КЛАССИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ЛИНЕЙНОЙ АКУСТИКИ И ТЕОРИИ ВОЛН
532.516
ЭФФЕКТИВНАЯ ВЯЗКОСТЬ ДИСПЕРСНЫХ СРЕД ПРИ ДЕФОРМАЦИОННЫХ КОЛЕБАНИЯХ
© 2015 г. В. С. Федотовский, Т. Н. Верещагина
Физико-энергетический институт им. А.И. Лейпунского 249033 Обнинск, пл. Бондаренко 1
E-mail: fedotovsky@ippe.ru Поступила в редакцию 10.06.2014 г.
Рассмотрены гидродинамические диссипативные процессы при деформационных колебаниях дисперсной среды с твердыми сферическими включениями. На основе простой ячеечной модели получена зависимость для скорости диссипации энергии, определяющей эффективную сдвиговую вязкость суспензии при высокочастотных деформационных колебаниях. Показано, что к известным формулам для эффективной вязкости добавляется существенное динамическое слагаемое, зависящее от частоты деформационных колебаний, радиуса включений и вязкости жидкости.
Ключевые слова: дисперсная среда, сферические включения, деформационные колебания, эффективная вязкость.
DOI: 10.7868/S0320791915020033
АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2015, том 61, № 2, с. 165-168
УДК
ВВЕДЕНИЕ
Один из основных эффектов в гидродинамике стационарных сдвиговых течений дисперсных сред состоит, как известно, в увеличении эффективной сдвиговой вязкости. Результаты многочисленных экспериментов и известные реологические модели, основанные на решении стационарного уравнения Стокса, дают увеличение эффективной вязкости дисперсных сред, в частности суспензий, с ростом объемной концентрации включений [1, 2].
В быстрых же колебательных процессах при виброакустических воздействиях на суспензию ситуация существенно меняется. Если плотность включений отличается от плотности несущей жидкости, то основной эффект в дисперсной среде обусловлен инерционно-вязким взаимодействием включений с жидкостью при их относительных поступательных колебаниях [3]. Среда "приобретает" эффективные инерционно-вязкие свойства, характеризующиеся комплексной динамической плотностью, зависящей от размера, концентрации, относительной плотности включений и частоты поступательных колебаний [4]. Действительная часть комплексной плотности является мерой инерции дисперсной среды, а мнимая часть характеризует вязкую диссипацию, демпфирование поступательных колебаний или трансляционную вязкость.
При распространении звука в дисперсной среде, как и в однородной жидкости, движение каждого представительного элемента является суперпозицией поступательных, объемных и деформационных сдвиговых колебаний. С каждым типом колебаний дисперсной среды связаны эффектив-
ные динамические свойства — комплексная плотность, объемная и сдвиговая вязкость. Здесь также основную роль играет комплексная динамическая плотность, в значительной мере определяющая скорость и затухание звука.
Что же касается эффективной сдвиговой вязкости в акустических процессах, то обычно считается, что она играет менее существенную роль и, по-видимому, по этой причине не исследовалась. Однако для сред, в которых плотность включений равна плотности жидкости, инерционно-вязкое взаимодействие при поступательных колебаниях исчезает из-за отсутствия относительного движения. В этом случае эффективная сдвиговая вязкость становится одним из основных диссипативных свойств.
При низкочастотных сдвиговых колебаниях такой среды движение жидкости в окрестности включений определяется вязкими силами, а ее сдвиговая вязкость может быть определена по известным формулам реологии суспензий. В предельном случае малой концентрации твердых сферических включений большинство реологических формул асимптотически переходят в формулу Эйнштейна. Однако при высокочастотных деформационных колебаниях дисперсной среды движение жидкости в окрестности включений определяется инерционными силами везде, кроме тонких пограничных слоев, возникающих на поверхности включений. В этих пограничных слоях происходит основная диссипация, определяющая сдвиговую вязкость дисперсной среды.
Основная цель работы заключается в иллюстрации существенного влияния высокочастотных де-
формационных колебаний дисперсной среды на эффективную сдвиговую вязкость.
ДЕФОРМАЦИОННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ДИСПЕРСНОЙ СРЕДЫ
Рассмотрим деформационные колебания несжимаемой дисперсной среды, образованной равномерно распределенными в несущей жидкости твердыми сферическими включениями. Для простоты и наглядности воспользуемся простой ячеечной моделью, где элементарным представительным объемом будем считать сферическую ячейку жидкости радиусом b с одним твердым включением радиусом а. Отношение объемов включения и ячейки примем равным объемной концентрации включений в среде а = (a/b)3. Для определенности рассмотрим случай, когда плотность включений равна плотности несущей жидкости.
При деформационных чисто сдвиговых колебаниях дисперсной среды, представляющих ее периодическое растяжение—сжатие в одном направлении и сжатие—растяжение в двух других направлениях, усредненные по элементарным ячейкам компоненты поля скорости в декартовых координатах имеют вид
Ux = ex, Uy = -1 sy, Uz = -1 sz, (1)
где s = d&/dt — колебательная скорость относительного удлинения представительного элемента среды. В этом случае, как и при деформационных колебаниях однородной жидкости, поворотом системы координат тензор скорости деформации диагонального вида с компонентами s, -б/ 2, -¿/ 2 можно привести к недиагональному виду с соответствующими компонентами скорости сдвиговой деформации. Нормальные растягивающие и сжимающие напряжения, создающие чисто сдвиговые деформации, трансформируются при этом в касательные напряжения [5].
При деформационных колебаниях среды любой ее сферический объем радиусом b, в том числе и сферический объем с центром в начале координат, периодически деформируется в вытянутый и сплюснутый сфероид, форму которого в полярных координатах r, 9 представим в виде
R(0) = b [1 + s72 (cos 0)], (2)
где Г2 (cos 0) =
3cos2 0- 1
— поверхностная сфери-
ческая функция второго порядка, 9 — полярный угол, отсчитываемый от оси х. Поскольку скорость диссипации энергии в элементе единичного объема однородной жидкости с вязкостью п при скорости сдвиговой деформации вида (1) равна Ё = = 2п е2 + 2(¿/2)2 = 3^62, то в сферическом объеме жидкости радиусом Ь она равна
Ё0 = (4/3) пЬ Ё = 4пЬ V2. (3)
Далее для вычисления скорости диссипации в дисперсной среде примем, что поверхность сферической ячейки также деформируется в сфероид по формуле (2). При этом для определения эффективной вязкости дисперсной среды вычисленную скорость диссипации в ячейке с включением будем относить к скорости диссипации в ячейке однородной жидкости (3). Граничные условия для составляющих скорости и вязких напряжений на поверхности ячейки (г = Ь) и твердого включения (г = а) запишем в виде
иг (г = Ь) = БЬ72(008 0), иг (г = а) = 0, (4)
а гв(г = Ь) = Мд-и- + ^ - ^ = 0, ^ ^ 7 V д0 дг г!г=Ь (5)
ие (г = а) = 0. Отметим, что в общем случае задачу о сдвиговых колебаниях дисперсной среды или сфероидальных колебаниях жидкой ячейки с включением следует рассматривать на основе нестационарного
ди 2
уравнения Стокса р— = -Ур + пУ и, приводяще-
д?
го, однако, к весьма громоздким результатам. В связи с этим ограничимся здесь предельными случаями низкочастотных и высокочастотных сдвиговых колебаний, соответствующих малым и большим колебательным числам Рейнольдса (Яеш = ра2ю/п), определенным по радиусу включений, частоте колебаний, плотности и вязкости жидкости.
СФЕРОИДАЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ЯЧЕЙКИ ДИСПЕРСНОЙ СРЕДЫ ПРИ Яеш < 1
Наиболее простой подход к изучению сдвиговой вязкости концентрированных дисперсных сред дает модель деформируемой в сфероид ячейки со свободной поверхностью. Относительную сдвиговую вязкость дисперсной среды определим при этом как отношение диссипации энергии в ячейке с включением к диссипации в ячейке однородной жидкости.
Если жидкая ячейка с твердым включением совершает низкочастотные сфероидальные колебания и силы инерции малы по сравнению вязкими силами, то скорость, давление, вязкие напряжения и диссипация при Яеш ^ 1 находятся из решения
стационарного уравнения Стокса Ур = nV2u, удовлетворяющего уравнению неразрывности V и = 0 и граничным условиям (4), (5). Из решения стационарного уравнения Стокса была получена зависимость для вязкой диссипации энергии в ячейке с включением в виде
E = 4пц&V
1 +
5 5 10/3 -a —а ' 2 2
f (а)
ЭФФЕКТИВНАЯ ВЯЗКОСТЬ ДИСПЕРСНЫХ СРЕД
167
где
, 25 , 21 5/з 25 7/з , 10/3 f (а) = 1--а + — а'--а' + а '.
4 2 4 Отсюда отношение эффективной вязкости дисперсной среды к вязкости несущей жидкости, равное отношению скоростей диссипации (6) и (3), было получено Бреннером [6] в виде
Ben = E = 1 + 5 а (7)
П Eo 2 f (а) С достаточной для оценок точностью формулу (7) при умеренной концентрации включений (а < 0.3), как и ряд других формул, удовлетворительно согласующихся с известными экспериментальными данными, можно записать в более простом виде:
neff _ 2 + а (8)
П 2(1 - 2а) При а < 0.3 результаты по (7) и (8) отличаются менее чем на 5%. При малой же концентрации включений (а <§ 1) соотношения (7) или (8) асимптотически переходят в формулу Эйнштейна для вязкости суспензий:
neff = 1 + 5 а. П 2
(9)
Ф
1 -а
5/з
r2 + 3L. ]г2(cos0),
(10)
*(b,е)=-b iLsin2°,(11)
(о, 0) = -1 (ЭД
П ' Л Ö0J r
5s ba
V3
.V3\
sin 20. (12)
4 (1 -а-)
При условии прилипания жидкости на поверхности включения, ив(г = а) = 0, касательная скорость идеальной жидкости (12) "вырабатывается"
в вязком пограничном слое 8, где и происходит диссипация энергии.
Считая тонкий пограничный слой локально плоским, скорость диссипации энергии на всей поверхности сферического включения определим как
п
Е = 2па2 П « (а, е^п 9¿0. (13)
8
В результате получим
E =пп a ё2b 3« 3 '8/
2 '
(14)
(15)
СФЕРОИДАЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ЯЧЕЙКИ ДИСПЕРСНОЙ СРЕДЫ ПРИ Яеш > 1
В этом случае инерционные силы являются преобладающими, и движение жидкости можно считать потенциальным во всей ячейке кроме вязкого пограничного слоя на поверхности включения. Считая толщину пограничного слоя 5 =
= (2п/рю)2 много меньшей радиуса включений а, поле скорости идеальной жидкости в ячейке найдем из решения уравне
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.