Письма в ЖЭТФ, том 90, вып. 10, с. 718-721
© 2009 г. 25 ноября
Эквивалентность методов кинетического уравнения и флуктуирующей частоты в теории уширения спектральных линий
Л. А. Буреева, М. Б. Кадомцев . М. Г. Левашова . В. С. Лисица1) , А. Калисти2)*, Б.Талин2>, Ф.Розми2^ Учреждение Российской академии наук Институт спектроскопии РАН, 142190 Троицк, Московская обл., Россия
+ ЯЯС РНЦ "Курчатовский институт", 123182 Москва, Россия "РИМ, UMR. 6633 Université de Provence / CNRS, Centre de St. Jérôme, F-13397 Marseille, France v Université Pierre et Marie Curie, LULI, Paris, France Поступила в редакцию 8 октября 2009 г.
Методом кинетического уравнения (МКУ) получено новое выражение для штарковских контуров спектральных линий в плазме с учетом эффектов динамики плазменного микрополя. Полученный результат выражает динамический контур линии в виде простых функционалов от статического контура. Исследована связь нового решения с известным методом флуктуирующей частоты. Показано, что последний является дискретным аналогом МКУ и переходит в него при переходе к непрерывному распределению флуктуаций. Получающиеся при этом простые формулы (4), (5), (21) для динамических контуров линий открывают возможности сверхбыстрых расчетов контуров спектральных линий с учетом эффектов динамики плазменного микрополя.
PACS: 32.30.^г, 32.60.+Í, 32.70.Jz
1. Метод флуктуирующей частоты (МФЧ) в теории уширения линий в плазме является в настоящее время наиболее быстрым численным кодом расчета эффектов ионной динамики, основанным на разбиении контура линии в статическом поле на отдельные спектральные участки, между которыми происходит обмен интенсивностями вследствие теплового движения ионов (флуктуаций частоты штарковско-го расщепления) [1]. Эффективность МФЧ проверена многократным тестированием путем сравнения его результатов с расчетами методом молекулярной динамики (ММД) для широкой области плазменных параметров [2,3].
Метод кинетического уравнения (МКУ) широко использовался для расчетов контуров линий при до-плеровском механизме уширения, в частности, для описания так называемого эффекта сужения Дикке при увеличении частоты столкновений излучающих атомов с окружающими частицами, см. [4]. С более общей точки зрения переход от гауссова к лорен-цевскому контуру в эффекте Дикке является переходом от однородного к неоднородному уширению в доплеровском уширении. К этому же классу явлений принадлежит, очевидно, и переход от статического (неоднородного) к ударному (однородному) контурам линий при штарковском механизме уширения.
Ч e-mail: lisitsaenfi.kiae.ru
2'А. Calisti, В. Talin, F.Rosmej.
В этой связи представляется уместным применить МКУ к описанию штарковских контуров линий. При этом возникает вопрос о соответствии методов МФЧ и МКУ. Целью настоящей работы является доказательство идентичности обоих методов, при которых МФЧ оказывается дискретным аналогом МКУ. Более того, использование МКУ позволяет, как показано ниже, получить простые аналитические формулы для штарковских контуров линий с учетом динамических эффектов. Это резко уменьшает время расчетов контуров с учетом динамики плазменного микрополя по сравнению с МФЧ.
2. Основой МКУ служит кинетическое уравнение для корреляционной функции дипольного момента атома:
Ф(т) = ^ехр ^СI ^ , (1)
где () обозначают усреднение по стохастическим флуктуациям уширяющего электрического поля Р (С - постоянная линейного эффекта Штарка). Кинетическое уравнение для корреляционной функции имеет вид
дФ /дФ\
правая часть этого кинетического уравнения представляет собой "интеграл столкновений",
ответственный за изменения (флуктуации) электрического поля Р вследствие теплового движения ионов. Этот интеграл выбирается, как и в эффекте доплеровского уширения, в виде так называемого интеграла сильных столкновений [4]:
—— I = —VФ
coll
vW{F) J $(F,r)dF. (3)
Здесь частота V является частотой флуктуаций (скачков) электрического поля и полагается ниже равной той же величине, что и в МФЧ: V = Ж1/3«, И, V - плотность и тепловая скорость уширяющих частиц). Функция распределения статических электрических полей И"( Г) определяет вероятность данной величины штарковского сдвига энергии уровня. Ниже она принимается равной распределению Хольцмарка, см. [4].
Следует отметить, что термин "столкновение" в (3) носит условный характер: он означает полное изменение величины поля вследствие теплового движения возмущающих частиц, после чего атомная система "забывает" первоначальное значение поля. При этом сами возмущающие частицы движутся по прямолинейным траекториям и не испытывают каких-либо столкновений друг с другом (приближение Хольцмарка).
Контур спектральной линии определяется фурье-компонентой корреляционной функции (1), которая с учетом соотношений (2), (3) приобретает вид
1(ш) = -Re •
{[/
W(w')dw'
7
i(w
W(w')dw'
ш'
i(w
■ ш'
(4)
Это уравнение является основой для расчетов по методу МКУ. Для проведения численных расчетов удобно выделить действительные и мнимые части в уравнении (4) в явном виде, что дает окончательное выражение для расчетов:
J(w) =
V J0J2
J?
Jk(w) =
OO /
W(w')(w-w
t\k
(5)
(u,
-dw':
• ш
к = 0, 1, 2.
