научная статья по теме ЭХОСИГНАЛ ОТ РАССЕИВАТЕЛЯ, НАХОДЯЩЕГОСЯ В ПОКРЫТОМ ЛЬДОМ ОДНОРОДНОМ ВОЛНОВОДЕ Физика

Текст научной статьи на тему «ЭХОСИГНАЛ ОТ РАССЕИВАТЕЛЯ, НАХОДЯЩЕГОСЯ В ПОКРЫТОМ ЛЬДОМ ОДНОРОДНОМ ВОЛНОВОДЕ»

КЛАССИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ЛИНЕЙНОЙ АКУСТИКИ И ТЕОРИИ ВОЛН

УДК 534.2

ЭХОСИГНАЛ ОТ РАССЕИВАТЕЛЯ, НАХОДЯЩЕГОСЯ В ПОКРЫТОМ ЛЬДОМ ОДНОРОДНОМ ВОЛНОВОДЕ © 2015 г. Н. С. Григорьева*, Д. А. Михайлова**, Д. Б. Островский**

* Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет "ЛЭТИ" им. В.И. Ульянова (Ленина)

197376Санкт-Петербург, ул. Проф. Попова 5 E-mail: nsgrig@natalie.spb.su ** ОАО "Концерн "Океанприбор" 197376Санкт-Петербург, Чкаловский пр. 46 Поступила в редакцию 06.06.2014 г.

Статья посвящена моделированию акустического поля, рассеянного акустически жесткой или мягкой сферой, помещенной в покрытый льдом однородный волновод. Дно волновода и ледовое покрытие задаются своей плотностью и скоростью распространения продольных волн. Для вычисления коэффициентов рассеяния сферы используется метод нормальных волн. Число нормальных мод, участвующих в формировании эхосигнала, определяется заданной направленностью источника излучения. Приводятся численные результаты, полученные для акустически жесткого рассеива-теля и ледового рассеивателя, свойства которого совпадают со свойствами ледового покрова. При этом сравниваются две основные модели. В первой из них водный слой ограничен сверху ледовым полупространством, а во второй — воздушным. В широком диапазоне частот 8—12 кГц для этих двух моделей вычисляется давление в точке приема эхосигнала.

Ключевые слова: рассеяние акустических волн, сферический рассеиватель, эхосигнал, покрытый льдом однородный волновод, нормальные моды волновода, функция формы акустического рассеяния.

DOI: 10.7868/S0320791915010037

ВВЕДЕНИЕ

В то время как задачи распространения акустических сигналов в покрытых льдом морских акваториях привлекали внимание многих авторов (см., например, [1—6]), задача дифракции на рас-сеивателе, находящемся подо льдом, практически не рассматривалась.

В данной работе вычисляется эхосигнал от рассеивателя, помещенного в однородный водный слой, ограниченный снизу жидким дном, а сверху — ледовым полупространством, которое также предполагается жидкой средой. Рассеиватель имеет сферическую форму и представляет собой акустически жесткое или мягкое тело, а источник сигнала и приемник размещены в одной точке. Гармонический сигнал частоты 8—12 кГц излучается в пределах конуса, имеющего заданную угловую ширину на уровне —3 дБ.

В общем случае ледовый покров моделируется как упругий слой конечной толщины. Однако на рассматриваемых в данной работе частотах 8—12 кГц акустические волны во льду быстро затухают (см. [7], с. 215—220). Поэтому можно пренебречь волнами, отразившимися от верхней кромки льда и возвращающимися в водный слой, в том числе волнами, претерпевшими двойное преобразование: продольные ^ поперечные ^ продольные и т.д., и рассматривать ледовый покров как жидкое полупространство. Гладкая поверхность ниж-

ней кромки льда характерна для молодых льдов, в том числе и арктических.

Для вычисления коэффициентов рассеяния сферы используется метод нормальных волн. Полученное в работе аналитическое выражение для эхосигнала позволяет изучить его зависимость от частоты сигнала, глубины водного слоя, свойств дна и рассеивателя, расстояния от источника/приемника до сферы, а также от глубины погружения источника/приемника и самого рассеи-вателя. При этом сравниваются две основные модели. В первой из них водный слой ограничен сверху ледовым полупространством, а во второй — воздушным. В широком диапазоне частот для этих двух моделей вычисляется давление в точке приема эхосигнала.

