ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2007, том 413, № 6, с. 820-825
= ГЕОФИЗИКА
УДК 537.8+550.37
ЭФФЕКТИВНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ В КВАЗИСТАЦИОНАРНЫХ УРАВНЕНИЯХ МАКСВЕЛЛА С МНОГОМАСШТАБНОЙ СЛУЧАЙНО-НЕОДНОРОДНОЙ ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТЬЮ
© 2007 г. Е. П. Курочкина, О. Н. Соболева, академик М. И. Эпов
Поступило 30.10.2006 г.
При математическом моделировании в теории электромагнитных зондирований крупномасштабные детали структуры среды, например, крупные блоки и легко выделяемые пласты, можно описать непосредственно в модели. Мелкомасштабные детали среды описать трудно, их нужно учитывать в рамках статистического подхода, используя эффективные коэффициенты. Одной из быстро развивающихся теорий при изучении природных объектов и явлений является теория фракталов. Есть опыт применения теории фракталов к задачам геоэлектрики [1]. Такой подход требует использования сложного геометрического языка и, как правило, больших вычислительных ресурсов. В работе используется подход, предложенный Колмогоровым [2], который позволяет не отказываться от гипотезы сплошности среды. Разница между подходами состоит в том, что в первом случае явно задается геометрия среды, а во втором строятся коэффициенты уравнений, описывающие свойства среды. При этом бесконечные мультипликативные каскады Колмогорова тоже ведут к крайне неоднородным фрактальным множествам. Подобный подход применялся к задачам фильтрации [3-5]. В настоящей работе получены эффективные коэффициенты в квазистационарных уравнениия Максвелла для полей в изотропных случайно-неоднородных средах при условии, что о флуктуациях параметров среды имеется лишь статистическая информация. Особенностями предлагаемых задач являются
Институт теплофизики им. С.С. Кутателадзе Сибирского отделения Российской Академии наук, Новосибирск
Институт вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения Российской Академии наук, Новосибирск
Институт нефтегазовой геологии и геофизики Сибирского отделения Российской Академии наук, Новосибирск
многомасштабность и фрактальность коэффициентов, которые имеют логарифмически нормальную статистику. Теоретические результаты подтверждаются численным моделированием.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Согласно [6] квазистационарное приближение уравнений Максвелла для монохроматических полей
ЕЕ(х, г) = Яе(Е(х)г), Н(х, г) = Яе(Н(х))
(1)
при отсутствии сторонних токов имеет вид
гоШ (х) = с( х) Е (х),
гогЕ = 1 юцН,
где Е и Н - векторы напряженности электрического и магнитного полей, ц - магнитная проницаемость, с(х) - удельная электропроводность, ю -циклическая частота, х - вектор пространственных координат. Для горных пород магнитная проницаемость ц равна магнитной проницаемости вакуума. Будем предполагать, что вне конечного объема V с достаточно гладкой поверхностью £ удельная электропроводность постоянна. На границе £ непрерывны касательные компоненты напряженности электрического и магнитного полей.
Пусть известно поле электропроводности. Это означает, что в каждой точке х в малом образце размером 10 выполнено его измерение. Случайная функция пространственных координат с(х) рассматривается как предел с(х)г ^ с(х) при 10 ^ 0.
Зависимость с(х) от масштаба I можно рассматривать как фактор, позволяющий развить новые подходы к исследованию случайно неоднородной среды. Пусть задано поле с(х )г . Как перейти на
более грубую сетку 12? Можно сгладить поле с(х )г
по масштабу 12 > /1, но будет ли полученное поле истинной электропроводностью для масштаба 12? Вообще говоря, это не так. Придется выполнить измерение электропроводности заново, в образ-
цах размера ¡2. Необходимость этой процедуры вызвана тем, что флуктуации электропроводности из интервала масштабов (11,12) имеют корреляции с индуцируемыми ими флуктуациями электрического поля. Аналогично работе Колмогорова [2] рассмотрим безразмерное поле у(х, ¡1, ¡2) = а( х),
1, где a(x)t и a(x)t - сглаженное по
мас-
Э ln а (x) i д ln 1
= ф(x, 1),
(2)
li
x = 1
а( x), = a0exp
-|ф(x, li)^
(3)
< ¡1 < ¡, I - ¡0 = сИ, где сИ мало. Мелкомасштабная (под-сеточная) компонента равна с'(х) = с(х) - о(х, ¡):
г- L
а(x, l) = a0exp
-|ф(x, li )-J1
l1
x
а( х V
штабам ¡1 и 12 поле а(х )г . Разложим функцию у(х, ¡1,¡3) и у(х, 12,¡3) в ряд Тейлора в точке ¡2. Пренебрегая членами второго порядка малости и используя очевидное свойство у(х, ¡ъ ¡3) = у(х, ¡1, ¡2)у(х, ¡2, 13) получим
x exp
-}ф( x, li)-J1
(5)
а'( x) = а( x, l)
l
exp
-|ф(x, li) dJi
l
l
l
-1
exp
-|ф(x, li )
l1
, X = у. Решение урав-
где ф(х, ¡) = ( х, ¡, ¡Х) ё X
нения (2) описывает электропроводность как функцию поля ф, которое определяет все статистические свойства электропроводности:
а(x, l) =
<а'( x )> = 0,
i- ф( i)-+2 Фо (i) -
aj(x), (6)
где с0 - константа. Предполагается, что проводимость имеет неоднородности масштаба I из интервала (¡0, Ь), где ¡0, Ь - минимальный и максимальный масштабы измерений, с(х) = с(х )г , а поле ф
изотропное и статистически однородное. Поля с различными масштабами для любых х, у статистически независимы:
Ф((х - у)2, ¡, ¡1) = Ф((х - у)2, ¡)8(Ы -1п¡!). (4)
Эта гипотеза обычно предполагается верной в различных моделях [2] и отражает тот факт, что статистическая зависимость уменьшается для разных масштабов. Для масштабно-инвариантной среды это означает, что при х = у корреляционная функция не зависит от масштаба. Если дисперсия ф(х, ¡) конечна, то для больших значений
Ь интеграл (3) стремится к нормальному полю. ¡0
Для упрощения в дальнейшем предполагается, что поле ф(х, ¡) имеет нормальное распределение.
ПОДСЕТОЧНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
Функцию проводимости с(х) = с(х разделим
на две компоненты относительно масштаба ¡. Крупномасштабная компонента с(х, ¡) получена статистическим усреднением по всем ф(х, ¡1) с ¡0 <
где угловые скобки означают статистическое усреднение, ф (¡) = (ф(х, ¡)), Ф0(/) = Ф(0, ¡). Крупномасштабные (надсеточные) компоненты напряженности электрического и магнитного полей Е(х, ¡), Н(х, ¡) получаются как усредненные решения системы уравнений (1), в котором крупномасштабная компонента с(х, ¡) фиксированная, а мелкомасштабная о'(х) - случайная величина. Подсеточные компоненты электрического и магнитного полей равны Е'(х) = Е(х) - Е(х, ¡), Н'(х) = = Н(х) - Н(х, ¡). Подставим выражения для Н(х), о(х) в систему уравнений (1) и усредним по мелкомасштабной компоненте
(7)
rotH(x, l) = а(x, l)E(x, l) + <а'Е'>а(x,0,
rotE(x, l) = iюцН(x, l),
где (->а(Х, j) означает усреднение по всем ф(х, l1) при l1 в интервале J0 < l1 < l, если компонента a(x, 1) фиксированная. Вычтем из (1) систему уравнений (7) и, оставляя члены только первого порядка малости, получим подсеточные уравнения
rot Н' = а( x, 1) Е' + а' Е (x, 1), rotE = i юцН'.
(8)
Считая известными поля Е(х, ¡), Н(х, ¡), найдем решение для Е', Н'. Для полей, в которых небольшое изменение масштаба влечет за собой значительные флуктуации самого поля (это характерно для фрактальных полей), можно считать, что с(х, ¡), Е(х, ¡), Н(х, ¡) и их производные меняются медленнее, чем а', Н' и их производные. Введем
обозначение к = (1 + /) 7юца(х7/у/2 . Для определенности выбрано то значение корня, при котором
о
Re к > 0, Im к > 0, r = |x - x'|. Решение системы уравнений (8):
л ikr
1 ре
E'(x) - — iюц I — а'(x')dx'E(x, l), 4 п J r
л ikr
H' - 1 f i-Va< 4 nJ r
V
dx'
а(x, l)
rotH(x, l).
(9)
(10)
(а' (x) E'( x )>
< j>a;(x) - ai(x)E(x, l)
по полному телесному углу дает I 2
J r
XjXm М - 4nj
получим (a'rot H'>
~ 2
a( x, l) - з
Ф|
,(l)d + k2f reikr Ф(r, l)dr-
x
Из (5), (6) следует: если разность I - 10 достаточно мала, то (с'(х)с'(х')) - Ф(г, /)с2(х, I) М. Используя (9), получим
xa(x, l)rotH(x, l). (13)
Из (6), (7), учитывая (13), с точностью до членов
dl
второго порядка малости по — для среднего значения электрического поля имеем
< E ( x )>al( x) = (( 1-j- Фо (l) ~ + ф( l) J] -
a(x, l)
- к21гекгФ{г, I)Мгус(х, I)Е(х, I). (11)
о
Корреляционная функция Ф(|х - х'|, I) мала вне области радиуса Ь < Ь0 с центром в точке х, где Ь0 -масштаб всей области. Поэтому в (11) интегрирование по конечному радиусу заменено интегрированием с бесконечным пределом. Во внутренних точках такая замена правомерна. В узкой полосе порядка Ь вблизи границы оценка (с'(х)Е'(х)}СТ(х, [) может иметь плохую точность. Из (6), (7) с учетом (11) и с точностью до членов второго порядка
малости по — получим оценку для усредненного
значения плотности электрического тока (,0С (х) во внутренних точках области:
-2 ^. r,l) a-] ..J_rot h
( x ).
Если юцЬ2с(х, I) < 1, то чтобы решить систему (1), используя вместо с(х )1 более гладкий коэффици-
ент a(x)l = аш exp
г dl1
-|ф (x, l1) -l
и получить при
этом правильное среднее значение напряженности электрического поля, нужно использовать с01, которое в пределе при I ^ 10 удовлетворяет уравнению
1ШГ = -6 Фо( l) + * l).
(14)
В масштабно-инвариантной среде средние значения Ф0, ф не зависят от масштаба I. Решение уравнения (14) в этом случае имеет вид
aol = ао lI L
+ к21гекгФ(г, I)МгМс(х)Е(х, I). (12)
о
Если юцЬ2с(х, I) < 1, то интегральным членом в (12) можно пренебречь. Это условие выполняется в широком диапазоне частот для задач скин-слоя в неоднородной среде с масштабами неоднород-ностей Ь < Ь0. Таким образом, если в уравнении (1) удельная электропроводность с(х) заменяется более гладкой С;(х), то усредненное значение плотности тока незначительно меняется при малых масштабах неоднородностей. Используя (10), интегрируя по частям и пользуясь тем, что интегрирование
l ч-6 Фо+ Ф
(15)
где константа с0Ь описывает течение тока в среде на самом большом масштабе при I = Ь и определяет эффективную электропроводность в надсеточ-ной области.
ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
Для проверки приведенных выше формул численно решается следующая задача. На проводящую среду действует переменное магнитное поле с циклической частотой ю. Будем считать, что напряженность внешнего магнитного поля Н = (0, Иу(т), 0), Иу(т) = Н0 при г = 0. В расчетах использу-
- х с
ются безразмерные переменные: х = —, с = —,
Ьо Со
L
Ьоа)
к/ Н 0
Е, к1 = д/цюа). Таким
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.