ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2007, том 416, № 5, с. 583-587
МАТЕМАТИКА
УДК 517.91
ЭКЗОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ РЕШЕНИИ ОБЫКНОВЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
© 2007 г. А. Д. Брюно
Представлено академиком А.Т. Фоменко 02.04.2007 г. Поступило 11.04.2007 г.
Изучаются ряды по чисто мнимым степеням переменной с постоянными коэффициентами. Показано, что им могут соответствовать функции с очень сложными особенностями. Затем рассматриваются разложения по комплексным степеням, коэффициенты которых либо постоянны либо являются многочленами от логарифма, а показатели степени лежат в некотором угле комплексной плоскости и возможно бесконечно много слагаемых с фиксированными вещественными частями показателя степени. Такие разложения названы экзотическими. Показано, как вычислять такие разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений весма общего вида.
1. РЯДЫ с чисто мнимыми
ПОКАЗАТЕЛЯМИ СТЕПЕНИ
Будем считать, что комплексная переменная х изменяется на универсальной накрывающей, т.е. х = ехр(р + /ф), р + /ф = Lnx, где /2 = -1, р, ф е К, р = 1п |х |. Пусть а = в + /у - комплексное число, где в, у е К и у Ф 0. Тогда степенная функция
ха = ехр (р + / ф)(в + /у) = = ехр[рв - ФУ + /(ру + фв)]•
При этом
= exp(pß - фу).
(1)
Вещественная линейная функция ф = ар + b, где а, b = const е U, определяет некоторую прямую на универсальной накрывающей. На ней
|x а| = exp [р(в - уа) - b у].
Институт прикладной математики
им. М.В. Келдыша
Российской Академии наук, Москва
При p ^ -га предел
lim[p(ß - уа) - bу] =
-га, если -bу, если +га, если
ß - уа > 0, ß - уа = 0, ß - уа < 0.
Следовательно,
0, если ß - уа > 0, lim|ха| = < const е U, если ß - уа = 0, га, если ß - уа < 0.
При этом lim |х | = 0, но lim |х а| = га, если ß < уа. Это неравенство выполнено при sign а = sign у и
|а | > jßj, т.е. при любых у Ф 0 и ß на универсальной
накрывающей есть такой путь ф = ар + b, что |х | ^ 0 и |ха| ^ га. в частности, при ß = 0 для этого достаточно равенства sign а = sign у.
Таким образом, степенная функция ха с комплексным показателем а устроена довольно сложно, если ф = arg х меняется неограниченно в обе стороны. Поэтому в дальнейшем будем предполагать, что ф ограничено с одной стороны.
Рассмотрим теперь ряд
П( х) = X
ckx
iyk
(2)
k = 0
где ck = const е С и у = const е [. Если у > 0, то согласно (1)
|x! lk\ = exp (-фу£) = [ exp (-фу)]к.
Поэтому при фу > 0 ряд (2) можно абсолютно суммировать как степенной ряд. По формуле Ко-ши он будет абсолютно сходиться при
exp (-фу) <--
1
lim kM
def „ = О.
(3)
k ^
а
х
Im 5 V++
V-
0 V+- Re 5
/ V-
Рассмотрим обобщение ряда (2)
Z( X) = £ ckx", (8)
k = 0
где ck, sk = const e C, Resk = 0, |Imsk + 1| > |Imsk| > 0, sk не имеют точек накопления и все Imsk одного знака. Для его области абсолютной сходимости справедлива формула
-ln |ck|
фsign(Im s2) > sign(Im s2) lim -j—¡-. (9)
Для одностороннего ряда (8), где все Imsk одного знака, область сходимости есть либо ф > ф0, если Im sk > 0, либо ф < ф0, если Imsk < 0. Ряд (8) отнесем к классу если Imsk > 0, и к классу если Imsk < 0. Аналогично ряд xAZ(x) отнесем к классу или в соответствии с классом ряда Z(x) в (8).