Для более общих моделей среды, учитывающих неровность поверхности лед—вода и зависимость скорости звука в воде от глубины, эхосиг-нал от рассеивателя в аналитической форме уже не вычисляется, и полученные в данной работе результаты могут быть использованы для оценки влияния каждого из этих факторов.

ТЕОРИЯ

Рассмотрим сферический отражатель радиуса а, помещенный в водный слой, ограниченный снизу жидким дном, а сверху — ледовым полупространством, которое также предполагается жидкой средой, характеризующейся своей плотностью р; и

г < 4 г = й Лед: рг-, с1

( Вода: р0, с0 "Л9 Л

г М (источник/приемник)

7 = Ь Дно: Pь, сь

Рис. 1. Сферический рассеиватель, помещенный в волновод.

скоростью распространения продольных волн с. Плотность дна и скорость распространения продольных волн в дне обозначим рь и сь, в воде — р0 и с0. Рассеиватель представляет собой акустически жесткое или мягкое тело, свойства которого могут совпадать со свойствами ледового покрова. Начало координат совпадает с центром сферы. Ось г направлена вертикально вверх, как это показано на рис. 1.

Точечный источник, излучающий сферическую волну с циклической частотой ю, находится в точке Мводного слоя — Ь < г < й. Декартовыми и сферическими координатами точки М являются (х, 0, г) и (г, 9, 0) соответственно; х > 0. Положение приемника эхосигнала совпадает с положением источника.

Если сферический рассеиватель находится в изотропном водном пространстве, акустический потенциал эхосигнала в точке приема имеет вид (см., например, [8])

к 4п

Ф = к ^ (21 + Ш?\коГ)]2Ть

I =о

(1)

ных условий на поверхности сферы. Для акустически жесткой сферы

Т = -/,(к0а)/Н^ХкоА). (2)

В случае акустически мягкой сферы, плотность которой р, а скорость продольных волн с,

Т =

ко/} ка)]} (ка) - ^ к] (ка)/ (к0а) _Р_.

-кок^' (коа)]1 (ка) + Ро кк^ка)/ (ка) Р

(3)

где к0 = ю/с0 = 2я//с0 — волновое число в воде,/—

частота, Н^(х) = ^я/(1х)Н{1+1/2(х) — сферическая функция Ханкеля 1-го рода. При этом потенциал падающей волны в начале координат в отсутствие рассеивателя дается формулой ФЬс = ехр(/к0г)/(4яг).

Коэффициенты Т, содержащие всю информацию о свойствах рассеивателя, удобно трактовать как элементы диагональной матрицы, которую называют Т-матрицей. Они находятся из гранич-

Здесь к = ю/с — волновое число сферы, ](х) =

= 4 и/ (2 х)11+х/2(х) — сферическая функция Бесселя, штрих у сферических функций в (2) и (3) обозначает производную по всему аргументу.

Для исследования зависимости эхосигнала от частоты введем функцию формы акустического рассеяния, которая определяется как

Р(Л = ^ |Ф (1)1 Ф Ц = ^ |Ф(/)|; (4)

а а

при этом давление эхосигнала Р в точке приема с учетом поглощения в воде выражается через функцию формы:

Р = РоаЮ-{)Ла° Т(Т)10т2), (5)

где р0 — значение излученного давления, приведенное к 1 м, а коэффициент поглощения а0 — в децибелах и зависит от частоты.

Количество слагаемых, которые необходимо просуммировать в (1), определяется тем, что коэффициенты Т1 как для акустически жесткой, так и для мягкой сферы, начинают экспоненциально

ТО

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100 l

Рис. 2. Зависимость функции формы от числа просуммированных в (1) слагаемых для акустически жесткой сферы.

убывать при I > к0а > 1. Для иллюстрации на рис. 2 и 3 показана зависимость функции формы (4) от числа слагаемых в сумме (1) при / = 10 кГц, а = 2 м, г = 500 м для акустически жесткой сферы (рис. 2) и для ледовой сферы с р = р, = 900 кг/м3, с = с{ = = 3500 м/с (рис. 3). В воде р0 = 1000 кг/м3, с0 = = 1500 м/с. Вычисления показывают, что в обоих случаях достаточно положить тах I = 90.

В [9] для упругих оболочек была получена формула

max l = lmax =

Entier (k0a + 4.05(k0a)1/3) + 3, (6)

ф = - k" XT>X (r)Cmi,

0 l=0 m=0

(7)

где Т1 даются формулами (2), (3), а коэффициенты рассеяния сферы Лю1(г) имеют вид

Ami (r) = l m+1 X

nmwkp)

X J— f^Jm(qx)-

12лJ h 1 - VUexp[2/h(b + d)]

(8)

0

х \_е'к(г-а) + ие ~Ш(г-а) \(-1)/+теш + Ув'М2Ш) ].

В выражении (8) 80 = 1 и гт = 2 при т > 1, 1т — функция Бесселя т-го порядка, дик = к(ц) =

= 4ко - Ц2 — горизонтальная и вертикальная компоненты волнового вектора в воде, П ^ (х) — нормированная присоединенная функция Лежандра, которая связана с присоединенной функцией Лежандра Р/т(х) порядка I и ранга т соотношением (см., например, [11])

где Entier(y) — целая часть у. В частности, при f = 10 кГц и а = 2 м по формуле (6) max l = 104. Проведенные вычисления показали, что во всех рассмотренных ниже моделях правило (6) также применимо. Таким образом, с ростом частоты число слагаемых в сумме (1) возрастает пропорционально безразмерному параметру k0a.

Пусть теперь сферический рассеиватель находится в слое воды глубиной b + d, ограниченном снизу жидким дном, а сверху — ледовым полупространством (см. рис. 1). В [10] для эхосигнала от такого рассеивателя получено следующее представление, учитывающее влияние многократного рассеяния:

П Г(х) = 2/+1 ^^рДх). (9)

V 2 (/ + т)!

Коэффициенты отражения от верхней границы раздела и и нижней границы раздела Vравны соответственно [12]

U =

Pih - Р0hi

Pih + р0h'

V =

Рbh - Р0hb Р bh + Р 0hb

(10)

Здесь к = к(ц) = л]к2 - ц2, кь = кь(ц) = л[к[—Ц, к = = га/с, кь = га/съ — волновые числа продольных волн во льду и в дне. При этом предполагается, что на комплексной д-плоскости !тк(д ) > 0, 1тН(д) > 0, 1тНъ(д) > 0.

Коэффициенты Ст1 в представлении (7) находятся из линейной системы алгебраических уравнений

0

эо

о 1о 2о зо 4о 5о во Ю 8о 9о

Рис. 3. Зависимость функции формы от числа просуммированных в (1) слагаемых для ледовой сферы.

1оо

I

Ст1 = Ат1 (Г) + ^ *1пТпСтп,

(11)

п=о

где Птах = /шах, 0 < Ш < ШШ(/, п) и

^т _ .I+п+1(_1)т+1

Ыд П т(к/ко)П т(Н/к0)^ ко 1 к 1 _ ЦУвШ(М) (12)

х {иУе ™(МХ{_1)т+п + (_1)т+1) + уе ™> + (_1)п+'ив ,

Ятт — это коэффициенты преобразования /-й сферической гармоники в гармонику с номером п в рассматриваемом волноводе.

ВЫЧИСЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ РАССЕЯНИЯ С ПОМОЩЬЮ МЕТОДА НОРМАЛЬНЫХ ВОЛН

Интегральное представление коэффициентов рассеяния (8) справедливо при любых частотах, расстояниях г и глубинах волновода. Однако непосредственное вычисление интеграла (8) требует больших временных затрат, поскольку подынтегральная функция этого интеграла является быстро осциллирующей и медленно убывающей, а промежуток интегрирования бесконечным. Кроме того, подынтегральная функция интеграла (8) имеет особенности в нулях знаменателя 1 — — иУехр[21к(Ь + й)]. Для упрощения вычислений интеграла (8) преобразуем его в интеграл по контуру в комплексной плоскости, который затем

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком