научная статья по теме ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНАЯ ДИССИПАТИВНОСТЬ ДИФФУЗИОННЫХ ПРОЦЕССОВ СЛУЧАЙНОЙ СТРУКТУРЫ И ЗАДАЧИ РОБАСТНОЙ СТАБИЛИЗАЦИИ Автоматика. Вычислительная техника

Текст научной статьи на тему «ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНАЯ ДИССИПАТИВНОСТЬ ДИФФУЗИОННЫХ ПРОЦЕССОВ СЛУЧАЙНОЙ СТРУКТУРЫ И ЗАДАЧИ РОБАСТНОЙ СТАБИЛИЗАЦИИ»

Автоматика и телемеханика, Л- 10, 2007

РАС Б 02.30.Yy

© 2007 г. П.В. ПАКШИН, д-р физ.-мат. наук (Арзамасский политехнический институт Нижегородского государственного технического университета, Арзамас)

ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНАЯ ДНССНПАТИВНОСТЬ ДИФФУЗИОННЫХ ПРОЦЕССОВ СЛУЧАЙНОЙ СТРУКТУРЫ И ЗАДАЧИ РОБАСТНОЙ СТАБИЛИЗАЦИИ1

Рассматривается класс систем, описываемый конечным множеством управляемых диффузионных процессов Ито, аффинных по управлению, со скачкообразными переходами между ними, определяемыми эволюцией однородной марковской цепи (марковские переключения). Для таких систем вводится понятие и развивается теория экспоненциальной диссипативпости. Эта теория затем применяется для оценки возможных вариаций закона обратной связи по выходу. при которых система остается робастпо устойчивой. Для множества линейных систем с неопределенными параметрами па основе принципа сравнения со стохастической моделью предлагается процедура нахождения управления с обратной связью по выходу, обеспечивающего их робастпую одновременную стабилизацию. Процедура состоит из двух шагов. На первом шаге с помощью сходящегося итерационного алгоритма находится робастпое стабилизирующее управление, затем па основе решения системы линейных матричных неравенств оцениваются возможные вариации закона обратной связи, при которых сохраняется робастпая устойчивость. Дается пример.

1. Введение

Исследование систем с неопределенными параметрами является одним из центральных направлений современной теории управления и составляет предмет интенсивно развивающейся теории робастной устойчивости и управления [1. 2]. В этой теории существуют разные подходы к построению моделей неопределенностей. Для линейных систем широкое распространение получили аффинные и политопиые модели. которые позволяют привлечь эффективный аппарат полуопределенного программирования. в частности линейных матричных неравенств [1 3]. В то же время эти модели обладают тем существенным недостатком, что порядок системы неравенств. которую необходимо решать для анализа устойчивости или синтеза стабилизирующего управления, пропорционален п2№, где п - порядок системы, N - число неопределенных параметров. Ясно, что для реальных систем даже при наличии хорошей вычислительной базы и программного обеспечения подобные задачи остаются трудоемкими для исследователей и совсем непривлекательными для инженеров, занятых конкретным проектированием. Кроме того, неясным остается вопрос о том, как влияют возможные вариации самого закона управления на свойства системы.

1 Работа выполнена ири частичной финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 0о-01-0013"2а).

В [4] был предложен подход к исследованию робастности. основанный на построении стохастической системы с мультипликативными шумами, из устойчивости которой в среднем квадратическом следовала асимптотическая устойчивость исходной системы с неопределенными параметрами при любых неопределенностях in заданной области (робастная устойчивость). При этом не происходит повышения размерности задачи в зависимости от числа неопределенных параметров. К сожалению эта работа не получила дальнейшего развития прежде всего в связи с тем. что оставалось неясным, как решать те нестандартные матричные квадратные уравнения, к которым в конечном итоге приводили поставленные задачи робастной устойчивости и стабилизации.

Достигнутый в недавнее время прогресс в развитии методов решения нестандартных матричных уравнений типа Риккати па основе выпуклой оптимизации позволяет довести задачу до эффективных алгоритмов с применением современных программных пакетов для решения линейных матричных неравенств в случае, если вектор состояния доступен наблюдению [5. 6]. Этот факт стимулировал в данной работе развитие идей [4] для снятия трудностей, связанных с указанной выше проблемой размерности.

Вторая из обозначенных проблем оказывается тесно связанной с теорией дис-сипативности и пассивности. Основы этой теории были заложены в [7. 8]. Идейно она весьма близка к теории устойчивости по Ляпунову и характеризует свойства динамических систем в терминах специальных функций, зависящих от входных и выходных переменных, так называемых функций запаса (supply rate) и функций накопления (storage function). Исследования показали, что теория пассивности и диссипативности является весьма эффективным инструментом для исследования устойчивости и стабилизации нелинейных систем управления [9 11]. см. также списки литературы в этих работах и прекрасную обзорную статью [12]. В частности если систему удается сделать пассивной, то она сохраняет устойчивость в достаточно широкой области вариаций закона управления с обратной связью.

Отмеченный прогресс детерминированной теории стимулировал в последнее время существенный интерес к обобщению теории диссипативности для стохастических систем. Разновидности подобного обобщения были предложены рядом авторов [13 18]. В [13 15. 17. 18] изучались системы, описываемые управляемыми диффузионными процессами Ито: [16] посвящена исследованию управляемых систем с запаздыванием и марковскими скачкообразными изменениями параметров. В [17. 18] на базе обобщения теории диссипативности для стохастических систем развивалась теория Нто-управлепия для широкого класса стохастических нелинейных стационарных систем с обратной связью по состоянию и по выходу. В работе [15] показана связь идей диссипативности с задачей эргодического управления частично наблюдаемыми диффузионными процессами.

В данной работе рассматривается класс систем, описываемый конечным множеством управляемых диффузионных процессов Ито. аффинных по управлению, со скачкообразными переходами между ними, определяемыми эволюцией однородной марковской цепи. Показано, что для таких систем, в общем случае, невозможно обеспечить пассивность, поэтому вводится новое понятие и развивается теория экспоненциальной диссипативности. Новая теория позволяет оцепить возможные вариации закона управления с обратной связью по выходу, при которых система остается робастно устойчивой.

Для множества линейных систем с неопределенными параметрами на основе принципа сравнения со стохастической моделью результаты доводятся до численных процедур. В частности предлагается процедура нахождения управления с обратной связью по выходу, обеспечивающего робастную одновременную стабилизацию этого множества систем. Процедура состоит из этапа синтеза, где с помощью сходящегося итерационного алгоритма находится робастное стабилизирующее управление, и из

этапа анализа, где оцениваются возможные вариации закона обратной связи, при которых сохраняется робастная устойчивость. Оба этапа эффективно используют современные решатели линейных матричных неравенств. Дается пример.

2. Описание системы

Рассмотрим нелинейную систему, описываемую стохастическими дифференциальными уравнениями с марковскими переключениями

N

(1) dxt = [а(же, п) + Р(жь + ^ 7; [/;(жьп) + С;(жьп)у^и»,

1=1

(2) ^ = с(ж^), г > ¿о,

где xt € К" - вектор состоя пня, у € Мт — вектор входных переменных, zt € Кк -вектор выходных переменных, т - однородная марковская цепь с пространством состояний N = {1, 2,V} и матрицей вероятностей переходов Р(т) = [Ру (т)]Ц = = [РгоЪ{т(г + т) = э | т(г) = г}]? = ехр(Пт), 0 < г < г + т, П = [пу]?, пу > 0,

V

Э = г, = — ^ пу, и = [и1гда2г; •••и^] - стандартный вннеровскнй процесс,

определенный на полном вероятностном пространстве (П, Р, Р) с естественной фильтрацией Р^ г ^ г0, порожденной процессом и до момента г включительно; начальные условия ж^ = жо и тt0 = го _ детерминированные, и^ и ^ — независимы, 7; (1 = 1, 2, • • •, N) - положительные скаляры. Обозначим ф(ж^т^у) = а(ж^т^ + + В(жь п)ии Ф(жь тt, у) = [71/1 (жь тt) + ^(ж^ т^у) • • • YN(/N(жь (xt, т^у)]

и будем считать эти функции непрерывными по ж, и для всех т € N. Для обеспечения существования тривиального решения жt = 0 уравнения (1) положим, что для

всех г € N ф(о, г, о) = о, Ф(о, г, о) = о, с(о, г) = о.

Будем считать, что входная переменная у принадлежит классу и марковских относительно Р^ ^^^^^^^^^^^ ^^^^^теов таких, что при у € и существует единственное сильное решение уравнения (1) и ^ т^ € К" х N - марковский процесс относительно Р^ При этом необходимо принять следующее предположение.

и

Покажем, что это не является слишком ограничительным. Пусть входная переменная у может быть представлена в виде у = у^), где у : Кт ^ Кр - непрерывная функция, а ф и Ф удовлетворяют локальному условию Липшица и условию линейного роста, т.е. для каждого к = 1, 2, ••• существует Нк > 0 такое, что

(3) |ф(ж,г, у(2)) — ф(ж,г, у(2))| + |ф(ж,г, у(2)) — Ф(ж,г,у(г))| < ^ |ж — ж|

для всех г € N и ж, у € К" с |ж| V |у| ^ к, и кроме того существует Н > 0 такое, что

(4) |ф(ж, г, + |Ф(ж, г, < Н(1 + |ж|)

для всех ж € К" и г € N, z = с(ж, г).

Тогда существует едииствеииое сильное решение уравнения (1), определяющее марковский процесс ж т^' в пространстве состоянпй К" х N [19, 20]; здесь и далее символ ' означает операцию транспонирования. Таким образом, в этом случае условие Липшица и условие ограниченного линейного роста достаточны для того, чтобы

и

Пусть С2 (К" х N К) обозначат множество неотрицательных функций V : К" х N ^ К, которые дважды непрерывно дифференцируемы по ж. Рассмотрим

оператор Ь на С2(Мп х М; М), который для V € ¿„V : Мп х N ^ М по формуле

х М; М) и для и € Мт задает

(5) ¿„V(х, г) = Кт(х, г)[а(х, г) + В(х, г)и] + ^ V(х,,?) +

¿=1

N

+ 2 / (х, г) + (х, г)и]'(х, г) [/ (х, г) + Сг (х, г)и],

г=1

где, как обычно, Кт(х, г)

^ (х,г) ^ (х,г)

дх-1 дхп

и ^Хж (х, г)

дх„- дхк

Этот

оператор представляет собой производящий дифференциальный оператор марковского процесса [хс гс]' в пространстве состояпий Мп х N [19, 20].

п

п хп

3. Экспоненциальная диссипативность диффузионных процессов с марковскими переключениями

Обозначим через ([в, Т], Мт) множество всех модных процессов ис €ТЛ таких.

т

II и НЬ([«,т1) = е| II и II2 то, в > 0.

в

Рассмотрим функцию Ш : Мт хМхМк ^ М, связанную с системой (1), (2). Эту функцию, следуя [7], назовем функцией запаса па [в, то

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком