ТЕПЛОФИЗИКА ВЫСОКИХ ТЕМПЕРАТУР, 2015, том 53, № 1, с. 48-53
УДК 536.524
ЭФФЕКТИВНАЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ДИСПЕРСНЫХ МАТЕРИАЛОВ
С КОНТРАСТНЫМИ ВКЛЮЧЕНИЯМИ
© 2015 г. М. И. Эпов1, В. И. Терехов2,3, М. И. Низовцев2,3, Э. Л. Шурина13, Н. Б. Иткина13, Е. С. Уколов13
Институт нефтегазовой геологии и геофизики им. А.А. Трофимука СО РАН, г. Новосибирск 2Институт теплофизики им. С.С. Кутателадзе СО РАН, г. Новосибирск 3Новосибирский государственный технический университет E-mail: terekhov@itp.nsc.ru Поступила в редакцию 15.01.2014 г.
Представлены результаты численного и экспериментального исследований эффективной теплопроводности дисперсных материалов с контрастными включениями. Численный анализ основан на использовании многомасштабного метода конечных элементов, позволяющего рассчитывать тепло-перенос в средах с упорядоченным и хаотическим расположением включений. Анализируется влияние концентрации включений и способа их укладки на величину эффективного коэффициента теплопроводности. Опытное изучение коэффициента теплопроводности проведено для двух сред — гипс и органическое стекло с включением стальных шариков (d = 3 мм) с различной укладкой. Сравнение результатов измерений и численного моделирования позволяет верифицировать разработанный программный комплекс и определить границы применения имеющихся аналитических зависимостей.
Б01: 10.7868/80040364415010044
ВВЕДЕНИЕ
Современные искусственные материалы можно интерпретировать как сложные дисперсные среды, которые содержат включения с различными термическими свойствами и для которых соотношение матрица—включения может быть категории твердое тело—твердое тело, твердое тело—жидкость, жидкость—жидкость. Одной из характеристик, описывающих физические свойства таких материалов, является эффективный коэффициент теплопроводности. Эта характеристика гетерогенной среды может быть использована для решения задачи разработки искусственных материалов с заданными свойствами или при рассмотрении теплопередачи в естественных материалах.
В настоящее время для определения эффективных характеристик композитных материалов обычно используются данные теплофизических измерений или аналитические зависимости. Впервые аналитические формулы для вычисления эффективных коэффициентов при различных концентрациях включений и отношения теплопроводностей были представлены в работах Максвелла, Рэлея, Бругге-мана, Мередита и др. [1—5]. За последнее столетие аналитические формулы значительно усложнились и позволили учитывать разную форму включений и их ориентацию, хотя и в достаточно узком диапазоне. Более детально этот вопрос обсуждается в ряде обзоров и монографий [6—10].
Однако следует отметить, что любая из этих формул использует относительно грубую модель гетерогенной среды, что сказывается на точности определения эффективных коэффициентов. В последнее время появился ряд новых подходов к решению обратных задач определения нелинейных теплофизических характеристик анизотропных тел [11], а также методов оценки термического сопротивления неоднородных твердых тел с учетом неидеальности теплового контакта [12]. Экспериментальные методы определения эффективных коэффициентов теплопроводности также имеют ограничения (размер исследуемого образца, контрастность свойств матрица—включение и т.д.).
Другой подход к решению задачи определения эффективных коэффициентов позволяет реализовать численная гомогенизация. Методы численной гомогенизации условно можно разделить на три класса:
1) методы, использующие теорию осреднения дифференциальных операторов [13, 14]. Основным недостатком этих методов является невозможность учета сложной структуры расположения включений, и поэтому они могут быть использованы только для случая равномерного распределения включений;
2) методы, разработанные на основе конечно-элементных или конечно--разностных дискретизаций исходных дифференциальных операторов.
Данные методы практически невозможно использовать для решения реальных задач из-за катастрофически возрастающей размерности дискретных аналогов, что приводит к потере точности решаемой системы линейных алгебраических уравнений и увеличению времени расчетов;
3) многомасштабные методы [15—17] — класс конечно-элементных многомасштабных методов, позволяет разработать вычислительную схему, допускающую высокую степень параллелиза-ции, что обеспечивает значительное сокращение времени решения дискретной задачи (на 1—2 порядка) без потери точности определения эффективного коэффициента [18, 19].
В данной работе на базе многомасштабного метода конечных элементов проведено изучение влияния на величину эффективного коэффициента теплопроводности контрастности включений, их концентрации, а также их расположения. Полученные результаты сравниваются с опытными данными для различного расположения включений, что позволяет сделать вывод об адекватности модели и определить границы применения аналитических формул.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ И МЕТОД РЕШЕНИЯ
Рассмотрим процесс стационарного теплообмена в образце с контрастными включениями (коэффициенты теплопроводности материала образца и включений различны). При этом тепловые контакты между включениями и основной матрицей являются идеальными. Заданы разные температуры Т1 и Т2 на верхней и нижней гранях образца, боковые грани теплоизолированы. Процесс стационарного теплопереноса в образцах описывается эллиптическим уравнением вида
V (X (х) УГ) = 0 в области П, (1)
Т = Г на верхней грани Гь (2)
Г = Т2 на нижней грани Г2, (3)
дТ
X (х)— = 0 на боковых гранях Г3, (4)
дп
где X (х) — коэффициент теплопроводности, принимающий значение равное коэффициенту теплопроводности включений или коэффициенту теплопроводности материала образца.
