ФИЗИКА МЕТАЛЛОВ И МЕТАЛЛОВЕДЕНИЕ, 2007, том 103, № 4, с. 346-352
^^^^^^^^^^^^^^^^ ТЕОРИЯ
МЕТАЛЛОВ
УДК 669.788:537.311.1
ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТЬ МЕТАЛЛИЧЕСКОГО ВОДОРОДА В МОДЕЛИ ПОЧТИ СВОБОДНЫХ ЭЛЕКТРОНОВ
© 2007 г. В. Т. Швец
Одесская государственная академия холода, 65026 Одесса, Дворянская, 1/3 Поступила в редакцию 22.05.2006 г.
Рассчитано электрическое сопротивление металлического водорода. Для этого использована теория возмущений по электрон-протонному взаимодействию для обратного времени релаксации, характеризующего электропроводность. Детально рассчитаны члены второго и третьего порядков, а также приближенное выражение для суммы ряда. При этом для электронной подсистемы использовалось приближение случайных фаз с учетом обменного взаимодействия и корреляций в приближении локального поля, а для протонной - точное решение уравнения Перкуса-Иевика для модели твердых сфер. В этом случае при заданной плотности и температуре единственным параметром теории является диаметр твердых сфер. Для его определения рассчитывалось эффективное парное межпротонное взаимодействие. По найденной зависимости межпротонного взаимодействия от расстояния и известной температуре системы определялся диаметр твердых сфер. В широком диапазоне значений исследована зависимость сопротивления металлического водорода от плотности и температуры. Во всем рассмотренном диапазоне плотностей и температур сопротивление оказывается близким к предельному, для которого применима модель почти свободных электронов.
PACS 72.10.Di, 63.20.Kr
1. ВВЕДЕНИЕ
С практической точки зрения водород интересен тем, что является наиболее распространенным элементом во вселенной. На водород в металлическом состоянии приходится основная часть массы планет солнечной системы. С теоретической точки зрения металлический водород является уникальным объектом, поскольку это единственное вещество, для которого электрон-ионное взаимодействие известно точно. Это обстоятельство позволяет выполнять расчеты всех свойств с использованием минимального количества упрощающих предположений и с максимальной точностью. Однако есть и усложняющее обстоятельство. Оно заключается в том, что кулоновское взаимодействие не является слабым. Этот факт хорошо известен в теории электронного газа. Одно из фундаментальных приближений теории электронного газа - приближение случайных фаз соответствует приближенному суммированию всего ряда теории возмущений по кулоновскому электрон-электронному взаимодействию.
Возможность существования металлического водорода впервые была предсказана Вигнером и Хантингтоном в 1935 г. Предполагалось, что при высоких давлениях водород должен перейти из двухатомного молекулярного состояния изолятора в одноатомное состояние с металлической проводимостью. Реальное открытие металлического водорода с детальным исследованием зависимости сопротивления от давления и температуры
произошло в 1996 г. [1]. При этом молекулярный водород в жидком состоянии подвергался ударному сжатию до высоких давлений в диапазоне 0.93-1.80 Мбар при температурах 2200-4400 К. При давлении 1.4 Мбар и температуре 3000 К наблюдался переход металл-диэлектрик с коэффициентом электрического сопротивления металлической фазы 500 см. Далее, в диапазоне давлений 1.4-1.8 Мбар и температур 3000-4400 К сопротивление практически не изменялось. Фактически, речь шла о переходе диэлектрик-полупроводник. При этом запрещенная зона в молекулярном водороде не исчезла, а уменьшилась с 15 до 0.3 эВ и практически сравнялась с температурой образца. Следует заметить, что экспериментальные и теоретические исследования предполагаемого металлического состояния водорода проводились и раньше. Так, в работе [2] электрическое сопротивление молекулярного водорода было измерено при существенно меньших давлениях 0.10.2 Мбар и обнаружило экспоненциальную зависимость от температуры, характерную для полупроводников с шириной запрещенной зоны 12 эВ. К 1978 г. относится первое сообщение об открытии металлического водорода [3]. Авторы работы сообщили об открытии металлического водорода при давлении 2 Мбар с электрическим сопротивлением 1000 см.
В настоящее время исследование равновесных свойств металлического водорода идет широким фронтом [4-9]. Электронные явления переноса в металлическом водороде теоретически исследо-
ваны в меньшей степени. Так, в работе [10] сопротивление металлического водорода рассчитано в широком диапазоне температур и плотностей, но при фиксированном значении параметра плотности упаковки, характерном для жидких металлов вблизи температуры плавления, и при учете лишь первого члена разложения сопротивления в ряд по электрон-протонному взаимодействию. Как будет показано нами в этой статье, использование именно последнего приближения в наибольшей мере влияет на результаты численных расчетов. Большой интерес представляет компьютерное моделирование различных свойств металлического водорода, включая и сопротивление [11]. К сожалению, и при компьютерном моделировании сопротивления металлического водорода экспериментальные и теоретические значения сопротивления отличаются более чем на порядок.
Важной чертой исследования равновесных свойств металлического водорода является использование модели почти свободных электронов. Эту же модель мы используем и для расчета электропроводности металлического водорода. При этом мы будем предполагать, что водород находится в металлическом состоянии с нулевой запрещенной зоной, а не в экспериментально наблюдаемом полупроводниковом состоянии с шириной запрещенной зоны 0.3 эВ. Такое состояние реализуется или при более высоком давлении, или при более высокой температуре. Заметим, что ядро Юпитера с радиусом, равным половине радиуса планеты, состоит из водорода, находящегося под давлением 3-40 Мбар и температуре 10000-20000 К.
2. ГАМИЛЬТОНИАН
Поскольку водород в металлическом состоянии был получен сжатием молекулярного водорода, находящегося в жидком состоянии, и после перехода диэлектрик-металл он остался в жидком состоянии, то гамильтониан электронной подсистемы металлического водорода можно взять в виде, аналогичном простым жидким металлам
Н = Н + Н
(1)
ных электронов гамильтониан идеального электронного газа можно записать в виде
Hо - X£ka+ak,
(2)
где ak, ak - операторы рождения и уничтожения электронов в состоянии с волновым вектором k,
£k - ¿V/2m (3)
- энергия свободного электрона, m - его масса.
Гамильтониан взаимодействия электронов с протонами возьмем в соответствии с дифракционной моделью металла, в которой электрон-электронное взаимодействие учитывается через экранировку электрон-ионного взаимодействия
Нге - V^W(q)рг(q)pe(-q). (4)
q
Здесь V - объем системы,
W(q) - -V(q)/£(q) (5)
- экранированная потенциальная энергия электрон-протонного взаимодействия,
V(q) - 4ne2/q2
(6)
- фурье-образ потенциальной энергии кулонов-ского электрон-протонного взаимодействия, е -заряд электрона,
е( д) = 1 + [ У( д) + и( д Ж (д) (7)
- эффективная диэлектрическая проницаемость электронного газа в приближении случайных фаз,
U(q) - -2пe2/(q2 к Xk2F)
(8)
- потенциальная энергия обменного взаимодействия и корреляций электронного газа, X ~ 2 [12], кр - волновой вектор Ферми,
По(q) -
mkF
22 п п
4 k2F - q 8 kFq
-ln
2kF к q
2 kF -1
(9)
- поляризационная функция свободного электронного газа,
В значительной степени такая модель применима и при наличии, наряду с атомарным, молекулярного водорода. В силу электронейтральности молекулы водорода существенно меньше рассеивают электроны проводимости, чем они рассеиваются протонами.
Аналогично жидким металлам электронный газ будем считать вырожденным, а ионную подсистему - неупорядоченной и статической. Учет динамики протонной подсистемы не вызывает принципиальных затруднений, но ее роль относительно невелика. В приближении почти свобод-
Pe(q) - Xa+ak+q
(10)
- фурье-образ оператора плотности электронного газа,
рг(q) - Xexp(-iqR)
(11)
- фурье-образ оператора плотности ионов, Rn -радиус-вектор п-го иона.
Металлический водород является единственной системой, для которой неэкранированный потенци-
k
k
n
ал электрон-протонного взаимодействия известен точно. Он является кулоновским. Это обстоятельство принципиально упрощает расчеты различных свойств металлического водорода, поскольку отпадает проблема моделирования электрон-протонного взаимодействия, приводящая к появлению в теории дополнительных подгоночных параметров, влияющая на достоверность полученных результатов.
3. КОЭФФИЦИЕНТ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ
Для простых неупорядоченных металлов с относительно высокой проводимостью коэффициент электрического сопротивления Я определяется известной формулой Друде, являющейся непосредственным следствием модели почти свободных электронов
г> т -1
Я = — т .
пе
(12)
т ' = I
-1 Тп .
(13)
п = 2
Общий член этого разложения имеет вид
т-1 = NIч1)-чп)х
41.....Чп
х5(Ч1> •••> Чп)Г(Ч1, • .., Чп).
(14)
Займана [25], достаточно давно и детально изучен и имеет вид
2к г?
-1
т
12 п3 й3
| Ж2(х)5(х)хйх. (15)
Поэтому сразу же перейдем к рассмотрению члена третьего порядка. Он имеет вид
т-1 = N I Ж( Ч1) Ж( Ч2) Ж( Чз)
Ч1> Ч2> Чз
х
(16)
X S(Ч1, Ч2, Чз)Г(Ч1, Ч2, Чз).
Для невзаимодействующего электронного газа электронный трехполюсник, полученный с помощью метода кинетического уравнения и характеризующий процесс электропроводности, имеет вид
п й
Г(к1 к2, к2 к3, к3 к1)
Здесь п - плотность электронного газа, т - время релаксации для процесса электропроводности. Также будем определять и коэффициент электрического сопротивления металлического водорода.
Построению теории возмущений для электропроводности жидких металлов посвящено большое количество работ [13-23]. Далее для конкретных расчетов мы воспользуемся работой [13].
В рамках теории линейной реакции Кубо и метода двухвременных запаздывающих функций Грина [23] обратное время релаксации можно представить в виде следующего ряда по электрон-протонному взаимодействию
3тЫкБТ
2 5(ек - ек )
х(к1-к2)2п(к1)[ 1-п( к1)] - 2 1
х
(17)
к3
где Т - абсолютная температура, кв - пос
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.