Формула (5) является решением задачи о влиянии динамики возмущающего микрополя на контуры спектральных линий. В ней эффекты ионной (или электронной) динамики выражены в виде функционалов
от статического контура с единственным параметром V, описывающим динамические эффекты. Укажем, что соотношение (5) применимо не только к уширению вследствие линейного эффекта Штарка (что использовалось при выводе выше), но и к любому типу штарковского уширения, характеризуемого статическим контуром (см. также ниже).
3. Исследуем взаимосвязь нового МКУ с известным ранее МФЧ. Для этого запишем формулу для распределения интенсивности в линии в виде фурье-преобразования корреляционной функции дипольных моментов атома [5]:
1{ш) = Im -С d+\G(w)\dp0 >,
(6)
где ро - матрица плотности начального состояния излучающего атома, й-дипольный момент излучающего атома, С(г) - функция отклика атома, определяющаяся односторонним фурье-преобразованием оператора эволюции атома 11(1):
G(z) = i
-+-00
J U(t,0)e
e~ dt =(z- L)-
(7)
Оператор Ь является оператором Лиувиля для эволюции излучающей системы. Этот оператор определяется стохастическими дифференциальными уравнениями, учитывающими динамику движения многочастичного плазменного микрополя, создаваемого заряженными частицами.
В МФЧ эволюция спектра под воздействием флуктуаций электрического поля рассматривается как эволюция двухуровневых систем, на которые произвольно разбивается статический спектр атома [1]. Эволюция таких систем состоит в перескоках между различными участками спектра (двухуровневыми системами) с частотой V, описывающей временную эволюцию плазменного микрополя. Эти перескоки имеют характер переходов столкновительного типа, описывающихся марковским процессом.
Если рассматриваемый марковский процесс стационарен, то можно ввести в оператор эволюции стационарную матрицу переходов определяющую вероятность переходов Р(£) между двумя состояниями Хг и Жг рассматриваемой системы, согласно соотношению
Р{Ь)еш. (8)
Выделяя далее из матрицы УУ диагональную часть Г, определяющую время жизни состояний, и недиа-
З^3десь и далее подчеркивание обозначает матрицу.
720
Л. А. Буреева, М. Б. Кадомцев, М. Г. Левашова и др.
тональную часть Ж> определяющую вероятности переходов в виде
(9)
можно записать уравнение для эволюции вероятности Р_(Ь) в следующей форме:
д^Р(х212\х10) =
= ^ГХ2Р(х2Ь2\Х1 0) + ^ Ж^Р^'^хгО). (10)
х'
Для вероятности распадов имеем
гХ1 = ^ГшХ2,Х1. (п)
Умножая далее уравнение (10) на вероятность одно-частичного состояния #1(2:1,0) и суммируя по Хг, получим связь временной эволюции #1 с вероятностью переходов ШХиХ2:
д^г(х2,1) = ^ГХ2Ф1(Х2,1) + ^2ШХ2,Х,Ф1(Х1,1). (12)
х'
Стационарное решение этого уравнения Р\(х) имеет вид
ГхР1(х) = ^Шх,х,Р1(х1). (13)
х'
Используя введенные матричные обозначения, можно найти одностороннее фурье-преобразование функции Р_(Ь), имеющее вид
Р(г) = ^¿(г + гЖ^СГ1-
(14)
Используя описанный метод решения стохастических уравнений, можно записать выражение для фурье-преобразования оператора эволюции (так называемый пропагатор) в виде
£(с) = (г + гЖ^гГ^ЬГ1-
(15)
Предположим далее, что скорость переходов из Хг в х2 не зависит от жх, что дает
ШХ2<Х1=ГР1(Х2),
(16)
где Г - постоянная скорость флуктуаций.
Такое приближение соответствует приближению интеграла сильных столкновений в доплеровском уширении, использованном также выше при расчетах эффектов ионной динамики в штарковском уширении. Это же приближение используется в МФЧ, где изменение флуктуирующего электрического поля аппроксимируется марковским процессом, при котором
система в конечном состоянии полностью теряет память о ее значении в начальном состоянии.
В рамках указанных приближений выражение для распределения интенсивности в спектральной линии приобретает вид
1(ш) = < Рк\{и) ^ Ш + > р,.
к]
(17)
Здесь Ь - оператор эволюции атомного состояния в лиувилевском представлении, - дипольный момент атомного перехода, р^ = щ/г - относительная вероятность излучения на соответствующем переходе в двухуровневой системе, на которые разбит статический спектр излучающего атома, определяемая отношением интенсивности излучения на данном переходе к полной интенсивности излучения г = ^ак,
к
Г к] = Г 5к] = vN1/38kj - скорость релаксации рассматриваемого перехода, определяемая частотой тепловых флуктуаций электрического поля в системе частиц с тепловой скоростью и и плотностью И, матрица переходов (перескоков) между различными двухуровневыми системами с матричными элементами Жу = Грк.
Уравнение (17) в МФЧ представляет собой конечную дискретную матрицу, размерность которой зависит от разбиения системы на двухуровневые переходы. Ее обращение зависит от количества таких разбиений, определяющих точность метода МФЧ. Ясно, что с увеличением точности возрастает время, необходимое для расчетов. Поэтому ниже предлагается новая процедура, позволяющая из
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.