Основная идея многомасштабного метода конечных элементов (MsFEM) [15] состоит в следующем. Представим область П-образец, как объединение параллелепипедов К, длины сторон которых превышают диаметр включений. Построенное разбиение области П на конечные элементы К (макроэлементы) предполагается согласованным. На каждом макроэлементе К определим стандартные билинейные базисные функции (ф1,ф2,...,ф п} и
специальные многомасштабные функции. Многомасштабная базисная функция достаточно точно отражает структуру области моделирования (наличие микровключений и их расположение). Это позволяет учесть более полно геометрические неоднородности области моделирования, не увеличивая размерность дискретного аналога задачи (1)—(4) и, следовательно, общее время решения и погрешность.
Многомасштабные базисные функции у(х) являются решением дополнительной задачи
V (X (х) Уу) = 0 в К, (5)
у = ф;. (х) на д К. (6)
Для решения задачи (5), (6) выпишем вариационную постановку в форме Петрова—Галеркина
(х) Уу (х)Уфр (х)йК = 0, р = 1,..., п. (7)
К
Для решения вариационной задачи (7) определим разбиение конечного элемента К в виде объединения микроэлементов (параллелепипедов) К,1ос, на каждом из которых определены стандартные базис-
1 Г 1ос 1ос 1ос) -т
ные функции <ф1 ,ф2 ,...,фт }. Тогда многомасштабная функция у (х) на каждом конечном макроэлементе К может быть представлена в виде линейной комбинации локальных базисных функций
/ \ \""|т'п 1ос / \
у (х) = 1 а¡ф1 (х), как решение дискретной задачи (7) и как линейная комбинация базисных функций, определенных на макроэлементе у (х) =
= 1 р уф у- (х). Дискретный аналог вариационного
уравнения (7) определяется с использованием квадратурных формул для вычисления соответствующих интегралов. Численная гомогенизация и использование специального многомасштабного базиса позволяет значительно сократить время решения задачи (1)—(4) в области с микровключениями [14].
Значение эффективного коэффициента теплопроводности образца определяется по соотношению
XV Т УГй о
X е =
Г - Г А
(8)
Ьз
Здесь температурное поле вычислено многомасштабным методом конечных элементов, Ь1, Ь2, Ь — линейные размеры образца.
Численные исследования позволяют проводить расчеты в широком диапазоне изменения объемной доли и теплопроводности контрастных включений, имеющих сферическую форму различного диаметра, и при вариации способа их укладки. Однако в данной работе было уделено
о
50 ЭПОВ и др.
Таблица 1. Состав образцов
№ образца Основной материал Материал включений Расположение включений Объемная доля включений, %
1 Гипс Без включений 0
2 Гипс Стальные шарики Неупорядоченное 11.6
3 Спеченный порошок оргстекла Без включений 0
4 Спеченный порошок оргстекла Стальные шарики Неупорядоченное 6.4
5 Спеченный порошок оргстекла Стальные шарики Послойное: 9 слоев по высоте на одинаковом расстоянии между слоями с одним и тем же количеством включений в слое и неупорядоченной укладкой внутри слоя 6.4
основное внимание изучению диапазона изменения параметров, соответствующих ниже приведенным результатам экспериментальных исследований, полученным в настоящей работе.
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ СРЕД С КОНТРАСТНЫМИ ВКЛЮЧЕНИЯМИ
Для верификации расчетной модели определения эффективного коэффициента теплопроводности материалов с контрастными включениями были проведены экспериментальные исследования. В качестве основных материалов в экспериментах использовались затвердевший гипс, полученный при смешении порошка гипса с водой в весовом соотношении 1.5 : 1 и спеченный порошок полиметилметакрилата (оргстекла) с размерами частиц 0.06—0.4 мм. В качестве контрастных включений применялись стальные сферические шарики диаметром 3 мм с коэффициентом теплопроводности Ха = 57 Вт/мК. Были изготовлены 5 образцов размерами 100 х 100 х 29 мм. Состав образ-
Таблица 2. Плотность и коэффициент теплопроводности образцов
№ образца Масса, г Плотность, кг/м3 X е, Вт/м К
1 286 980.6 0.235
2 628 2223.1 0.399
3 197.5 699.6 0.076
4 324.3 1142 0.100
5 319.3 1137 0.092
цов указан в табл. 1. На рис. 1 приведены фотографии образца № 3 (рис. 1а) и образца № 5 (рис. 1б).
Эффективные коэффициенты теплопроводности образцов X е были измерены экспериментально при температуре воздуха 20°С стационарным методом постоянного теплового потока [6] от плоского источника с использованием приб
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.