ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2007, том 413, № 5, с. 620-623
ФИЗИКА
УДК 519.6+537.5
ЭФФЕКТИВНЫЕ ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ ДЛЯ ЗАДАЧ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ С ПРИПОВЕРХНОСТНЫМИ ИСТОЧНИКАМИ
© 2007 г. А. В. Солдатов
Представлено академиком Ю.А. Трутневым 26.05.2006 г. Поступило 21.06.2006 г.
Материальные объекты, находящиеся в поле ионизирующего излучения (ИИ), являются источником электромагнитных полей. Возникновение электромагнитного поля связано с разделением электрических зарядов при эмиссии электронов с поверхности тела под действием ИИ и протеканием токов замещения по поверхности. Широко известны эффекты генерации вторичного электромагнитного импульса (ВЭМИ, в англоязычной литературе используется термин SGEMP - system generated electromagnetic pulse) при воздействии на летательные аппараты жесткого космического излучения [1], рентгеновского излучения ядерного взрыва [2], лабораторных экспериментов с источниками рентгеновского излучения [3]. Традиционная методика расчета электромагнитной обстановки вокруг облучаемого объекта состоит в совместном решении уравнений Максвелла и движения электронов, реализованном в 2D или 3D компьютерных кодах. Однако такой подход сопряжен со значительными техническими трудностями. Эти трудности связаны, в первую очередь, с необходимостью решать самосогласованную задачу, часто в сложной геометрии, и при этом иметь дело с разномасштабными величинами - размером токового слоя, размером объекта и счетной области [4]. В настоящей работе предлагается метод, с помощью которого объемные источники электромагнитного поля сводятся к поверхностным - эффективным граничным условиям. Это позволяет существенно облегчить задачу - свести ее к решению однородных уравнений Максвелла.
При эмиссии электронов с поверхности материального тела под воздействием ИИ формируется двойной электрический слой. При этом, если геометрические размеры тела много больше характерного масштаба двойного слоя в нормаль-
Российский федеральный ядерный центр -Всероссийский научно-исследовательский институт экспериментальной физики, Саров Нижегородской обл.
ном к поверхности направлении, то динамические характеристики этого слоя могут быть получены из решения соответствующей самосогласованной одномерной или двумерной задачи. Формальное условие выглядит следующим образом:
L > А = ^,
(1)
где Ь - характерный геометрический размер тела, юе - плазменная частота образующейся приповерхностной электронной плазмы, Vе - характерная скорость электрона в спектре эмиссии. Чем интенсивнее импульс ИИ, тем выше плазменная частота и тем сильнее локализованы источники электромагнитного поля - токи электронов вблизи облучаемых поверхностей. Это обстоятельство можно использовать введением эффективных граничных условий.
Будем исходить из системы уравнений Максвелла
1ЭЕ, 4п т rotH = -Т— +-J,
c д t c
_ 1 dH rotE =---,
c dt
(2)
в которых источниками электромагнитного поля являются токи электронов эмиссии с преимущественно нормальной к облучаемой поверхности компонентой скорости. Разобьем плотность электронного тока на две части - потенциальную и вихревую:
J = Vy + rot g,
(3)
предполагая при этом, что основной вклад дает первое слагаемое как член с нормальной к поверхности производной.
Тогда введением эффективного электрического поля
Eeff = Е + 4 nV
J dt t)
(4)
мы сводим систему уравнений Максвелла к однородной для полей Ее& и Н. Эффективное электрическое поле совпадает с истинным всюду, за исключением приповерхностной области, содержащей источники. Теперь мы можем определить граничное условие для эффективного поля. Тангенциальная компонента на поверхности
t t ЕеШ = Е1 + 4 п 11Я у( t) = 4 п 11Я у( t). (5)
Здесь 1 - единичный касательный к поверхности вектор. С другой стороны, по определению функции у она равна интегралу от плотности тока в поперечном направлении
Vi z = о = -J dzJ2 = -P (t),
(6)
Eeffl = -4 п ff (t, r) .
(7)
p = P8' (z).
(9)
Тогда функция у является потенциалом двойного слоя и, как известно из теории потенциалов (см., например, [5]), испытывает на границе скачок, равный
vi Z=+0 = -P( t).
(10)
функций Грина, где в качестве источника также выступает интеграл от плотности тока | ёг ]2.
Важно отметить, что эффективные граничные условия применимы и для задач электростатики. В этом случае поверхностная плотность дипольного момента определяется как момент плотности объемного заряда
P =
J d^p(^).
Здесь ^ - нормальная к поверхности координата, а граничное условие задается в виде электростатического потенциала на проводящей поверхности
ф = 4 пР .
(11)
где Р(0 - поверхностная плотность дипольного момента двойного электрического слоя. Ее можно определить из решения соответствующей самосогласованной одномерной задачи. Окончательно имеем
Следует обратить внимание на то, что поскольку на поверхности тангенциальная компонента электрического поля равна градиенту скалярной функции, нормальная компонента магнитного поля на поверхности обращается в нуль Нп = 0.
Более формально соотношение (6) можно получить следующим образом. Используем уравнение непрерывности
-р = J = Ау. (8)
Плотность заряда в приповерхностном слое получается непосредственно из определения плотности дипольного момента
Рассмотрим два примера применения метода эффективных граничных условий.
Пример 1. Правомерность введения эффективного граничного условия и возможности метода рассмотрим на примере решения классической задачи [7] об электромагнитном излучении сверхсветового источника, образованного при косом падении рентгеновского излучения с плоским фронтом на проводящую плоскость. Поверхность эмиссии электронов задана уравнением г = 0, направление движения рентгеновских квантов параллельно плоскости х 0 г. Определенная в работе [7] зависимость компоненты электрического поля, параллельной плоскости, вдали от источников выглядит так:
Ex = -С"sinОРít-^sin6 - ccos0
(12)
где О - угол между внутренней нормалью к плоскости и направлением падения ИИ. Как легко убедиться непосредственной подстановкой, соотношение (12) удовлетворяет как однородному волновому уравнению, так и граничному условию (7) при z = 0. Кроме того, нетрудно проверить, что удовлетворяются энергетические соотношения: энергия, вносимая током,
-sin2О4пр _ 4пsin2Оpi
dzJE-, = -
JdzP Ь(z)
cos О
cos О
Таким образом, система уравнений Максвелла с источниками, определяемыми самосогласованным образом, сводится к системе однородных уравнений Максвелла, в которой в качестве источников выступают граничные условия, вводимые через функцию, которую можно определить заранее, из решения одномерной или двумерной задачи. Отметим также работу [6], в которой решается электродинамическая задача методом
энергия, вносимая эффективным полем,
2
c „ „ c 4п . Qji4п. „ó 4пsin Оri2 Eeff,xHy = 4"csinОp-tgОр =--.
c cos О
Эти величины совпадают.
Пример 2. Рассмотрим задачу, по постановке сходную с предыдущей, отличающуюся тем, что облучаемая поверхность является полуплоскостью у = 0, х > 0. Ребро полуплоскости перпендикулярно направлению распространения волны дипольного момента (рис. 1). Плотность диполь-
о
о
622
СОЛДАТОВ
ИИ
I
II
рх sin 9 py cos 9' c c
UF = 4 п tg 9 P (p) exp
= 4пtg9P(p)exp[rsin(9 - ф)].
(13)
[8]. Запишем псевдопотенциал дифракционной волны в виде
UDl = JdsA( s)Kls( r) ch s ф,
0
Udh = JdsB(s)Kis(r)chs(2п - Ф),
(14)
Ф
Рис. 1. Геометрия задачи о генерации электромагнитной волны при косом падении ионизирующего излучения на полуплоскость.
ного момента на полуплоскости задана зависимо-
п ш ^ хsin9^ т;г стью P = PW +--. Из симметрии задачи сле-
дует, что ненулевыми компонентами поля являются Ех, Еу и И2. Отсутствие объемных источников позволяет ввести скалярную функцию "псевдопотенциала" и, через которую выражаются все компоненты электромагнитного по-
г д и „ д и „ и __
ля: Ех = т—, Еу = - -, И_ = — . Для решения задачи ду у дх с
где Кы(т) - функция Макдональда, А и В - подлежащие определению функции. Эти функции определим из условия сшивки псевдопотенциала на границе областей. Получающаяся система
А сь^Гп + 0! - всь^Гу - е! = -8Ptgо,
А ^ + е) + в ^ ^ у - е| = о
имеет своими решениями функции
A = -8 Ptg 9 -
sh s( У- 9
sh2ns
B = 8 Ptg 9 -
sh s (;- + 9 sh2ns
.(15)
дх
удобно ввести полярные координаты (р, ф) с центром на ребре. Дополнительно разобьем свободное
п
пространство на две области: I) 0 < ф <2- + 0 и п
II) + 0 < ф < 2п. В первой области электромагнитное поле является суперпозицией "прямой" волны ир (точный аналог плоской волны из примера 1) и дифракционной волны и0\ и = ир + и0. Во второй области существует только дифракционная волна. Выберем в качестве нулевой точки на оси времени момент прихода волны дипольно-го момента на ребро. При этом моменты t < 0 рассматривать не будем, поскольку здесь решение совпадает с предыдущим примером. Используем преобразование Лапласа по переменной t. Тогда псевдопотенциал прямой волны равен
Подстановка (15) в (14) дает решение задачи в виде интегралов
ud i = -
4 Ptg 9J dsKiS( r)
Udii =
4 Ptg 9J dsKiS( r)
sh aj s + sh a2 s sh2n s
sh a3s + sh a4 s sh2 ns
3 п
(16)
Здесь введены обозначения а1 = — - 0 + ф, а2 =
= у - 0 - ф, а3 = --Л + 0 - ф, а4 = -а2. Используя
асимптотики функции Макдональда при малых и больших значения аргумента [9], мы можем определить поведение псевдопотенциала на малых и больших расстояниях от ребра.
Поведение вблизи ребра (г ^ 0). В этом случае псевдопотенциал дается выражением
Udi - Ptg 9
V32yrsin(4 + Dcos| + 29 - 3п Т32уг sin(4- + cos22 + 29 - 3 п
Здесь Р - образ Лапласа функции Р, введено обоР Р
значение г = —. Для нахождения дифракционной волны используем метод Конторовича-Лебедева
ит1 - Ptg 0
где у = 1.78 ... Компоненты электрического поля имеют особенность на ребре
{ ^ 1 „ .1 { si
I Ey J Тр[ co
s in ф/2 cos ф/2
0
0
0
как и в других задачах дифракции на поверхности с ребром [10].
Дальняя зона (г ^ Асимптотика решения в этом случае имеет вид
Ud I - - ptg О 2r «1 ®Т + *Т
В волновой зоне дифракционная волна имеет характер цилиндрической волны с источником на ребре.
Наконец, и
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.