ЭЛЕКТРОКОНВЕКЦИЯ СЛАБОПРОВОДЯЩЕИ ЖИДКОСТИ ПРИ УНИПОЛЯРНОЙ ИНЖЕКЦИИ ЗАРЯДА В ПОСТОЯННОМ
ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ
В. А. Ильин* А. Н. Мордвинов, Д. А. Петров
Пермский государственный национальный исследовательский университет 614990, Псрлт, Россия
Поступила в редакцию 15 июля 2014 г.
Проведено исследование устойчивости равновесия и нелинейных режимов неоднородно нагретой слабо-проводящей жидкости в горизонтальном конденсаторе в поле тяжести и постоянном электрическом поле при униполярной инжекции заряда. Рассмотрена модель, в которой плотность инжектируемых с катода зарядов пропорциональна напряженности электрического поля в конденсаторе. Найдены зависимости критических параметров от степени нагрева и инжекции заряда. Изучено влияние числа Прандтля на границы неустойчивости равновесия и на частоту нейтральных колебаний. Нелинейные режимы электроконвекции исследованы при нагреве снизу.
001: 10.7868/80044451015010174 1. введение
Изучение конвекции слабопроводящих жидкостей в электрическом поле представляет интерес, потому что является способом прямого преобразования энергии электрического поля в энергию движения [1,2]. Электрическое поле может изменить пороги тепловой конвекции и обеспечить эффективный способ управления движением жидкостей.
Несмотря на большое количество экспериментальных и теоретических работ, остаются открытыми вопросы, связанные с возникновением и эволюцией электроконвективных движений [3]. В работе [4] изучены нелинейные режимы электроконвекции на основе модели с диэлектрофоретическим механизмом зарядообразования. В работах [5,6] проведено исследование влияния электрокондуктивного механизма зарядообразования на нелинейные режимы электроконвекции.
Другой механизм зарядообразования в жидкости инжекционный [2]. Он связан с инжекцией зарядов с поверхности электрода. В силу сложности проблемы существует много моделей, описывающих инжекцию заряда в слабопроводящую жидкость. В работе [7] проведено исследование электроконвек-
Е-таП: ilmlifflpsu.ru
ции слабопроводящей жидкости в случае сильной униполярной автономной инжекции заряда. В работе [8] изучено взаимовлияние инжекционного и термогравитационного механизмов конвекции при нагреве снизу в случае сильной автономной инжекции заряда. В работе [9] изучение процессов распространения волн заряда в слабопроводящих жидкостях проведено на основе модели пороговой инжекции. В работах [10,11] рассмотрена модель, описывающая униполярную автономную инжекцию ионов.
Ряд экспериментальных данных описываются моделью, в которой инжектируемый с катода заряд зависит от напряженности электрического поля в конденсаторе [3,12]. В настоящей работе в рамках этой модели рассматривается электроконвекция неоднородно нагретой слабопроводящей жидкости в горизонтальном конденсаторе в поле тяжести и в постоянном электрическом поле при униполярной инжекции заряда. Используется электрогидродинамическое приближение (магнитными эффектами по сравнению с электрическими пренебрегают). Инжектируемые с поверхности катода заряды движутся через слой жидкости, изменяя в ней распределение электрического поля. Диффузия заряда не учитывается. Считается, что время диффузии заряда пренебрежимо мало по сравнению с характерным гидродинамическим временем и временем релаксации заряда.
В работе [12] в аналогичной постановке проведено исследование линейной устойчивости изотермической слабопроводящей жидкости, нагрев жидкости в ней не рассматривается. В работе [13] в одномерном случае проведено исследование динамики переноса заряда в изотермической жидкости в модулированном электрическом поле. В работе [14] приведены результаты исследования линейной устойчивости неоднородно нагретой слабопроводящей жидкости при нагреве снизу. В работе [15] исследовано влияние подвижности носителей заряда на критические параметры задачи, изучены нелинейные режимы электроконвекции при нагреве сверху.
В настоящей работе изучена линейная устойчивость неоднородно нагретой слабопроводящей жидкости в поле тяжести и постоянном электрическом поле при нагреве снизу и сверху, а также исследованы нелинейные режимы электроконвекции при нагреве снизу.
2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим бесконечный плоский горизонтальный слой вязкой несжимаемой слабопроводящей жидкости в вертикальном постоянном электрическом поле и в поле тяжести с ускорением свободного падения g. Ось х направлена вдоль нижней границы слоя, ось г перпендикулярна границам слоя. Два плоских электрода лежат в плоскостях г = 0 и г = /г (рис. 1), /г толщина слоя.
Идеально тепло- и электропроводные пластины конденсатора нагреты до разной температуры: Т(0) = в, Г (/г) = 0. Здесь Т температура, отсчитываемая от температуры верхнего электрода, в характерная разность температур. Случай в > 0 соответствует нагреву снизу. На катоде (нижнем электроде) потенциал равен нулю, <¿>(0) = 0, на аноде
(верхнем электроде) ¡¿(к) = 17. Здесь V напряжение электрического поля.
Под действием электрического поля в узком слое вблизи катода в результате электрохимических реакций образуется заряд. Плотность свободных зарядов у катода пропорциональна нормальной составляющей вектора напряженности поля, р(. = АЕ-. Инжектированный заряд под действием поля движется в глубь жидкости. Двигаясь к аноду, заряд может увлекать за собой жидкость, вызывая электроконвективное течение. Движение жидкости и свободных зарядов в слое описывается системой уравнений электрогидродинамики
( ОV \
ат
др(: д1
+ (у • У)Г= \ дт,
сИу(рсу — Ьрс Е) = 0,
(1)
сИуу = 0, р = ро(1 — ВТ), сИу(ее0Е) = рс, Е =
где р массовая плотность жидкости, V вектор скорости жидкости, р давление, г/0 коэффициент кинематической вязкости, р(. плотность свободных зарядов, \ коэффициент температуропроводности, 3 коэффициент теплового расширения жидкости, е диэлектрическая проницаемость среды, ео электрическая постоянная, Ь подвижность зарядов, Е напряженность, ¡р потенциал поля.
Границы слоя считаются твердыми, непроницаемыми, на них выполняются условия прилипания скорость равна нулю:
г = 0
Рс = иЕ, = -и
у = 0, ^ = 0, = /г : у = 0, <р = и, Т = 0.
Т = 0.
(2)
Ра = АЕ.
^ = и Т = 0
Е
^ = 0 Т = в
Рис. 1. Геометрия задачи
Введем безразмерные переменные:
I г V
* =
Ь2 /щ'
г
Г=Н'
<Р
т (-Г
щ/Ъ,' Рс =
Рс
>г//>-'
где /г2/г/о время вязкой диссипации, /г расстояние между электродами.
Система уравнений (1) в безразмерных переменных с граничными условиями (2) приводится к виду
т
+ (у • У)у = -У/>+Ду- Ст1-с СгГ-/,
ат
(у • У)Г = — ДГ.
(3)
сИу у = 0, Д<у? + р(: = 0,
^ + (V • V)рс = В(р1 - • Vрг),
где 7 = (0,0,1), р превышение давления над гидростатическим. Граничные условия перепишутся в виде
= 0: V = 0,
= 1: V = 0,
<р=0, рс = -Аф,
<Р=1, Т = 0.
Т = 1.
(4)
Здесь введены безразмерные параметры тепловое (Сг) и электрическое (Стгс) числа Грасгофа, число Праидтля Рг, подвижность В зарядов и параметр А ннжекцнн:
Сг =
дв&1,3
—
,и2
(Щ
В =
ш щ "
А =
а Ь,
(5)
Перепишем числа Грасгофа и подвижность зарядов в соответствии с [7]:
Сг = В =
Т1а Р?
Т
А с
М2'
Т1а =
Тг =
'•'о \
:е0и
Сг« —
г2 м2
Ьру о
(6)
где Т1а тепловое число Рэлея, Тс и М электрические параметры.
новые
3. линеиныи анализ устойчивости равновесия
В работе [12] в изотермическом случае найдены равновесные решения системы (3), (4), когда V = 0. Распределения равновесных значений потенциала, заряда и температуры имеют вид
Ч> о =
Ре 0 —
(1 + 2Л;)3/2 - 1 (1 + 2Л)3/2 — 1 '
(1 + 2Л)3/2 — 1
(7)
Гп =
Для исследования устойчивости основного состояния равновесия жидкости ищем решение системы (3) в виде малых отклонений от равновесных решений (7). Рассматриваем плоские возмущения
Рг= 10
^Рг= 100
0
ш
12
12
16
к
Рг= 10 \
Рг= 100
12
16
к
Рис.2. Нейтральные кривые электроконвекции и зависимость частоты нейтральных колебаний от волнового числа при разных числах Прандтля. Сплошная линия соответствует порогу монотонной неустойчивости, штриховая — колебательной. 11а = = —2500, А = 0.25, М = 14.14
Т«?с) • 10-
30
20
10
-3
Иа-Ю"
Рис.3. Зависимости порогов монотонной (сплошные линии) и колебательной (штриховые линии) неустойчивостей от числа Рэлея при разных значениях параметра инжекции А\ М = 14.14, Рг = 10
Рис.4. Зависимости критического волнового числа монотонных возмущений (в) и критической частоты нейтральных колебаний (б) от числа Рэлея. А = 0.25, М = 14.14, Рг = 10
V = (и,0, го) и д/ду = 0. Температуру представляем в виде Т = То + д, потенциал и плотность заряда заменяем на сумму равновесной части и возмущения: р ¡ро + У7. Рс Рсо + Рс- Тогда для амплитуд вертикальной компоненты скорости, возмущений температуры, потенциала и заряда получаем однородную систему обыкновенных дифференциальных уравнений:
-А(и>" - к2ш) = «•" - 2/Ао" + 1лш + + ^2^(<РоРо ~ Рсо<Р) ~ ^ кЧ,
-А'1? = ^ к2 О) + ик (8)
Рг
р" — к2р + рс = 0, т
— Аре + р'со'" = дут(- р'ор'с - р'со<р')-
Зависимость решений от времени и горизонтальной координаты ищем в виде охр(—А*) охр(/А\г), где А декремент затухания, к волновое число, связанное с периодом Ь возмущений соотношением к = 2тт/Ь. Решения зависят только от вертикальной координаты. В уравнениях штрихами обозначены производные по вертикальной координате. Граничные условия запишутся в виде
г = 0: «> = 0, «>' = 0, р = 0, г? = 0,
рс + А<р' = 0, (9)
г = 1: «> = 0, «>' = 0, р = 0, >0 = 0.
Система (8) решалась численно методом «пристрелки» с использованном процедуры интегрирования методом Рунге Кутта Мерсона и ортогонализа-цнн.
В работе [12] безразмерные параметры варьировались в зависимости от безразмерной разности потенциалов F = U/(fo/b):
Grc = 5000F2, В = 5F. (10)
Электрические параметры Тс и М связаны с F следующим образом:
/; = 103F, М = 14.14.
Неустойчивость в этой задаче при подогреве снизу связана с монотонной модой (А вещественная величина), а при подогреве сверху с колебательной модой (в этом случае А комплексная величина). При нагреве снизу развиваются лишь монотонные возмущения. В этом случае возбуждающие конвекцию силы Кулона, действующие на инжектированные с катода отрицательные заряды, и
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.