научная статья по теме ЭФФЕКТЫ СЖИМАЕМОСТИ В УРАВНЕНИЯХ МАНТИЙНОЙ КОНВЕКЦИИ Геофизика

Текст научной статьи на тему «ЭФФЕКТЫ СЖИМАЕМОСТИ В УРАВНЕНИЯХ МАНТИЙНОЙ КОНВЕКЦИИ»

ФИЗИКА ЗЕМЛИ, 2015, № 6, с. 3-15

УДК 550.311

ЭФФЕКТЫ СЖИМАЕМОСТИ В УРАВНЕНИЯХ МАНТИЙНОЙ КОНВЕКЦИИ

© 2015 г. В. П. Трубицын1, 2, А. П. Трубицын1

Институт физики Земли им. О.Ю. Шмидта РАН, г. Москва 2Институт прогноза землетрясений и математической геофизики РАН, г. Москва E-mail: trub@ifz.ru, atrub@yandex.ru Поступила в редакцию 02.02.2015 г.

Система уравнений тепловой конвекции в приближении Буссинеска получается при пренебрежении рядом членов, которые в условиях мантии Земли не малы. Однако ошибка при расчете структуры конвективных течений оказывается меньше величины отбрасываемых членов. Чтобы проанализировать причину этого, в работе излагается последовательный переход от общих уравнений для нагреваемой вязкой сжимаемой жидкости к более простым уравнениям тепловой конвекции по мере пренебрежения малыми величинами при значениях параметров современной Земли. Рассматривается приближение квазиупругой вязкой жидкости (ALA), усеченное приближение квазиупругой вязкой жидкости (TALA), обобщенное приближение Буссинеска (EBA) и самое простое классическое приближение Буссинеска (BA), полностью пренебрегающее эффектами сжимаемости жидкости. При параметрах мантии приближение BA дает небольшую ошибку только для скоростей течений, а ошибка для температуры может достигать десятков процентов. Поэтому можно рассмотреть среднее между EBA и BA приближение, учитывающее эффект сжимаемости только для температуры. Это приближение можно назвать SBA — суперадиабатическим приближением Буссинеска для температуры Tsa. Соответствующее уравнение по виду совпадает с простым уравнением Буссинеска, но в него входит не полная температура T, а нададиабатическая температура Tsa. В этом простом приближении и рассчитанная структура конвективных течений, и распределение полной температуры (получаемой прибавлением известной адиабаты Ta к вычисленной Tsa) оказываются более точными по сравнению с классическим приближением Буссинеска.

DOI: 10.7868/S0002333715060125

1. АДИАБАТИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕМПЕРАТУРЫ В СЖИМАЕМОЙ МАНТИИ

При нагревании вязкой жидкости возникает инверсия плотности, и в поле тяжести может развиваться тепловая конвекция. Экспериментально она была открыта Бенаром в 1900 г., а теория ее возникновения была разработана Рэлеем в 1916 г.

При нагреве несжимаемой жидкости температура некоторых элементарных объемов у дна слоя благодаря флуктуациям может оказаться большей, чем для окружающей жидкости на той же глубине. Будучи более легкими, они поднимаются вверх, где оказываются еще более перегретыми по сравнению с окружающей жидкостью, и вся жидкость вовлекается в конвекцию. Интенсивность возникшего движения пропорциональна отношению силы плавучести к силе трения и скорости кондуктивного охлаждения, выравнивающего температуру. Количественно интенсивность тепловой конвекции характеризуется безразмерным числом Рэлея Яа = aрgАTd3/(кп), где а — коэффициент теплового расширения, р — плотность, g — ускорение силы тяжести, АТ — перепад температуры в слое, d — толщина слоя, к — коэф-

фициент температуропроводности (thermal diffu-sivity), n — динамическая вязкость [Schubert et al., 2001]. Из теории конвективной неустойчивости Рэлея следует, что конвекция в нагреваемом снизу слое жидкости возникает при превышении числом Рэлея критического значения, равного 657 для свободных границ и 1808 для границ с прилипанием. Для параметров мантии Земли, значения которых приведены в разделе 4, критическое значение числа Рэлея Rac=657 достигается при перепаде температур всего ATc = RacnK/(apgd3) = 0.04 K. Поскольку реальный перепад температуры, составляющий несколько тысяч градусов, на пять порядков больше критического, то в мантии должна происходить развитая квазитурбулентная тепловая конвекция с числом Рэлея около Ra ~ 5 х 107 .

При рассмотрении конвекции во всей мантии необходимо учитывать, что плотность вещества мантии растет с глубиной. Плотность мантии под литосферой равна р0 = 3.3 г/см3, а на границе с ядром она равна р1 = 5.56 г/см3. Это соответствует относительному изменению плотности на Др/р0 = = 68%. Поскольку перепад температур в мантии составляет порядка 4000 K, то благодаря тепловому

расширению плотность уменьшается всего на Др/р = аМ = 2 х 10-5 4 х 103 = 8%. Поэтому, если бы рост плотности мантии на 68% был обусловлен только изменением химического состава, то конвекция в мантии возникнуть бы не могла.

Однако в мантии Земли рост плотности с глубиной обусловлен в основном сжимаемостью вещества под давлением. В этом случае более горячий поднимающийся элемент жидкости, попадая в менее плотные слои, по мере подъема сам тоже разуплотняется от декомпрессии и поэтому на всех глубинах оказывается легче окружающего вещества. В результате рост плотности, обусловленный механической сжимаемостью, не препятствует конвекции, а лишь несколько меняет значение критического числа Рэлея.

