КОСМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2014, том 52, № 6, с. 512-520
УДК 517.977:531.36:521.1
ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКОЕ УПРАВЛЕНИЕ В ЗАДАЧЕ О СТАБИЛИЗАЦИИ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА В ГЕОМАГНИТНОМ ПОЛЕ © 2014 г. К. А. Антипов, А. А. Тихонов
Санкт-Петербургский государственный университет апйрву_ k@rambler.ru, aatikhonov@rambler.ru Поступила в редакцию 26.09.2012 г.
Электродинамический метод стабилизации космического аппарата исследуется при октупольном приближении геомагнитного поля. Аналитически получены уточненные законы управления электродинамическими параметрами КА, обеспечивающие требуемую ориентацию КА. Доказана устойчивость стабилизируемого положения равновесия КА при постоянно действующих возмущениях. Произведенный численный анализ управляемого движения КА подтверждает работоспособность и практическую реализуемость предложенного метода стабилизации КА.
БО1: 10.7868/80023420614060016
1. ВВЕДЕНИЕ
Силы электродинамического взаимодействия космического аппарата (КА) с магнитным полем Земли оказывают существенное влияние на динамику вращательного движения КА вокруг его центра масс и могут использоваться при построении систем управления ориентацией КА.
Так, например, магнитные системы управления успешно применяются на долгофункциони-рующих КА ввиду того, что эти системы управления достаточно просты, обладают высокой надежностью и не требуют расхода рабочего тела [1, 2]. Вместе с тем, магнитные системы управления обладают функциональной особенностью, ограничивающей их возможности по направлению вектора управляющего момента.
Другой вариант электродинамического управления ориентацией КА, основанный на использовании момента лоренцевых сил, предложен в работе [3]. В работах [3] и [4] показано, что создание управляющего лоренцева момента, значительно превышающего по величине гравитационный и другие возмущающие моменты, не вызывает технических трудностей. Использование этого момента не требует расхода какого-либо рабочего вещества исполнительным механизмом, не требует приведения в движение каких-либо тел, имеющих массу, отличается простотой закона управления, надежностью и экономичностью [5].
Электродинамический метод стабилизации КА, использующий одновременно возможности магнитного и лоренцева моментов, и снимающий некоторые ограничения (как по постановке задачи, так и по методике решения), содержавшиеся в [3], описан в работе [6]. В той же работе предложен
механизм демпфирования собственных колебаний КА, не выходящий за рамки функциональных возможностей, содержащихся в самой электродинамической системе управления. Рассмотрена задача стабилизации КА в прямом положении равновесия в орбитальной системе координат. Решение этой задачи, так же как и упомянутые исследования во всех цитированных выше работах ([3]—[6]), выполнены при квадру-польной аппроксимации геомагнитного поля — наиболее простой аппроксимации, позволяющей корректно учесть отсутствие симметрии геомагнитного поля относительно оси суточного вращения Земли [7].
В настоящей работе электродинамический метод стабилизации КА исследуется в более точной чем ранее постановке, а именно при октупольном приближении геомагнитного поля. Получены соответствующие уточненные законы управления, обеспечивающие требуемую ориентацию КА. Доказана устойчивость стабилизируемого положения равновесия КА при постоянно действующих возмущениях. Произведенный численный анализ управляемого движения КА и величин восстанавливающих и демпфирующих компонент управляющих моментов подтверждает работоспособность и практическую реализуемость предложенной электродинамической системы управления.
2. ПРОГРАММНОЕ ДВИЖЕНИЕ КА
Рассматривается КА, центр масс которого движется в ньютоновском центральном гравитационном поле Земли по круговой кеплеровой орбите радиуса Я. Предполагается, что КА снабжен
электростатическим зарядом Q = Jad V, распре-
V
деленным по некоторому объему V с плотностью a, и управляемым собственным магнитным моментом I. Исследуется вращательное движение КА относительно его центра масс в орбитальной системе координат (в данной статье используются правые декартовы прямоугольные системы координат) C^nZ с началом в центре масс КА, ось С£,(^0) которой направлена по касательной к орбите в сторону движения, ось Сп(п0) — по нормали к плоскости орбиты, ось CZ(Z0) — вдоль радиуса-
вектора R = O3C = RZ0 центра масс КА относительно центра Земли Оз. Исследование проводится с учетом вращения орбитальной системы координат относительно инерциальной системы с угловой скоростью ю0. В качестве инерциальной системы координат принимается система OX* Y*Z*,
ось OZ*(k*) которой направлена по оси собственного вращения Земли, ось OX*(i*) — в восходящий узел орбиты, а плоскость (Х* Y*) совпадает с плоскостью экватора.
Используется также жестко связанная с КА система его главных центральных осей инерции Cxyz (орты i, j, k). Ориентация орбитальной системы координат относительно системы O„X*Y*Z* определяется на основании равенств * * *
i* = — sin u + cos u Zo , j* = cos i cos u - sin í'n0 + cos i sin u Z0, k * = sin i cos u^0 + cos in0 + sin i sin u^0,
где i = (k*, n0) — наклонение орбиты; u = (i*, Z0) — аргумент широты, причем u = ®0í.
Ориентация осей Cxyz относительно осей C£,nZ определяется матрицей А направляющих косинусов a¡, p(-, y¡ (i = 1, 2, 3) так, что имеют место равенства
%00 = ai i + aj + аз k, П0 = Pi i + Pd + Рзк, Í0 = Yi i + Y2j + Узк.
