АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2011, том 88, № 9, с. 819-827
УДК 524.88-337
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ И МАГНИТНЫЕ ПОЛЯ В АСТРОФИЗИКЕ КРОТОВЫХ НОР
© 2011 г. В. С. Бескин1, Н. С. Кардашев2, И. Д. Новиков2-3*, А. А. Шацкий2
1 Учреждение Российской академии наук Физический институт им. П.Н. Лебедева РАН, Москва, Россия
2Астрокосмический центр Учреждения Российской академии наук Физического института им. П.Н. Лебедева РАН, Москва, Россия 3Международная академия им. Нильса Бора, Институт им. Нильса Бора, Копенганен, Дания Поступила в редакцию 28.01.2011 г.; принята в печать 11.04.2011 г.
Рассматриваются свойства электрических и магнитных полей в вакууме в окрестности статических сферически-симметричных кротовых нор. Несмотря на то, что отдельные аспекты этой проблемы рассматривались ранее, некоторые важные аспекты проблемы оставались невыясненными. Подробно исследуются свойства электрического и магнитного поля при квазиадиабатическом перемещении источников поля вблизи кротовой норы Эллиса—Бронникова и при прохождении этих источников сквозь кротовую нору. Найдено точное решение в замкнутом виде для кротовой норы, помещенной в однородное на бесконечности магнитное поле, а также точное решение для дипольного поля без источников. Свойства электромагнитных полей имеют важное значение для возможных наблюдательных проявлений кротовых нор в астрофизике.
1. ВВЕДЕНИЕ
Особенности электродинамики кротовых нор впервые были отмечены Уилером в [1, 2]. Впоследствии эти вопросы рассматривались в целом ряде работ. В работе [3] были исследованы многие особенности свойств электрических и магнитных полей в статических и квазистатических кротовых норах. Там же см. ссылки на более ранние работы. В последние годы эта работа вновь активизировалась. Такое рассмотрение, помимо общего принципиального интереса, важно еще и потому, что в работах [4, 6] рассмотрена возможность существования макроскопических кротовых нор в реальной вселенной. Для наблюдательного проявления кротовых нор в астрофизике их магнитные поля могут иметь принципиальное значение. В работах [7—9] решается задача нахождения электростатического поля от точечного заряда в поле сферически-симметричной кротовой норы с нулевой массой. При этом в работе Линета [7] находится замкнутое решение для поля аналогично тому, как это было сделано им же в [10] для поля вблизи черной дыры Шварцшильда. В работе Хуснутдинова и Бахматова [8] строится общий метод нахождения поля вблизи статической кротовой норы с нулевой массой со сферической симметрией в виде разло-
Е-ша11:поу1коу@авс.гвв1.ги
жения по мультиполям. В качестве примеров более подробно рассмотрены два случая.
1. Кротовая нора с зависимостью радиуса г от продольного физического расстояния К в виде г (К) = го + \К\ (эта же кротовая нора рассмотрена в работе Красникова [9]).
2. Кротовая нора Эллиса—Бронникова [11, 12] (см. также работу Мориса и Торна [13]) с зависимостью г (Я) = д/го + Я2.
Мы в нашей работе подробно рассмотрим именно второй случай.
В работе Линета [7] для второго случая не делается никаких важных выводов об изменении потока поля через замкнутую поверхность горловины кротовой норы при движении заряда. Также не делается выводов об изменении потока поля через бесконечно удаленную зафиксированную сферу при движении заряда. Мы в данной работе сделаем эти важные выводы — существенные для интерпретации решения. Кроме этого, решение в виде разложения по мультиполям имеет свои преимущества (не только недостатки) по сравнению с решением в замкнутом виде и позволяет упростить интерпретацию выводов.
В работе Хуснутдинова и Бахматова [8] делается ошибочный вывод об изменении потока поля через замкнутую поверхность горловины кротовой норы
при движении заряда; об ошибочности данного вывода пишет также в своей работе и Красников [9].
Заметим, что в работе Хуснутдинова и Бахмато-ва [8] для кротовой норы Эллиса—Бронникова решение строится без учета особенностей полиномов Лежандра второго рода от мнимого аргумента (см. далее).
В настоящей работе найденное решение подробно исследовано, и в итоге делается вывод о сохранении потока электромагнитного поля через любую замкнутую поверхность до тех пор, пока ее не пересечет заряд (обобщение теоремы Гаусса на случай нетривиальной топологии кротовой норы); см. также [3].
В разделе 5 мы находим точное решение в замкнутом виде для кротовой норы, помещенной в однородное на бесконечности магнитное поле, а также для дипольного поля без источников (!). В свое время Дж. Уилер назвал решение для монопольного поля, проходящего сквозь кротовую нору и не имеющего источников, "заряд без заряда". По аналогии можно назвать решение для диполя без источников: "диполь без диполя" (см. раздел 5).
Мы рассматриваем в данной работе статические кротовые норы и не обсуждаем вопросы о физической природе материи, обеспечивающей их статичность.
2. ПРОСТРАНСТВО кротовой НОРЫ И ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ ЗАРЯДА В ПЛОСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Запишем метрический тензор простейшей сферически-симметричной и статической кротовой норы Эллиса-Бронникова (далее КН):
ds2 = dr2 - dR2 — r2(R) [d92 + sin2 6dV2] , (1)
r2(K) = r02 + R2.
Здесь величина ro соответствует (минимальному) радиусу горловины КН, а 4nr"^ — ее площади.
Область координат с R > 0 будем считать соответствующей нашему пространству, а область с R < 0 — другому пространству.
На радиусе ге = д/гд + (соответствующем физической координате Re) поместим точечный заряд е. Выберем направление 6 = 0 в пространстве направлением на этот заряд (для упрощения дальнейших вычислений).
В плоском пространстве Минковского r0 = 0, r = R > 0, и решение (для потенциала1 A) уравнений Максвелла для точечного заряда е хорошо
известно:
'Здесь и далее под А подразумевается нулевая (временна я) компонента 4-вектор-потенциала Ат, все латинские индексы в работе пробегают ряд {0,1, 2, 3} (соответствующий координатам {т, К, в, ).
Aflai(r,t,Te) =
'r2 + r2 — 2trer
(2)
Здесь индекс "flat" у потенциала электромагнитного поля означает рассмотрение в пространстве Минковского и введено обозначение t = cos в.
Хорошо известно также разложение в ряд по полиномам Лежандра Pn(t) выражения (2):
<х
AXt(r,t,re) = -rJ2Pn(t){r-fY (re < г), (3)
n=0
г
n=0 V^e
(4)
(Ге > г).
Оба решения (3) и (4) сшиваются на сфере г = ге непрерывно (но не гладко2).
3. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА Запишем уравнения Максвелла в общем случае ОТО3:
1 (v=.993n9kmFn
(5)
Здесь g — детерминант метрического тензора gtm, Fnm = dnAm — dmAn — тензор электромагнитного поля, jj — 4-вектор тока.
В нашем случае4 л/^^д = г2 sin в, Fnm = ó^A^ —
— 5TnA,m, jj = eS3T5(r — Te).
Запишем нулевую компоненту уравнений Максвелла для нашей метрики:
1г"2л~1 1 —^¡[sin0Ae]fl= (6)
r2 sin в '°>в v 7
-2 [г2 +
2e5(R — Re)5(cos в — 1)
Вводим новую безразмерную радиальную координату х = Я/г0, обозначаем хе = Яе/г0 и переписываем уравнение (6) в виде
[(1 + х2МДж + [(1 - г2)А,]^ = (7)
2в5(х - Хе)5(Ь - 1)
ro
2 Гладкость сшивки на сфере r = re есть только в точке t = — 1 (при 0 = п); это обусловлено тем, что в точке t = 1 (при 0 = 0) расположен заряд.