Рис. 1. Вериткальные углы V^
Если 5 > 0 и у > 0, то неравенство (3) выполнено при -фу < ln 5, т.е. при
ф> -у-1ln 5. (4)
Пример 1. Рассмотрим ряд
П( x) = x' £( -1 )Vk. (5)
k=0
Согласно (3), для него у = 1 и 5 = 1. Поэтому согласно (4) он абсолютно сходится при ф > 0. При этом его сумма
xi 1 1
П( x) = -2 = -' = -j-T—, (6)
1+ x x— + x 2cosLn x
ибо x' = exp(' Ln x) и 2cos у = e+ При ф = 0 ряд
(5) расходится, но функция n(x) = -—^— суще-
2cosln x
ствует и имеет бесконечно много полюсов, скапливающихся к x = 0. Функция (6) имеет также разложение
П( x) = x-' £(-1 )V2,'\ (7)
k=0
которое получается из (5) и (6) заменой x на x-1. Разложение (7) абсолютно сходится при ф < 0.
Заметим, что области сходимости рядов (2) и xAn(x) совпадают при любом A = const e C, если исключить точки x = 0 и x = Поэтому в дальнейших рассмотрениях исключим эти точки.
2. ЭКЗОТИЧЕСКИЕ РЯДЫ
Пусть на комплексной плоскости s с координатами Res, Ims через начало координат s = 0 проведены две прямые: ось Ims и отличная от нее наклонная прямая (рис. 1). Они делят плоскость на
четыре вертикальных угла V^ , а, т = ±1 (рис. 1). При этом каждый угол будем считать замкнутым, т.е. содержащим свою границу. Нижний индекс а
угла Va соответствует знаку Res на его границе, проходящей по наклонной прямой, а верхний -знаку Ims на его вертикальной границе. Степенной ряд
£(x) = £csxs по s e K, (10)
где cs = const e C, будем относить к классу ^ , если его носитель K с Va. Более того, степенной
ряд вида xA^(x) будем относить к тому же классу. При этом будем рассматривать только ряды вида (10), у которых носитель K не имеет предельных точек на комплексной плоскости s. Ряды (10)
классов ^ будем называть экзотическими. Согласно разделу 1, на универсальной накрывающей комплексной плоскости x = exp(p + 'ф) область абсолютной сходимости ряда (10) класса
^ может иметь вид
ар<ар0, тф>тф0, (11)
где р0 и ф0 - некоторые вещественные постоянные. Ряд (10) класса ^ является асимптотическим при |x |a ^ 0 и ф ^ т^, ибо тогда |x a| > |x в|, если a Re a < a Re в, т Im a > т Im в, что дает упорядоченность мономов xa по показателям a.
3. ЭКЗОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ РЕШЕНИИ
Пусть задано обыкновенное дифференциальное уравнение
Я( х, у) = 0,
(12)
где Я- дифференциальная сумма [1, 2]. Для его решений у = у(х) при |х | — 0 и |х | — га будем искать экзотические разложения
у = сгхг + ^ по 5 е К, 5 Ф г, (13)
где носитель К лежит в сдвинутом на г вертикальном угле г + Уа с вершиной в точке г. Для обычных разложений (13), когда множество К - г лежит в одном "горизонтальном угле", расположенном между двумя наклонными полупрямыми (рис. 2), процедура их поиска описана в [1, §§ 1, 3] (см. также [2, 3]). Такие разложения относятся к
обоим классам одновременно. Ниже укажем те изменения в этой процедуре, которые позволят получить экзотические разложения (13) решений уравнения (12).
Но сначала напомним те основные понятия из [1, § 1], которые остаются без изменения. По дифференциальной сумме Я(х, у) строится ее носитель &(Я) и многоугольник Г(Я), который является выпуклой оболочкой носителя S(Я). Граница дГ(Я)
.(0)
Рис. 2. Горизонтальные углы.
Согласно [1, п. 1.5] нормальный конус и
(1)
ребра Г:1' - это вещественный луч и(1) = {Р = (р1, р2) = 'Шк, X > 0}, где Ык- внешняя нормаль к ребру
(1)
многоугольника Г(Я) состоит из вершин Г, и ре- Гк . Приведенным н°рмальным к°
бер Г;(, называемых гранями Г;(Л). Каждой гра-
л)
нусом ик) ребра Г^) будем называть внеш-
(IV
1)
ни Г; ) соответствует свое укороченное уравне- ний нормальный вектор % (1, гк) к ребру Г , у
ние
/Г( х, у) = 0. Пусть, согласно (1.5) [1],
[-1, если |х| — 0, 1, если |х| —^ га.
ю =
(14)
(15)
Грани Г;(Л) расположены на многоугольнике Г(Я) Пусть к боковой вершине ■ примыкают либо слева, либо справа, либо вверху или внизу.
„(1) тт( 1)
которого первая компонента есть юк , т.е. ик =
= и(1) п {рх = юк1)}. Если ребро Гк^ горизонталь-
(1) _1_1 но, то юк = ±1, и
[+га для верхнего ребра, [-га для нижнего ребра.
(0)
ю,
(1),
кк
гк =
Каждой боковой грани Г значение
(Л)
соответствует свое
(л)
(Л)
ю = ю ) =
Г^" I
■ левая,
(Л)
Г"
■ правая.
тт - - (Л)
Для верхней и нижней грани 1 ■ величина ю^ принимает оба значения ±1.
Если экзотическое разложение решения (13) относится к классу ^ , то а = -ю.
л т-(1) т-(1) ребра Г к и Г к +1 с приведенными нормальными
конусами юк(1)(1, гк) и ю^ 1 (1, гк + х) соответствен-
(1) (1) т-т
но, гк < гк + 1 и юк = юк +1 = ю. Приведенным
т~т(0) Л
нормальным конусом и ■ боковой вершины Г;( 0) будем называть множество векторов Р = (р1, р2) = ю;(0)(1, г), где г пробегает замкнутую полосу комплексной плоскости г с двумя выколотыми точками
гк < Яе г < г
к + Ъ
г Ф г к, г,
к + 1
(16)
(0)
(0)
Re r-
< rk, если вершина Г ■ нижняя,
(0)
Re r \
<rk +1, если вершина Г, нижняя
т-(0)
>rk +1, если вершина 1 f верхняя.
(0)
Нормальный же конус U ■ состоит из объедине-
ния трех множеств U;(0) = {XUj- } u {XUj+} и и {X(0, 5)}, где X > 0 и
(0)
'т(0)
Г 1 т-(0)
-1, если вершина 1 нижняя,
5=
(0)
1 т^1 - '
1, если вершина 1 ■ верхняя.
тг тт (0) т~т (0) т~т (0)
Положим U ■ = Uu U ■ + .
(1)
ши(°)
Рис. 3. Приведенный нормальный конус вершины.
(заштрихована на рис. 3). Нормальный конус и;(0)
боковой вершины Г;( 0) - это множество Хи(0) с X > 0. Заметим, что это множество не является
~ (0) _(0) _(0) выпуклым, так же как и 3 . Пусть 1 ^ и 1 ^ + 1 -
две соседние вершины многоугольника Г(/) и между ними находится его боковое ребро Г1).
т тт(0) т~т(0)
Тогда и ] и и ] + 1 пересекаются по точкам вида
ю^' (1, г), где г пробегает две полупрямые с Reг = гк. 1тг < 0 и 1тг > 0.
Если вершина Г;( 0) - верхняя или нижняя на многоугольнике Г(/), то примыкающие к ней реб-
Т-(1) Т-( 1)
ра 1 к и 1 к +1 имеют приведенные нормальные конусы и к1' = юк1' (1, гк) и и Г+1 = юк1+) 1 (1, гк + х) с
разными значениями ю(1) = -1 и ю^1) 1 = 1. Тогда
г( 0)
вершине Г ^ поставим в соответствие два приведенных нормальных конуса
и= {Р = ю(1) (1, г)}, где г ф гк,
На каждом боковом ребре Гк имеются две
вершины 1 ■ и 1 ■ +1 , одна из них верхняя, а другая нижняя на этом ребре.
Итак, каждой грани ^) многоугольника 1(f) соответствует приведенный нормальный конус
U j). При этих определениях теорема 1.1 из [1] обобщается следующим образом.
Теорема 1. Пусть уравнение (12) имеет решение (13) класса ^, т.е. с определенными значениями r и W = -а, и пусть „рань ^) удовлетворяет условиям
а) ю(1, r) e U j);
б) в случае
d = 0, jRe r = rok, Imr Ф 0 (17) выполнено равенство
sign (Im r) =
Гт для нижней вершины Г;(0) ребра Гк';, I-т для верхней вершины Г;(0) ребра Гк1';
во всех других случаях 1тг произвольно. Тогда укорочение
1)
У = crx
(18)
L> rk, если вершина 1 ■ верхняя
разложения (13) является решением укороченного уравнения (14), соответствующего грани Г;(й).
Условие б) де
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.