Если определять ориентацию КА в орбитальной системе координат с помощью "самолетных" углов ф, 0, у (так же как в [3]—[6]), то элементы матрицы А примут вид
ai = cos у cos 0, a2 = — cos ф sin у + sin ф cos у sin 0, a3 = sin ф sin у + cos ф cos у sin 0, pi = sin у cos 0, p2 = cos ф cos у + sin ф sin у sin 0 , p3 = — sin ф cos у + cos ф sin у sin 0 , yi = — sin 0, y2 = sin ф cos 0, y3 = cos ф cos 0.
Далее орбитальная система координат принимается за базовую, а программная ориентация КА в этой системе координат задается некоторой матрицей Ад направляющих косинусов. Пусть ю' = pi + эд + гк — угловая скорость КА относительно орбитальной системы координат (р, q, г —
проекции вектора ю' на оси Сху1). Положение КА, в котором
А = А0, ю' = 0,
(1)
будем называть программным движением КА. Требуется построить управляющие моменты, обеспечивающие программное движение КА.
2. УПРАВЛЯЮЩИЕ МОМЕНТЫ
В процессе движения КА относительно геомагнитного поля с магнитной индукцией В возбуждаются лоренцев момент МЛ и момент магнитного взаимодействия ММ, соответственно имеющие вид
МЛ = Р х Т, ММ = I х В,
(2)
где Р = Qp0, р0 = Q-1 JapdV — радиус-вектор цен-
V
тра заряда КА относительно его центра масс, р — радиус-вектор элемента dV КА относительно его
центра масс, Т = vc х В, vc = R — юз х R = = Я(ю0 - юз cos i)+ Rюзsinicos иц0 — скорость центра масс КА относительно системы координат, жестко связанной с вращающейся Землей, юз — угловая скорость суточного вращения Земли. Значение В в формулах (2) совпадает со значением В в центре масс КА. В условиях октупольного приближения геомагнитного поля вектор В определяется по формуле, полученной в работе [8]:
B
= £ B(n) = — grad
n = i
з
£
n=ir
R
! + 2
2n + i
■M'
( n)
nr),
где Яз — радиус Земли, г — радиус-вектор точки околоземного пространства относительно центра масс Земли, М(и) — мультипольные тензоры 1-го, 2-го и 3-го рангов, представляющие собой соответственно дипольный, квадрупольный и окту-польный магнитные моменты, выраженные через
гауссовы коэффициенты ^, Н^. Операция, обо-
значаемая символом
и называемая и-кратным
скалярным произведением, — одна из возможных
з
и
и
п-кратных сверток тензорного произведения тен- ных тензоров можно найти в [7]. В проекциях на зоров А и В ранга не менее п, определяемая в виде оси орбитальной системы координат имеем:
A B = v v—va......
C-^lj / , / , / i im, im - 1' —' in, 'n- 1'—' '2> 'l
" 'l '2 'n
x B¡ i i1,i2,
- 1, n' — , 'p- 1, p
Индексы суммирования ^^2, .••, in — 1, in принимают значения от 1 до размерности тензоров. Явные выражения для используемых здесь мультиполь- где
(n)
B
B
V BZ У
(n)
(n)
(
1 + 2
nM^^rT[n)
- (n + 1) MÍ
. T(") У
Tr = ( cos u, sin u, 0 )T, Tx = (- sin u, cos u, 0 )T, T0 = (0, 0, 1 )T,
t" = ® Tr,
T^ = Tx -1 T„
Tin) = Te®"- 1Tr,
M0n) — мультипольный тензор и-го ранга, преобразованный с матрицей Г = (Yj) (i = 1, 3, j = 1, 3 ) по формуле
(м0В))М2'...л = X YtjYu-Ytj
M
(n)
Í1,Í2, ---'In
Í1'h—' in = 1
Компоненты матрицы Г выражаются через наклонение орбиты i и часовой угол ф = ю3? восходящего узла следующим образом:
Y11 = cos ф, Y12 = - sin ф, Y13 = 0, у21 = cos i sin ф, у22 = cos i cos ф, у23 = sin i, Y31 = - sin i sin ф, y32 = — sin i cos ф, y33 = cos i.
Для стабилизации программного движения (1) применим концепцию построения электродинамической системы управления ориентацией КА, развитую в работах [9] и [6]. Для этого выберем законы программного изменения каждого из параметров Р и I в виде суммы двух слагаемых, одни из которых
pB = ^iT0, IB = kMB0 ,
TT
где Т0 = A0 (vC x B), B0 = A0 B, обеспечивают создание восстанавливающих компонент, а другие
РД = кЛю' x T, 1Д = ймю' x B
— диссипативных компонент моментов MЛ и Мм соответственно. Таким образом, для создания восстанавливающего и диссипативного электродинамических моментов следует взять векторы Р и I в виде
Р = Рв + РД, I = IB + !Д.
(3)
Управляющие моменты МЛ и ММ соответственно примут вид
мл = МЛВ + МЛД = ^T0 x T + йЛ(ю' x T) x T,
Mm = MMB + Ммд = = kMB0 x ATB + йм(ю' x ATB) x ATB,
где выбор параметров управления кл, kM, кЛ, hM допускает определенный произвол, который ограничивается техническими возможностями системы управления.
3. ЗАКОНЫ УПРАВЛЕНИЯ
Рассмотрим вопрос об электродинамической стабилизации КА в прямом положении равновесия, которое задается равенствами (1) при Áq = di-ag(1, 1, 1). В этом положении ф = 0 = у = 0. Подставляя данное значение Áq в (3), получаем закон управляемого изменения координат векторов Р и I в виде:
P0 = Q[kiVcnBz + ¿Л(vc^BQ - Рз^iBQ + Y3 х X ( v^Bn - VcB)) - r(a2 VcnBz - p2 vCiBq + Y2 x
x (v^Bn - ven)))], (4)
Py0 = Q[-kлvсiBZ + ¿л(r
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.