Кроме механического эффекта, сжимаемость вещества влияет на тепловое поле. Поскольку объем поднимающейся сжимаемой жидкости в гравитационном поле по мере падения давления расширяется, то этот объем жидкости охлаждается не только благодаря кондуктивной теплопроводности, но и адиабатически (без теплообмена), совершая работу расширения за счет внутренней энергии. Поэтому для начала конвекции перепад температуры в мантии должен превышать не только релеевский критический перепад ДТС = 0.04 К, но еще и адиабатический перепад, который для мантии достигает ДТа ~ 1100 К, что во много раз (больше чем на 4 порядка) больше критического ДТС.

Если уменьшать перепад температуры в мантии, то интенсивность конвекции будет падать, и конвекция прекратится в тот момент, когда перепад температуры понизится до суммы адиабатического перепада (для компенсации эффектов сжимаемости) и релеевского критического перепада (для компенсации кондуктивного охлаждения) ДТа, + ДТс.

Адиабатическое изменение температуры при вертикальном перемещении объема жидкости можно найти из условия постоянства энтропии при отсутствии обмена теплом с окружающей средой. Рассматривая энтропию ж единицы объема как сложную функцию температуры Т и давления Р в виде 5(ху-, 0 = ж(Т(ху-, 0, Р(ху-, 0) и полагая производную по глубине равной нулю, получим

ёж = (дж/дТ)рёТ + (дж/дР)ТёР = 0. (1)

Согласно определениям коэффициент теплового расширения а и теплоемкость при постоянном давлении ср равны [Ландау и Лифшиц, 1964]

а = -(1/р)(др/дТ)р = р(дж/дР)т, Ср = Т{дж/дТ)р. (2)

Поэтому дифференциал от энтропии в (1) можно переписать в виде

ёж = (ср/Т)ёТ — (а/р)ёР = 0, (3)

и градиент адиабатической температуры равен

ёТа/ёк = [аТа/(рср)]ёР/ёк. (4)

С учетом условия гидростатического равновесия в поле тяжести

ёР/ёк = рg (5)

получим для адиабатического градиента

ёТа/ёк = аgTa/Сp = Т,/к т, кТ = с/^), (6)

где кТ — адиабатическая шкала температуры, т.е. расстояние, на котором адиабатическая температура возрастает в е = 2.7 раз.

В случае постоянных параметров для всей мантии интегрирование уравнения (6) дает изменение адиабатической температуры по глубине в виде

Та(к) = Т^хр[^/Ср)(к — = (7)

= Т1ехр[(к — к1)/кТ] = Т1ехр[^/(к — к1)/ё],

где Т1(к1) — начальная температура в мантии на глубине к1, = а%,ё/ср = ё/кТ — диссипативное число, ё — толщина мантии.

Для всей мантии при ё = 2890 км и средних значениях а = 2 х 10-5 К-1, ср = 1.2 х 103 Дж/(кг К), g = = 10мс-2 диссипативное число будет равно = 0.48.

Адиабатическая температура меняется по экспоненте от начальной реальной температуры Т1(х) на глубине к1 и поэтому существенно зависит от местоположения начальной точки.

Если вещество опускается (без кондуктивного нагревания) с самой поверхности мантии (например, осадки) к1 = 0 при начальной температуре Т1 = 300 К, то по (7) на подошве мантии к = ё = = 2890 км оно будет иметь адиабатическую температуру Та = 300ехр(0.48) = 485 К, т.е. адиабатически нагреется всего на 185 К. Если же вещество поднимается (без кондуктивного нагревания) с подошвы мантии к1 = ё = 2890 км при начальной температуре Т1 = 3500 К, то согласно (7) на поверхности к = 0 оно будет иметь температуру Та = 3500ехр(—0.48) = = 2165 К, т.е. адиабатически охладится на 1330 К. В результате средний адиабатический перепад температуры составляет (185 + 1330)/2 = 760 К.

При этом поскольку адиабатическое охлаждение поднимающегося вещества значительно (больше чем на 1000 К) сильнее адиабатического нагрева опускающегося вещества, то в целом адиабатический эффект сжимаемости при конвекции приводит к охлаждению мантии и эффективно эквивалентен отрицательным объемно распределенным источникам тепла.

При интенсивной тепловой конвекции с параметрами мантии Земли, соответствующими числу Рэлея Яа ~ 5 х 107, средняя скорость мантийных течений составляет примерно 5 см/год, а время опускания с подошвы литосферы до дна мантии составляет около 60 млн лет. Из размерного соотношения Т/т = кТ//2, следующего из уравнения теплопровод-

ности dT/dt=ксРТ/Ах2, время кондуктивного нагревания т слоя толщиной I оценивается как т ~ /2/к. Откуда при коэффициенте температуропроводности к = 0.7 х 10-6 м2/с за т = 60 млн лет кондуктивно прогревается слой толщиной всего в 35 км. Поэтому на участке вертикального перемещения вещества изменение его температуры происходит в основном адиабатически.

Однако в тепловых погранслоях мантии, где вещество движется горизонтально, имеется дополнительный большой кондуктивный градиент температуры, поэтому температура изменяется по адиабате только в средней части мантии между погранслоями.

Для вещества, находящегося на подошве литосферы на глубине Н1 = 100 км, температура в мантии Т1 близка к 1500 К. При опускании его до верхней границы нижнего погранслоя с к = 2790 км это вещество по (7) адиабатически нагреется до Та = = 2350 К, т.е. его температура увеличится на 850 К.

Поскольку океаническая литосфера участвует в конвективном кругообороте вещества мантии, то погружающиеся литосферные плиты также адиабатически нагреваются. За исходную температуру для них можно взять среднюю температуру внутри плиты, а именно полусумму поверхностной температуры 300 К и температуры подошвы

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком