№ 1
ИЗВЕСТИЯ АКАДЕМИИ НАУК ЭНЕРГЕТИКА
2014
УДК 536.2
© 2014 г. ЗАРУБИН В.С., КОТОВИЧ А.В., КУВЫРКИН Г.Н.1
ЭФФЕКТИВНЫЙ КОЭФФИЦИЕНТ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ КОМПОЗИТА ПРИ НАЛИЧИИ ПРОМЕЖУТОЧНОГО СЛОЯ МЕЖДУ МАТРИЦЕЙ И АНИЗОТРОПНЫМИ ШАРОВЫМИ ВКЛЮЧЕНИЯМИ
Построена математическая модель переноса тепловой энергии путем теплопроводности в композите с изотропной матрицей и анизотропными шаровыми включениями в предположении хаотической пространственной ориентации главных осей тензора теплопроводности материала включений. Между матрицей и включениями находится промежуточный изотропный шаровой слой. Получена оценка эффективного коэффициента теплопроводности такого композита для материала включений, имеющего кристаллическую структуру, соответствующую основным типам систем кристаллической решетки.
Построен вариант математической модели переноса в композите с шаровыми анизотропными включениями тепловой энергии путем теплопроводности [1] применительно к включениям с хаотической пространственной ориентацией главных осей тензора теплопроводности материала включений, отделенным от матрицы изотропным шаровым слоем. Этот вариант модели позволяет получить оценку эффективного коэффициента теплопроводности такого композита. Математическая модель переноса тепловой энергии в композите построена в предположении, что композит состоит из изотропной матрицы с коэффициентом теплопроводности Хт и множества составных шаровых частиц радиусом Я^, каждая из которых включает анизотропный шар радиусом Я, окруженный промежуточным изотропным шаровым слоем толщиной Я# — Я с коэффициентом теплопроводности Х#. Принято, что составные частицы в общем
случае не контактируют между собой, т.е. окружены слоем материала матрицы. Тензор теплопроводности материала шарового включения имеет компоненты Ху, у = 1,2,3, определенные в прямоугольной декартовой системе координат Ох1 х2х3 с началом в центре включения. Значения Ху, Х^ и Хт будем считать заданными. Поскольку тензор
теплопроводности является симметричным тензором второго ранга [2], преобразованием координат он может быть приведен к взаимно ортогональным главным осям, которым соответствуют действительные главные значения Л1, Л2 и Л3 этого тензора [3]. Рассмотрим тепловое взаимодействие отдельно взятой составной шаровой частицы с неограниченным объемом окружающей его изотропной матрицы. Установившееся распределение температуры Т(х1, х2, х3) в матрице должно удовлетворять уравнению Лапласа в виде Т,и = 0 (запятая с последующими двумя нижними индексами I у обозначения Т температуры означает вторую производную по координате повторение одинаковых латинских индексов указывает на суммирование этих производных
'МГТУ им. Н.Э. Баумана, г. Москва. 128
по всем трем координатам). Установившееся распределение температуры Т*(хь х2, х3) в промежуточном слое также удовлетворяет уравнению Лапласа, а уравнение, описывающее установившееся распределение температуры Т°(хъ х2, х3) в анизотропном включении, имеет вид [4, 5]
(\уТ° )„■ =0. (1)
Примем, что на весьма большом по сравнению со значением Я^ расстоянии от включения составляющие градиента установившегося распределения температуры в матрице по направлениям координатных осей Ох,- равны соответственно О. Тогда непосредственной проверкой можно убедиться, что уравнению Лапласа удовлетворяют решения [5]
Т = 01X1 + В1х1 /г3; Т* = А*х, + Б^х1 /г3, (2)
где г2 = х,х,. Температура в центре шарового включения должна быть ограничена, поэтому решение уравнения (1) будет линейной функцией координат
Т° = 0°х1. (3)
В соотношения (2), (3) входят 12 коэффициентов Б{, А*, Б* и 0°, которые могут быть найдены из условий идеального теплового контакта на сферических поверхностях с радиусами Я^ и Я. Эти условия задают непрерывность распределения температуры и нормальной составляющей вектора плотности теплового потока при переходе через поверхности контакта и с учетом соотношений (1)...(3) имеют вид
0х? + Б1хГ/я1 = А*х* + Б*х*/ Я;
X т(0, + Б, /Я3 - ЪБ^х^хГ/Я^пГ = Х*(АТ + БТ /Я3 - ЪБ^хТ/Я^пТ
при х*х* = Я*, где п* = х* /Я — направляющие косинусы по отношению к координатным осям Ох, нормали к сферической поверхности радиусом Я# в точках этой поверхности с координатами х*, и
А*х° + Б*х°/Я3 = 0°х°; Х*(А* + Б*/Я3 - 3Б*х°х°/Я5)п° = Xу0°п° (5)
при х°х° = Я2, где п° = х°/Я — направляющие косинусы по отношению к координатным осям Ох нормали к сферической поверхности радиусом Я в точках этой поверхности
с координатами х1. Представив первое равенство (5) в форме (А* + Б*/Я3 - 0°)х° = 0, при произвольных значениях координат х°, удовлетворяющих условию х°х° = Я2, получим 0° = А* + Б*/Я3. Подставляя это соотношение во второе равенство (5), с учетом условия х°х° = Я2 можно записать Х*(А* - 2Б,*/Я3)х° = Ху(А* + Б*/Я3)х,°. Отсюда
в силу произвольности координат х ° точек на сферической поверхности радиусом Я и симметричности тензора теплопроводности с компонентами Хд получим
Б*/Я3 = (Х1к + 2Х£1к)-1(Х*5к] - Xу)А*, к = 1,2,3, (6)
где — символ Кронекера (8,к = 1 при г = к и Ьгк = 0 при г ф к). Из первого равенства (4) после его записи с учетом формулы (6) в виде (01 + Бi/Я3 - А*)х* = (Х,к + + 2Х*5гк)-1(Х*5ку- -Xу)А*ЯЗх(*, где Я = Я/Я*, при произвольных значениях координат
Ф эк эк п 2
х1 , удовлетворяющих условию х*х * = Я#, находим
5 Энергетика, № 1 129
Л* = ((2 + Я 3)Х*5;к + Х1к (1 - Я 3))-1(Х ку + 2Х£„)(0у + В у/Я*). (7)
Принимая второе равенство (4) с учетом соотношений (6), (7) и условия х*х * = Я*, запишем
(& - 2В1Я - у ¡к (2(1 - Я к + (1 + 2Я 3)Х ку )(& + Ву /Я3))х* = 0,
где у ¡к = М(2 + Я3)Х^81к + (1 - Я 3)Х ¡к)-1; X* = Х*/Х т, Хш = X ¡к/X т. Отсюда при произвольных значениях координат х*, удовлетворяющих условию х*х* = Я*, получим
В1 /Я3 = (25гу + улеку)-1(5у - Уу>£р,)&, I,Р = 1,2,3, (8)
где б ку = 2(1 - Я 3)Х*5 ку + (1 + 2Я 3)Х ку.
Пусть главные оси тензора теплопроводности материала включения совпадают с осями Ох,- используемой системы координат. Тогда уш и е^ будут элементами диагональных матриц третьего порядка, произведение которых будет диагональной матрицей с элементами
М2(1 - Я% + (1 + 2Я3)А 1 )/((2 + Я% + (1 - Я3)А,),
где Л ( = Л(/X т. Поэтому правую часть равенств (8) можно представить как произведение двух диагональных матриц и вектора с координатами О. В итоге вместо этих равенств запишем
(Ва/Оа)/Я3 = Ха, а = 1,2,3; (9)
где
Х = (2 + Я% + (1 - Я3)(Ла - 2%) - (1 + 2Я3)ХДа (1)
Ха — 3 — —3 — —2 — 3 — — . (10)
2(2 + Я3)Х* + 2(1 - Я )(Ла + Х*) + (1 + 2Я3)Х*Ла
Из первой формулы (2) следует, что наличие составной шаровой частицы создает в матрице возмущение температурного поля относительно линейного распределения
Т,° Е,к на большом удалении от этого включения, описываемое соотношением
ЛТ = Вх /г3. (11)
Пусть N одинаковых составных частиц с одинаковой ориентацией главных осей тензора теплопроводности материала включений находятся в объеме шара, ограниченном сферической поверхностью радиусом Я^ Так как объем каждого включения равен
3 3
4пЯ3/3, объемную концентрацию включений в объеме Ун = 4пЯ^ /3 можно определить
3 3
величиной Су = ИЯ /Я^. Положим сначала, что 02 = 03 = 0. Для точки, удаленной от каждого из включений на весьма большое расстояние г по сравнению со значением Я№ примем для всех включений > . Тогда, согласно (11), N весьма удаленных включений, расположенных в объеме УК, вызовут в этой точке возмущение температуры, равное с учетом равенства (9)
Д Ти = N ДТ = ИО^иЪ/г )3. (12)
Если считать шар объемом Улг представительным элементом композита с рассматриваемыми составными частицами, то этот элемент с искомым значением Х° эффективного коэффициента теплопроводности композита в направлении координатной оси Ох: создаст в той же весьма удаленной точке такое же возмущение температуры [5]
АГ„ = 01х1 (Я„/г)3 (1 -X)/(2 + Х), (13)
где X1 = т. Приравняв правые части формул (12) и (13), получим
X1 = (1 - 2ХРу/Я3)/(1 + хРу/Я3). (14)
Аналогично можно найти формулы для X2 = Х°2/Xт и X3 = X°/Хт, где Х2 и Х3 — эффективные коэффициенты теплопроводности композита в направлении осей 0^2 и 0^3 соответственно. При а = 1,2,3 запишем
Xа = (1 - 21аСу/Я3)/(1 + ХоРу/Я3). (15)
Следовательно, в рассматриваемом случае композит будет анизотропным с главными
значениями Х°а тензора теплопроводности. Если три значения Ла различны, что характерно для включений с кристаллической структурой, принадлежащей триклинной, моноклинной и ромбической системам [6], то будут различны и все три значения Х^. Такой композит относят к ортотропным материалам [7]. В случае тригональной, тетрагональной и гексагональной систем кристаллической структуры включений два значения Ла совпадают и в общем случае отличаются от третьего значения [6]. Это приводит к совпадению двух значений Х^ для композита и к отличию их от третьего значения. Такой композит является трансверсально изотропным материалом [7]. Для включений с кристаллической структурой, принадлежащей кубической системе, все три значения Ла одинаковы, т.е. включения являются изотропными, что приводит и к изотропии композита в целом.
При хаотической ориентации анизотропных включений, когда ориентация главных осей тензора теплопроводности материала включения равновероятна, композит также становится изотропным. В этом случае значение Х° эффективного коэффициента теплопроводности композита можно найти по формуле, полученной преобразованием соотношения (15),
= X т( 1 - 2%° Су /Я 3)/(1 + х°Су / Я3), (16)
где определяется равенством (10) при замене в нем Ла на Л = (Л1 + Л 2 + Л3)/(3Х т). Отметим, что соотношение (16) совпадает с результатом, полученным в [8] в предположении изотропии шаровых включений. При отсутствии промежуточного слоя (Я = 1 и =1) это соотношение идентично известной формуле Максвелла [5, 9] для гранулированной среды, состоящей из маточной породы и включений в виде изотропных гранул. Такое совпадение можно считать косвенным подтверждением корректности процедуры, использованной при получении формулы (15).
Для оценки возможной погрешности (15) используем двойственную вариационную формулировку задачи стационарной теплопроводности [10, 11]
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.