ВЕСТНИК ЮЖНОГО НАУЧНОГО ЦЕНТРА Том 9, № 4, 2013, стр. 26-31
ФИЗИКА
УДК 539.3 : 621.891; 678.5
ЭФФЕКТИВНЫЕ УПРУГИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ТКАНЫХ
КОМПОЗИТОВ НА ПОЛИМЕРНОЙ ОСНОВЕ С АНТИФРИКЦИОННЫМИ ДИСПЕРСНЫМИ ДОБАВКАМИ
© 2013 г. В.В. Бардушкин1, А.П. Сычев2, А.А. Сычев2, В.В. Даньков2
Поступила 28.03.2013
Решена задача вычисления эффективных упругих свойств дисперсно-наполненных матричных композитов, дополнительно армированных волокнами, расположенными параллельно некоторой плоскости в двух взаимно перпендикулярных направлениях. Проведены модельные расчеты эффективных упругих характеристик композитов на эпоксидной основе со стеклянными волокнами и дисперсными добавками из политетрафторэтилена, учитывающие изменения концентраций изотропных компонентов.
Ключевые слова: матричные композиты, включения, матрица, эффективные модули упругости, анизотропия, моделирование.
Создание новых трибокомпозитов предполагает подбор состава, структуры и концентрации компонентов с целью оптимизации их физико-механических характеристик с учетом действующих эксплуатационных факторов. Указанные материалы должны обладать высокой износостойкостью, механической прочностью при сжатии и сдвиге, хорошими демпфирующими свойствами и т.д. Для их разработки проводится множество экспериментальных исследований, требующих больших затрат временных, материальных и финансовых ресурсов [1-3]. При этом нет уверенности в оптимальности получаемого решения. Поэтому, не умаляя важности экспериментальных методов исследований, необходимо отметить, что все большее значение приобретают теоретические методы анализа, моделирования и расчета физико-механических (в частности, упругих) свойств трибокомпозитов. Основой подобных исследований является прогнозирование их эффективных физико-механических свойств [3; 4].
Вопросы, связанные с моделированием и расчетом эффективных упругих характеристик матричных композитов в зависимости от состава и концентрации компонентов, рассматривались многими
1 Национальный исследовательский университет «Московский институт электронной техники», 124498, г. Москва, Зеленоград, проезд 4806, д. 5, e-mail: bardushkin@mail.ru
2 Южный научный центр Российской академии наук, 344006, г. Ростов-на-Дону, пр. Чехова, 41, e-mail: sap@rgups. ru
авторами. Подробный обзор этих работ можно найти, например, в [3; 4].
Однако исследования показывают, что использование в тяжелонагруженных узлах трения двух-компонентных композитных материалов ограничено ввиду их малой удельной прочности и несущей способности. Для таких узлов целесообразно создавать многокомпонентные композиты, исходя из синтеза конструкционного материала, например, с антифрикционным [1-4].
Довольно широкое применение в триботехнике находят многокомпонентные дисперсно-наполненные композиты. Задача прогнозирования эффективных упругих свойств таких материалов решена в [5; 6]. Однако на практике армирование трибо-композитов часто производится неизометричны-ми включениями. Так, широкое распространение в тяжелонагруженных узлах трения (например, в скользунах боковых опор электровоза) получили композиции на основе полимерного связующего и арматуры - волокон из политетрафторэтилена (ПТФЭ) или графита, ортогональных стекло- или углеволокнам [3; 4]. В работах [7; 8] решена задача прогнозирования эффективных упругих свойств подобных композитов.
В настоящей работе решается задача прогнозирования эффективных упругих свойств тканых композитов на полимерной основе с антифрикционными дисперсными добавками в зависимости от концентрации и состава их компонентов. Построение моделей прогнозирования эффективных упругих свойств таких материалов базируется на
представлении их структуры в виде статистически однородных матричных композитов, армирование которых производится включениями в виде сфер одинакового радиуса и равными друг другу вытянутыми эллипсоидами вращения. При этом в пространстве композита эллипсоиды ориентированы своей большой полуосью параллельно некоторой плоскости в двух взаимно перпендикулярных направлениях.
Эффективные упругие характеристики матричных композитов определяются с помощью тензора четвертого ранга с*, связывающего средние значения напряжений (б/(г)) и деформаций (ек/(г)) в материале (/,/', к, I = 1, 2, 3):
(^(г)) = с/ (ен(г)Х где г - радиус-вектор случайной точки среды, угловые скобки здесь и далее определяют процедуру усреднения по ансамблю, которое для статистически однородных композитов, т.е. при выполнении гипотезы эргодичности, совпадает с усреднением по объему [9].
Общая схема расчета эффективных упругих свойств матричных композитов в рамках теории случайных функций выглядит следующим образом. Представим тензоры напряжений V, деформаций е и модулей упругости с в виде суммы средних значений и флуктуаций (для удобства в дальнейшем, если это возможно, индексы в записи компонент тензоров и элементов матриц будем опускать):
а(г) = (а(г)) + V '(г), е(г) = (е(г)) + е '(г), с(г) = (с(г)) + с'(г).
Полагая, что флуктуации линейно зависят от средних значений, получим
а'(г) = Р(г)(а(г)), е'(г) = б(г)(е(г)).
Тензоры Р(г) и Q(г) являются интегральными операторами, описывающими взаимодействие между включениями. Таким образом, связь между локальными и средними напряжениями и деформациями в материале может быть представлена в виде
а(г) = (I + Р(г)) (а(г)), е(г) = (I + Q(г)) (е(г)).
где I - единичный тензор четвертого ранга.
Эффективные упругие характеристики получаются из решения системы стохастических дифференциальных уравнений 2-го порядка (уравнений равновесия). Для бесконечной среды решение этой системы можно отыскать, используя метод функций Грина с помощью специально вводимого однородного тела сравнения. Тогда выражение для расчета тензора эффективных модулей упругости представляется в виде
с* = (с(г)(1 - Q(r)c''(r))-1)((I - Q(r)c"(r))-1)-1,
27
где двумя штрихами здесь и далее обозначена разность между величинами неоднородной среды и однородного тела сравнения [9].
В настоящей работе используется обобщенное сингулярное приближение теории случайных полей, предполагающее наложение некоторых ограничений на ядро интегрального оператора Q. В рамках данного подхода для вычисления эффективных модулей упругости необходимо воспользоваться только сингулярной составляющей тензора Грина уравнений равновесия, зависящей лишь от дельта-функции Дирака. В этом случае интегральная свертка дельта-функции переводит интегральный оператор Q в постоянный функционал g, который можно вычислить с помощью фурье-образа сингулярной составляющей второй производной тензора Грина уравнений равновесия, что физически означает предположение однородности полей напряжений и деформаций в пределах отдельного элемента неоднородности. Расчетной формулой обобщенного сингулярного приближения теории случайных полей является выражение
с* = (c(r)(I- gc''(r))-1)<(I- gc''(r))-1)-1, (1)
где g - интеграл от сингулярной составляющей второй производной тензора Грина уравнений равновесия, являющийся тензором четвертого ранга. Для вычисления компонент giJil тензора g необходимо вначале осуществить расчеты компонент aiky тензора четвертого ранга A, а затем в aiklj по двум парам индексов - i, j и k, l - провести операцию симметризации [9]. Компоненты aklj тензора A вычисляются с помощью следующего соотношения:
aikj = - "4ГУnk nj dX (2)
где dX = sin 6d6d{, t-/ - элементы матрицы, обратной матрице T с элементами tü = cQkljnknj, а nk и nj (k, j = 1, 2, 3) - компоненты вектора внешней нормали к поверхности включения. Для эллипсоидальных включений с главными полуосями l1, l2 и l3 компоненты вектора нормали определяются соотношениями
n 1=—sin6cos{, n2=—sin6sin{, n3 = —cos6.
l1 l2 l3
Верхний индекс «с» в записи компонент cckij тензора модулей упругости обозначает, что рассматриваются упругие характеристики однородного тела сравнения [9].
Соотношение (1), как показано в [3; 4], может быть использовано для расчета эффективных характеристик статистически однородных матричных композитов с включениями эллипсоидальной формы, ориентированными друг относительно друга.
Таблица 1. Свойства компонентов композита [10-12]
Тип компонента Материал компонента Е, ГПа с р, г/см3
1 Включения БЩ-стекла 76,2 0,22 2,54
2 Включения ПТФЭ 0,15 0,33 2,20
3 Матрица ЭПАФ 5,4 0,46 1,30
Остановимся подробнее на процедуре усреднения. В случае выполнения условия эргодичности можно, как указывалось, использовать усреднение по объему (для каждого компонента неоднородного материала). Тогда операция усреднения по всему объему материала для некоторой случайной величины ат(г) сводится к суммированию
(а (г ^ = /у (г Л (3)
где и а^) - объемная концентрация компонента 5-го типа и соответствующая этому компоненту
случайная величина, /у 5 = 1 [3; 4; 9].
Рассмотрим далее многокомпонентный матричный композит с включениями двух типов. К первому типу относятся эллипсоидальные включения из бесщелочного (БЩ) стекла, ориентированные параллельно некоторой плоскости в двух взаимно перпендикулярных направлениях и имеющие одинаковую концентрацию в каждом из этих направлений. Основная их функция состоит в упрочнении композитных материалов. Ко второму типу относятся порошковые включения из ПТФЭ, выполняющие антифрикционную роль. В качестве матрицы (компонент третьего типа) используется эпоксидное связующее на основе триглицидилпараами-нофенола марки ЭПАФ [10]. Модули упругости и плотности компонентов композита представлены в таблице 1 (Е - модуль Юнга, с - коэффициент Пуассона, р - плотность).
При проведении численного моделирования положим, что компоненты композита изотропны. Пусть эллипсоидальные включения БЩ-стекла (/1, 12 и 13 - главные полуоси этих эллипсоидов) имеют одинаковую форму и ориентированы в пространстве композита только в направлениях осей х и у лабораторной системы координат. При этом /1 = Ь, 12 = 13 = 1 для включений, ориентированных в направлении оси х; 12 = Ь, /1 = 13 = 1 для включений, ориентированных в направлении оси у. Кроме того, положим, что концентрации включений БЩ-стекла в направлении каждой из осей х и у равны. Будем далее рассмат
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.