3Везде в работе используется следующая система единиц: скорость света c =1, гравитационная постоянная G = 1.
4Здесь ¿(r — re) = ¿(cos 0 — 1)S (R — Re)/(2nr2) - трехмерная дельта-функция Дирака; пространственные компоненты 4-вектора Am полагаем равными нулю.
e
n
2
r
Разные возможные варианты картины силовых линий магнитного поля около КН: (а) — однородное поле, соответствующее формуле (45), (б) — дипольное поле, соответствующее формуле (46), (в) — суперпозиция (формула (49)) однородного и дипольного полей в нашем пространстве. В отличие от черной дыры (у которой на горизонте тангенциальные компоненты поля должны обращаться в нуль), у КН на ее горловине тангенциальные компоненты поля могут присутствовать.
Решение однородного уравнения (7) ищем методом разделения переменных аналогично работе [14] для черной дыры:
А(хе ,х,г) = ^2 Сп (Хе )Ап (х)АП (г). (8)
п=0
Подставляя это выражение в однородное уравнение (7), получаем два отдельных уравнения:
(1 - 12)АПМ - ЯАП* = -п(п + 1)АП, (9)
Рп(х) =
1 с1п 2 Пп\
(х2 - 1)п,
(_1)п лп
1 ( х + 1
Яп{х) = -Рп(х) 1п ( у
(12)
(1+ х2)Ап, хх + 2хАХп, х = п(п + 1)Ап. (10)
Уравнение (9) является уравнением для полиномов Лежандра, поэтому А1п(г) = Рп(Ь). В уравнении (10) производим замену переменной5 х — гх, и после этого оно в точности становится уравнением для полиномов Лежандра. Поэтому двумя частными решениями уравнения (10) будут полиномы Лежандра первого (Рп) и второго рода (^п) от мнимого аргумента: Ап = Рп(гх) и Ахп = Яп(гх).
Полиномы Рп(гх) расходятся на бесконечности и подходят для случая \х\ < хе, поэтому для случая (\х\ > хе) нужно взять второе частное решение Яп(гх) (стремящееся к нулю на бесконечности).
Приведем выражения для полиномов Лежандра первого и второго рода (см. для действительного и мнимого аргументов [15, 16]):
п1
^2-Рк-1(х)Рп-к(х), к=1
Яп(гх) = Рп(гх) &г^(1/х) + п1
+ ^ -Рк-1{гх)Рп-к{1х).
(13)
к=1
В отличие от обычных полиномов Лежандра первого рода (у которых четные члены являются четными функциями, а нечетные члены являются нечетными функциями), у полиномов Лежандра второго рода оказывается наоборот: четные члены являются нечетными функциями, а нечетные члены являются четными функциями.
Стоит также обратить внимание на то, что выражения для любого Qn везде конечны и стремятся к нулю на но при этом (благодаря арктангенсу) выражение для Qn испытывает скачок6 в нуле:
Qn(+гe) - Qn(-гe)
= пРп (ге)
£-> 0
(14)
£-> 0
(11)
Здесь и далее г — мнимая единица.
Это происходит потому, что при положительном аргументе arctg(1/x) = п/2 — arctg х, а при отрицательном аргументе arctg(1/x) = —п/2 — arctg х.
Это свойство будет использовано далее.
Для вычисления полиномов удобны следующие рекуррентные формулы:
(п + 1)Рп+1 (х) = (15)
= (2п + 1)хР„(х) - пРи-\(х),
(п + 1)Ри+1(гх)= (16)
= —(2п + 1)хРп (гх) + пРп-1(гх).
С помощью выражений (11)—(16) выпишем несколько первых полиномов:
п Рп(х) рп{гх) Яп{гх) Яп(гх), ж>1
0 1 1 1
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.