5 (т) = (цв(() цв(( + т)) = 2^^8(т);

е,

Ц сЦ 5

(т) = цс () ц 5 (+ т)> = 0,

(8)

где ЦсV) = ); Ц5) = 1т ); 5 = I с^1 ±С-1-, —

I=о

коэффициент шума.

Дисперсия эффективной оценки резонансной частоты.

Поскольку квадратурные компоненты Цс(?), ц5(?) статистически независимы, дальнейшей обработке будет подвергаться реализация скалярного случайного процесса

хс(?) = Re~ (?) = 4Ло (в)^ (Р) Ео А(у) + ЕоЦс(?), 0 <? <Т,

представляющего суперпозицию (смесь) полезного сигнала 4Л0(Р) (Р) Е О А(у), зависящего от неизвестного параметра

V, и гауссова белого шума Цс(?) с функцией корреляции ВЦс (т)

(8). Это позволяет использовать при вычислении разрешающей способности схемы Паунда—Дривера известные методы оптимального оценивания параметров сигналов на фоне гауссовых помех [8]. В частности, при больших отношениях сигнал — шум максимально правдоподобная оценка V является несмещенной, а ее дисперсия определяется выражением

| ^ =

д2 S(v1, у2)

¿¡VI дv2

Е2

V! =V2 =v ( (в) Л, (в) Е2

2п

АП(1 - г)

(9)

где S(, v2) =

((в) ^1(0 е2 )2

е2 N ^

|А (VI) А(о) dt =

A(v1) А("^2)— сигнальная функция.

= (4^0 (в) 4 (в)Е2) Т = е2 N ^

Обсуждение полученных результатов. При некогерентном (прямом) фотодетектировании модулированной по интенсивности отраженной волны в схеме Паунда—Дривера дробовый шум /(?) необходимо рассматривать как нестационарный асимптотически гауссов дельта-коррелированный процесс. В подобной ситуации применение спектрального описания дробовых шумов [6] оказывается недостаточным.

Для преодоления подобных ограничений в работе использована нестационарная модель дробового шума в клас-

се пуассоновских случайных процессов с независимыми моментами возникновения отдельных электронов. Нестационарность такого процесса проявляется в том, что плотность вероятности Wt (?) (см. выше) зависит от времени (для стационарной пуассоновской помехи Wt (?) = 1/7" ). Аналогичный результат можно получить, если рассматривать процесс фотодетектирования как следствие вакуумных шумов на входе [9]. При таком подходе в предположении, что квантовый выход п = 1, представим фототок в виде

I (?) = dQ (?) / Л = еп(?),

где Q(?) = е|)— переносимый заряд; п(?) = Et^)

о

— число фотонов в момент времени ? в падающей волне Е(() = Ре [[(()ехр{^}] = Ег ((, v) + Ev ((),

Е^, (?) — нулевые флуктуации вакуума с функцией корреляции

Е (?) Ev (? + т)) = м%8(т) /2.

Нестационарность дробового шум

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком